Theorem domnrcanb 20884

Description: Right-cancellation law for domains, biconditional version of domnrcan 20885. (Contributed by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnrcan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnrcan.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnrcan.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domnrcan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
domnrcan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
domnrcan.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domnrcan.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)

Assertion

Ref	Expression
domnrcanb	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem domnrcanb

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑐))
2	1	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐)))
3		eqeq1 2764	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑋 = 𝑏))
4	2, 3	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ((𝑋 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑋 = 𝑏)))
5		oveq1 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐))
6	5	eqeq2d 2771	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐)))
7		eqeq2 2772	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = 𝑌))
8	6, 7	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑋 = 𝑏) ↔ ((𝑋 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐) → 𝑋 = 𝑌)))
9		oveq2 7422	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑍))
10		oveq2 7422	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑍))
11	9, 10	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)))
12	11	imbi1d 344	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐) → 𝑋 = 𝑌) ↔ ((𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍) → 𝑋 = 𝑌)))
13		domnrcan.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
14		domnrcan.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		domnrcan.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16		domnrcan.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
17	14, 15, 16	isdomn4r 20881	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))
18	13, 17	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))
19	18	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏))
20		domnrcan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		domnrcan.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
22		domnrcan.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
23	4, 8, 12, 19, 20, 21, 22	rspc3dv 3595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍) → 𝑋 = 𝑌))
24		oveq1 7421	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
25	23, 24	impbid1 228	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∖ cdif 3896  {csn 4584  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  ._rcmulr 17344  0_gc0g 17525  NzRingcnzr 20673  Domncdomn 20855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-nzr 20674  df-domn 20858

This theorem is used by:  domnrcan  20885  domneq0r  20886