Theorem hlhildrng 42786

Description: The star division ring for the final constructed Hilbert space is a division ring. (Contributed by NM, 20-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhillvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhillvec.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhillvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhildrng.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hlhildrng	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem hlhildrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhillvec.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		hlhillvec.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
4	2, 3	erngdv 41827	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
6		eqidd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
7		hlhillvec.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
8		hlhildrng.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
9		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
10	2, 3, 7, 8, 1, 9	hlhilsbase 42773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘𝑅))
11		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
12	2, 3, 7, 8, 1, 11	hlhilsplus 42774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘𝑅))
13	12	oveqdr 7447	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))) → (𝑥(+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
14		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
15	2, 3, 7, 8, 1, 14	hlhilsmul 42775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (.r‘𝑅))
16	15	oveqdr 7447	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))) → (𝑥(.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
17	6, 10, 13, 16	drngpropd 20925	. 2 ⊢ (𝜑 → (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
18	5, 17	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  ._rcmulr 17335  Scalarcsca 17337  DivRingcdr 20879  HLchlt 40184  LHypclh 40818  EDRingcedring 41587  HLHilchlh 42766

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-riotaBAD 39787

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-0g 17518  df-proset 18374  df-poset 18393  df-plt 18408  df-lub 18424  df-glb 18425  df-join 18426  df-meet 18427  df-p0 18503  df-p1 18504  df-lat 18512  df-clat 18579  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-dvr 20531  df-drng 20881  df-oposet 40010  df-ol 40012  df-oml 40013  df-covers 40100  df-ats 40101  df-atl 40132  df-cvlat 40156  df-hlat 40185  df-llines 40332  df-lplanes 40333  df-lvols 40334  df-lines 40335  df-psubsp 40337  df-pmap 40338  df-padd 40630  df-lhyp 40822  df-laut 40823  df-ldil 40938  df-ltrn 40939  df-trl 40993  df-tendo 41589  df-edring 41591  df-hlhil 42767

This theorem is used by:  hlhilsrnglem  42787