Theorem isdrngrdOLD 20768

Description: Obsolete version of isdrngrd 20766 as of 19-Feb-2025. (Contributed by NM, 10-Aug-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrngdOLD.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
isdrngdOLD.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
isdrngdOLD.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
isdrngdOLD.u	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
isdrngdOLD.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isdrngdOLD.n	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
isdrngdOLD.o	⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
isdrngdOLD.i	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
isdrngdOLD.j	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ≠ 0 )
isdrngrdOLD.k	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝐼) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
isdrngrdOLD	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐼   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem isdrngrdOLD

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrngdOLD.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	2, 3	opprbas 20341	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
5	1, 4	eqtrdi 2793	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅)))
6		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅)))
7		isdrngdOLD.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	2, 8	oppr0 20349	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(oppr‘𝑅))
10	7, 9	eqtrdi 2793	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(oppr‘𝑅)))
11		isdrngdOLD.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	2, 12	oppr1 20350	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘(oppr‘𝑅))
14	11, 13	eqtrdi 2793	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘(oppr‘𝑅)))
15		isdrngdOLD.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16	2	opprring 20347	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
18		eleq1w 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
19		neeq1 3003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0 ))
20	18, 19	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )))
21	20	3anbi2d 1443	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 ))))
22		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧))
23	22	neeq1d 3000	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ))
24	21, 23	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )))
25		eleq1w 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵))
26		neeq1 3003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0 ))
27	25, 26	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )))
28	27	3anbi3d 1444	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 ))))
29		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧))
30	29	neeq1d 3000	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ))
31	28, 30	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )))
32		isdrngdOLD.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
33	32	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → · = (.r‘𝑅))
34	33	oveqd 7448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
35		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
36		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
37	3, 35, 2, 36	opprmul 20337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦)
38	34, 37	eqtr4di 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥))
39		isdrngdOLD.n	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
40	38, 39	eqnetrrd 3009	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 )
41	40	3com23 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 )
42	31, 41	chvarvv 1998	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )
43	24, 42	chvarvv 1998	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )
44		isdrngdOLD.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
45		isdrngdOLD.i	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
46		isdrngdOLD.j	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ≠ 0 )
47	3, 35, 2, 36	opprmul 20337	. . . 4 ⊢ (𝐼(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝐼)
48	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → · = (.r‘𝑅))
49	48	oveqd 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝐼) = (𝑥(.r‘𝑅)𝐼))
50		isdrngrdOLD.k	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝐼) = 1 )
51	49, 50	eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑅)𝐼) = 1 )
52	47, 51	eqtrid 2789	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐼(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 )
53	5, 6, 10, 14, 17, 43, 44, 45, 46, 52	isdrngdOLD 20767	. 2 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑅) ∈ DivRing)
54	2	opprdrng 20764	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (oppr‘𝑅) ∈ DivRing)
55	53, 54	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  opp_rcoppr 20333  DivRingcdr 20729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731

This theorem is referenced by: (None)