Theorem domnrcanb 20722

Description: Right-cancellation law for domains, biconditional version of domnrcan 20723. (Contributed by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnrcan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnrcan.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnrcan.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domnrcan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
domnrcan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
domnrcan.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domnrcan.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)

Assertion

Ref	Expression
domnrcanb	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem domnrcanb

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑐))
2	1	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐)))
3		eqeq1 2741	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑋 = 𝑏))
4	2, 3	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ((𝑋 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑋 = 𝑏)))
5		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐))
6	5	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐)))
7		eqeq2 2749	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = 𝑌))
8	6, 7	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑋 = 𝑏) ↔ ((𝑋 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐) → 𝑋 = 𝑌)))
9		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑍))
10		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑍))
11	9, 10	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)))
12	11	imbi1d 341	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐) → 𝑋 = 𝑌) ↔ ((𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍) → 𝑋 = 𝑌)))
13		domnrcan.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
14		domnrcan.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		domnrcan.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16		domnrcan.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
17	14, 15, 16	isdomn4r 20719	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))
18	13, 17	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))
19	18	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏))
20		domnrcan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		domnrcan.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
22		domnrcan.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
23	4, 8, 12, 19, 20, 21, 22	rspc3dv 3641	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍) → 𝑋 = 𝑌))
24		oveq1 7438	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
25	23, 24	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ∖ cdif 3948  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484  NzRingcnzr 20512  Domncdomn 20692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-nzr 20513  df-domn 20695

This theorem is referenced by:  domnrcan  20723  domneq0r  20724