Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhildrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhildrng 39080
 Description: The star division ring for the final constructed Hilbert space is a division ring. (Contributed by NM, 20-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillvec.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhillvec.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhillvec.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhildrng.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
hlhildrng (𝜑𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem hlhildrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillvec.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 hlhillvec.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2819 . . . 4 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
42, 3erngdv 38121 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
51, 4syl 17 . 2 (𝜑 → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
6 eqidd 2820 . . 3 (𝜑 → (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
7 hlhillvec.u . . . 4 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
8 hlhildrng.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
9 eqid 2819 . . . 4 (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
102, 3, 7, 8, 1, 9hlhilsbase 39067 . . 3 (𝜑 → (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘𝑅))
11 eqid 2819 . . . . 5 (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
122, 3, 7, 8, 1, 11hlhilsplus 39068 . . . 4 (𝜑 → (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g𝑅))
1312oveqdr 7176 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))) → (𝑥(+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦))
14 eqid 2819 . . . . 5 (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
152, 3, 7, 8, 1, 14hlhilsmul 39069 . . . 4 (𝜑 → (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (.r𝑅))
1615oveqdr 7176 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))) → (𝑥(.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))𝑦) = (𝑥(.r𝑅)𝑦))
176, 10, 13, 16drngpropd 19521 . 2 (𝜑 → (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
185, 17mpbid 234 1 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6348  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  Scalarcsca 16560  DivRingcdr 19494  HLchlt 36478  LHypclh 37112  EDRingcedring 37881  HLHilchlh 39060 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36081 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-llines 36626  df-lplanes 36627  df-lvols 36628  df-lines 36629  df-psubsp 36631  df-pmap 36632  df-padd 36924  df-lhyp 37116  df-laut 37117  df-ldil 37232  df-ltrn 37233  df-trl 37287  df-tendo 37883  df-edring 37885  df-hlhil 39061 This theorem is referenced by:  hlhilsrnglem  39081
 Copyright terms: Public domain W3C validator