MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrngrdOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrngrdOLD 20659
Description: Obsolete version of isdrngrd 20657 as of 19-Feb-2025. (Contributed by NM, 10-Aug-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrngdOLD.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
isdrngdOLD.t (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
isdrngdOLD.z (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜๐‘…))
isdrngdOLD.u (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘…))
isdrngdOLD.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
isdrngdOLD.n ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0 )
isdrngdOLD.o (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0 )
isdrngdOLD.i ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ต)
isdrngdOLD.j ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โ‰  0 )
isdrngrdOLD.k ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = 1 )
Assertion
Ref Expression
isdrngrdOLD (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ DivRing)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, 0   ๐‘ฅ, 1 ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐ผ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ผ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem isdrngrdOLD
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrngdOLD.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
2 eqid 2725 . . . . 5 (opprโ€˜๐‘…) = (opprโ€˜๐‘…)
3 eqid 2725 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
42, 3opprbas 20279 . . . 4 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
51, 4eqtrdi 2781 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
6 eqidd 2726 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
7 isdrngdOLD.z . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜๐‘…))
8 eqid 2725 . . . . 5 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
92, 8oppr0 20287 . . . 4 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
107, 9eqtrdi 2781 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
11 isdrngdOLD.u . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘…))
12 eqid 2725 . . . . 5 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
132, 12oppr1 20288 . . . 4 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
1411, 13eqtrdi 2781 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
15 isdrngdOLD.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
162opprring 20285 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
1715, 16syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
18 eleq1w 2808 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
19 neeq1 2993 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†” ๐‘ฅ โ‰  0 ))
2018, 19anbi12d 630 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )))
21203anbi2d 1437 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 ))))
22 oveq1 7420 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) = (๐‘ฅ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง))
2322neeq1d 2990 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 ))
2421, 23imbi12d 343 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 ) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 )))
25 eleq1w 2808 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ง โˆˆ ๐ต))
26 neeq1 2993 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†” ๐‘ง โ‰  0 ))
2725, 26anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โ†” (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )))
28273anbi3d 1438 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 ))))
29 oveq2 7421 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง))
3029neeq1d 2990 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) โ‰  0 โ†” (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 ))
3128, 30imbi12d 343 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) โ‰  0 ) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 )))
32 isdrngdOLD.t . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
33323ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
3433oveqd 7430 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ))
35 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
36 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
373, 35, 2, 36opprmul 20275 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)
3834, 37eqtr4di 2783 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ))
39 isdrngdOLD.n . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0 )
4038, 39eqnetrrd 2999 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) โ‰  0 )
41403com23 1123 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) โ‰  0 )
4231, 41chvarvv 1994 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 )
4324, 42chvarvv 1994 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 )
44 isdrngdOLD.o . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0 )
45 isdrngdOLD.i . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ต)
46 isdrngdOLD.j . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โ‰  0 )
473, 35, 2, 36opprmul 20275 . . . 4 (๐ผ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐ผ)
4832adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
4948oveqd 7430 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐ผ))
50 isdrngrdOLD.k . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = 1 )
5149, 50eqtr3d 2767 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐ผ) = 1 )
5247, 51eqtrid 2777 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐ผ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = 1 )
535, 6, 10, 14, 17, 43, 44, 45, 46, 52isdrngdOLD 20658 . 2 (๐œ‘ โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ DivRing)
542opprdrng 20655 . 2 (๐‘… โˆˆ DivRing โ†” (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ DivRing)
5553, 54sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  .rcmulr 17228  0gc0g 17415  1rcur 20120  Ringcrg 20172  opprcoppr 20271  DivRingcdr 20623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-drng 20625
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator