Theorem lmodvsca 17382

Description: The scalar product operation of a constructed left vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodstr.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmodvsca	⊢ ( · ∈ 𝑋 → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))

Proof of Theorem lmodvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodstr.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
2	1	lmodstr 17378	. 2 ⊢ 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩
3		vscaid 17373	. 2 ⊢ ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
4		ssun2 4140	. . 3 ⊢ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
5	4, 1	sseqtrri 3994	. 2 ⊢ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} ⊆ 𝑊
6	2, 3, 5	strfv 17263	1 ⊢ ( · ∈ 𝑋 → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911  {csn 4594  {ctp 4598  ⟨cop 4600  ‘cfv 6537  1c1 11101  6c6 12299  ndxcnx 17253  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  Scalarcsca 17313   ·_𝑠 cvsca 17314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-sca 17326  df-vsca 17327

This theorem is referenced by:  cnlmod4  25267  ldualfvs  39800  dvafvsca  41680  dvhfvsca  41764  lmod1lem1  49152  lmod1lem2  49153  lmod1lem3  49154  lmod1lem4  49155  lmod1lem5  49156