Theorem domnrcanb 20820

Description: Right-cancellation law for domains, biconditional version of domnrcan 20821. (Contributed by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnrcan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnrcan.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnrcan.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domnrcan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
domnrcan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
domnrcan.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domnrcan.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)

Assertion

Ref	Expression
domnrcanb	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem domnrcanb

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑐))
2	1	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐)))
3		eqeq1 2767	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑋 = 𝑏))
4	2, 3	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ((𝑋 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑋 = 𝑏)))
5		oveq1 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐))
6	5	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐)))
7		eqeq2 2775	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = 𝑌))
8	6, 7	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑋 = 𝑏) ↔ ((𝑋 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐) → 𝑋 = 𝑌)))
9		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑍))
10		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑍))
11	9, 10	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)))
12	11	imbi1d 344	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐) → 𝑋 = 𝑌) ↔ ((𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍) → 𝑋 = 𝑌)))
13		domnrcan.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
14		domnrcan.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		domnrcan.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16		domnrcan.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
17	14, 15, 16	isdomn4r 20817	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))
18	13, 17	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))
19	18	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏))
20		domnrcan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		domnrcan.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
22		domnrcan.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
23	4, 8, 12, 19, 20, 21, 22	rspc3dv 3600	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍) → 𝑋 = 𝑌))
24		oveq1 7417	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
25	23, 24	impbid1 228	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ∖ cdif 3902  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  ._rcmulr 17306  0_gc0g 17487  NzRingcnzr 20609  Domncdomn 20791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-nzr 20610  df-domn 20794

This theorem is referenced by:  domnrcan  20821  domneq0r  20822