MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrngrdOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrngrdOLD 20642
Description: Obsolete version of isdrngrd 20640 as of 19-Feb-2025. (Contributed by NM, 10-Aug-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrngdOLD.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
isdrngdOLD.t (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
isdrngdOLD.z (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜๐‘…))
isdrngdOLD.u (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘…))
isdrngdOLD.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
isdrngdOLD.n ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0 )
isdrngdOLD.o (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0 )
isdrngdOLD.i ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ต)
isdrngdOLD.j ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โ‰  0 )
isdrngrdOLD.k ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = 1 )
Assertion
Ref Expression
isdrngrdOLD (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ DivRing)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, 0   ๐‘ฅ, 1 ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐ผ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ผ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem isdrngrdOLD
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrngdOLD.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
2 eqid 2727 . . . . 5 (opprโ€˜๐‘…) = (opprโ€˜๐‘…)
3 eqid 2727 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
42, 3opprbas 20262 . . . 4 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
51, 4eqtrdi 2783 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
6 eqidd 2728 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
7 isdrngdOLD.z . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜๐‘…))
8 eqid 2727 . . . . 5 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
92, 8oppr0 20270 . . . 4 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
107, 9eqtrdi 2783 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
11 isdrngdOLD.u . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘…))
12 eqid 2727 . . . . 5 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
132, 12oppr1 20271 . . . 4 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
1411, 13eqtrdi 2783 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
15 isdrngdOLD.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
162opprring 20268 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
1715, 16syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
18 eleq1w 2811 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
19 neeq1 2998 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†” ๐‘ฅ โ‰  0 ))
2018, 19anbi12d 630 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )))
21203anbi2d 1438 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 ))))
22 oveq1 7421 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) = (๐‘ฅ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง))
2322neeq1d 2995 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 ))
2421, 23imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 ) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 )))
25 eleq1w 2811 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ง โˆˆ ๐ต))
26 neeq1 2998 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†” ๐‘ง โ‰  0 ))
2725, 26anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โ†” (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )))
28273anbi3d 1439 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 ))))
29 oveq2 7422 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง))
3029neeq1d 2995 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) โ‰  0 โ†” (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 ))
3128, 30imbi12d 344 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) โ‰  0 ) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 )))
32 isdrngdOLD.t . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
33323ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
3433oveqd 7431 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ))
35 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
36 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
373, 35, 2, 36opprmul 20258 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)
3834, 37eqtr4di 2785 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ))
39 isdrngdOLD.n . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0 )
4038, 39eqnetrrd 3004 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) โ‰  0 )
41403com23 1124 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) โ‰  0 )
4231, 41chvarvv 1995 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 )
4324, 42chvarvv 1995 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 )
44 isdrngdOLD.o . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0 )
45 isdrngdOLD.i . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ต)
46 isdrngdOLD.j . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โ‰  0 )
473, 35, 2, 36opprmul 20258 . . . 4 (๐ผ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐ผ)
4832adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
4948oveqd 7431 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐ผ))
50 isdrngrdOLD.k . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = 1 )
5149, 50eqtr3d 2769 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐ผ) = 1 )
5247, 51eqtrid 2779 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐ผ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = 1 )
535, 6, 10, 14, 17, 43, 44, 45, 46, 52isdrngdOLD 20641 . 2 (๐œ‘ โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ DivRing)
542opprdrng 20638 . 2 (๐‘… โˆˆ DivRing โ†” (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ DivRing)
5553, 54sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  .rcmulr 17219  0gc0g 17406  1rcur 20105  Ringcrg 20157  opprcoppr 20254  DivRingcdr 20606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17408  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-dvr 20322  df-drng 20608
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator