Theorem domnrcanb 20659

Description: Right-cancellation law for domains, biconditional version of domnrcan 20660. (Contributed by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnrcan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnrcan.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnrcan.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domnrcan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
domnrcan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
domnrcan.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domnrcan.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)

Assertion

Ref	Expression
domnrcanb	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem domnrcanb

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑐))
2	1	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐)))
3		eqeq1 2741	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑋 = 𝑏))
4	2, 3	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ((𝑋 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑋 = 𝑏)))
5		oveq1 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐))
6	5	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐)))
7		eqeq2 2749	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = 𝑌))
8	6, 7	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑋 = 𝑏) ↔ ((𝑋 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐) → 𝑋 = 𝑌)))
9		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑍))
10		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑍))
11	9, 10	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)))
12	11	imbi1d 341	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐) → 𝑋 = 𝑌) ↔ ((𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍) → 𝑋 = 𝑌)))
13		domnrcan.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
14		domnrcan.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		domnrcan.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16		domnrcan.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
17	14, 15, 16	isdomn4r 20656	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))
18	13, 17	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))
19	18	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏))
20		domnrcan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		domnrcan.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
22		domnrcan.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
23	4, 8, 12, 19, 20, 21, 22	rspc3dv 3596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍) → 𝑋 = 𝑌))
24		oveq1 7367	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
25	23, 24	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∖ cdif 3899  {csn 4581  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  ._rcmulr 17182  0_gc0g 17363  NzRingcnzr 20449  Domncdomn 20629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20277  df-nzr 20450  df-domn 20632

This theorem is referenced by:  domnrcan  20660  domneq0r  20661