Theorem dvafvsca 41987

Description: Ring addition operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 9-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvafvsca.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvafvsca.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvafvsca.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvafvsca.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvafvsca.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvafvsca	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑠,𝐸   𝑓,𝐾,𝑠   𝑇,𝑓,𝑠   𝑓,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   · (𝑓, 𝑠)   𝑈(𝑓, 𝑠)   𝐻(𝑓, 𝑠)   𝑉(𝑓, 𝑠)

Proof of Theorem dvafvsca

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvafvsca.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvafvsca.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvafvsca.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		dvafvsca.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	dvaset 41976	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}))
7	6	fveq2d 6878	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})))
8		dvafvsca.s	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
9	3	fvexi 6888	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ V
10	2	fvexi 6888	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ V
11	9, 10	mpoex 8076	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓)) ∈ V
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})
13	12	lmodvsca 17447	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓)) ∈ V → (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})))
14	11, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}))
15	7, 8, 14	3eqtr4g 2820	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∪ cun 3897  {csn 4584  {ctp 4588  ⟨cop 4590   ∘ ccom 5652  ‘cfv 6528   ∈ cmpo 7411  ndxcnx 17318  Basecbs 17334  +_gcplusg 17375  Scalarcsca 17378   ·_𝑠 cvsca 17379  LHypclh 40955  LTrncltrn 41072  TEndoctendo 41723  EDRingcedring 41724  DVecAcdveca 41973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-struct 17272  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-plusg 17388  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-dveca 41974

This theorem is used by:  dvavsca  41988