Theorem isdrngrdOLD 20701

Description: Obsolete version of isdrngrd 20699 as of 19-Feb-2025. (Contributed by NM, 10-Aug-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrngdOLD.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
isdrngdOLD.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
isdrngdOLD.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
isdrngdOLD.u	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
isdrngdOLD.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isdrngdOLD.n	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
isdrngdOLD.o	⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
isdrngdOLD.i	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
isdrngdOLD.j	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ≠ 0 )
isdrngrdOLD.k	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝐼) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
isdrngrdOLD	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐼   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem isdrngrdOLD

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrngdOLD.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	2, 3	opprbas 20279	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
5	1, 4	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅)))
6		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅)))
7		isdrngdOLD.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	2, 8	oppr0 20285	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(oppr‘𝑅))
10	7, 9	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(oppr‘𝑅)))
11		isdrngdOLD.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
12		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	2, 12	oppr1 20286	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘(oppr‘𝑅))
14	11, 13	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘(oppr‘𝑅)))
15		isdrngdOLD.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16	2	opprring 20283	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
18		eleq1w 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
19		neeq1 2994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0 ))
20	18, 19	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )))
21	20	3anbi2d 1443	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 ))))
22		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧))
23	22	neeq1d 2991	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ))
24	21, 23	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )))
25		eleq1w 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵))
26		neeq1 2994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0 ))
27	25, 26	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )))
28	27	3anbi3d 1444	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 ))))
29		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧))
30	29	neeq1d 2991	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ))
31	28, 30	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )))
32		isdrngdOLD.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
33	32	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → · = (.r‘𝑅))
34	33	oveqd 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
35		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
36		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
37	3, 35, 2, 36	opprmul 20276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦)
38	34, 37	eqtr4di 2789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥))
39		isdrngdOLD.n	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
40	38, 39	eqnetrrd 3000	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 )
41	40	3com23 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 )
42	31, 41	chvarvv 1990	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )
43	24, 42	chvarvv 1990	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )
44		isdrngdOLD.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
45		isdrngdOLD.i	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
46		isdrngdOLD.j	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ≠ 0 )
47	3, 35, 2, 36	opprmul 20276	. . . 4 ⊢ (𝐼(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝐼)
48	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → · = (.r‘𝑅))
49	48	oveqd 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝐼) = (𝑥(.r‘𝑅)𝐼))
50		isdrngrdOLD.k	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝐼) = 1 )
51	49, 50	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑅)𝐼) = 1 )
52	47, 51	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐼(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 )
53	5, 6, 10, 14, 17, 43, 44, 45, 46, 52	isdrngdOLD 20700	. 2 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑅) ∈ DivRing)
54	2	opprdrng 20697	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (oppr‘𝑅) ∈ DivRing)
55	53, 54	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  opp_rcoppr 20272  DivRingcdr 20662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-drng 20664

This theorem is referenced by: (None)