Theorem hlhildrng 42412

Description: The star division ring for the final constructed Hilbert space is a division ring. (Contributed by NM, 20-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhillvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhillvec.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhillvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhildrng.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hlhildrng	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem hlhildrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhillvec.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		hlhillvec.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
4	2, 3	erngdv 41453	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
6		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
7		hlhillvec.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
8		hlhildrng.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
10	2, 3, 7, 8, 1, 9	hlhilsbase 42399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘𝑅))
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
12	2, 3, 7, 8, 1, 11	hlhilsplus 42400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘𝑅))
13	12	oveqdr 7388	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))) → (𝑥(+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
15	2, 3, 7, 8, 1, 14	hlhilsmul 42401	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (.r‘𝑅))
16	15	oveqdr 7388	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))) → (𝑥(.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
17	6, 10, 13, 16	drngpropd 20737	. 2 ⊢ (𝜑 → (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
18	5, 17	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214  DivRingcdr 20697  HLchlt 39810  LHypclh 40444  EDRingcedring 41213  HLHilchlh 42392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-riotaBAD 39413

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-undef 8216  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-0g 17395  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-drng 20699  df-oposet 39636  df-ol 39638  df-oml 39639  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811  df-llines 39958  df-lplanes 39959  df-lvols 39960  df-lines 39961  df-psubsp 39963  df-pmap 39964  df-padd 40256  df-lhyp 40448  df-laut 40449  df-ldil 40564  df-ltrn 40565  df-trl 40619  df-tendo 41215  df-edring 41217  df-hlhil 42393

This theorem is referenced by:  hlhilsrnglem  42413