Theorem hlhildrng 42074

Description: The star division ring for the final constructed Hilbert space is a division ring. (Contributed by NM, 20-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhillvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhillvec.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhillvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhildrng.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hlhildrng	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem hlhildrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhillvec.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		hlhillvec.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
4	2, 3	erngdv 41115	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
6		eqidd 2734	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
7		hlhillvec.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
8		hlhildrng.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
9		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
10	2, 3, 7, 8, 1, 9	hlhilsbase 42061	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘𝑅))
11		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
12	2, 3, 7, 8, 1, 11	hlhilsplus 42062	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘𝑅))
13	12	oveqdr 7382	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))) → (𝑥(+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
14		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
15	2, 3, 7, 8, 1, 14	hlhilsmul 42063	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (.r‘𝑅))
16	15	oveqdr 7382	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))) → (𝑥(.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
17	6, 10, 13, 16	drngpropd 20688	. 2 ⊢ (𝜑 → (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
18	5, 17	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6488  Basecbs 17124  +_gcplusg 17165  ._rcmulr 17166  Scalarcsca 17168  DivRingcdr 20648  HLchlt 39472  LHypclh 40106  EDRingcedring 40875  HLHilchlh 42054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-riotaBAD 39075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-tpos 8164  df-undef 8211  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-map 8760  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-starv 17180  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-0g 17349  df-proset 18204  df-poset 18223  df-plt 18238  df-lub 18254  df-glb 18255  df-join 18256  df-meet 18257  df-p0 18333  df-p1 18334  df-lat 18342  df-clat 18409  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-oppr 20259  df-dvdsr 20279  df-unit 20280  df-invr 20310  df-dvr 20323  df-drng 20650  df-oposet 39298  df-ol 39300  df-oml 39301  df-covers 39388  df-ats 39389  df-atl 39420  df-cvlat 39444  df-hlat 39473  df-llines 39620  df-lplanes 39621  df-lvols 39622  df-lines 39623  df-psubsp 39625  df-pmap 39626  df-padd 39918  df-lhyp 40110  df-laut 40111  df-ldil 40226  df-ltrn 40227  df-trl 40281  df-tendo 40877  df-edring 40879  df-hlhil 42055

This theorem is referenced by:  hlhilsrnglem  42075