MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgcddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgcddvds 16623
Description: One half of rpmulgcd2 16624, which does not need the coprimality assumption. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
mulgcddvds ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))

Proof of Theorem mulgcddvds
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
2 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
42, 3zmulcld 12700 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
51, 4gcdcld 16480 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„•0)
65nn0zd 12612 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
7 dvds0 16246 . . . . 5 ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ 0)
86, 7syl 17 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ 0)
98adantr 479 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) = 0) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ 0)
10 oveq2 7423 . . . 4 ((๐พ gcd ๐‘) = 0 โ†’ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)) = ((๐พ gcd ๐‘€) ยท 0))
111, 2gcdcld 16480 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
1211nn0cnd 12562 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
1312mul01d 11441 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท 0) = 0)
1410, 13sylan9eqr 2787 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) = 0) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)) = 0)
159, 14breqtrrd 5171 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) = 0) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))
166adantr 479 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
1716zcnd 12695 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
181, 3gcdcld 16480 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1918nn0zd 12612 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2019adantr 479 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2120zcnd 12695 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
22 simpr 483 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0)
2317, 21, 22divcan1d 12019 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) = (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)))
24 gcddvds 16475 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ๐พ โˆง (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
251, 4, 24syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ๐พ โˆง (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
2625simpld 493 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ๐พ)
276, 1, 19, 26dvdsmultr1d 16271 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท (๐พ gcd ๐‘)))
2827adantr 479 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท (๐พ gcd ๐‘)))
2923, 28eqbrtrd 5165 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท (๐พ gcd ๐‘)))
30 gcddvds 16475 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐พ โˆง (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘))
311, 3, 30syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐พ โˆง (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘))
3231simpld 493 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐พ)
3331simprd 494 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘)
34 dvdsmultr2 16272 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
3519, 2, 3, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
3633, 35mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
37 dvdsgcd 16517 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐พ โˆง (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘))))
3819, 1, 4, 37syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐พ โˆง (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘))))
3932, 36, 38mp2and 697 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)))
4039adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)))
41 dvdsval2 16231 . . . . . . . . 9 (((๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0 โˆง (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โ†” ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค))
4220, 22, 16, 41syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โ†” ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค))
4340, 42mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
441adantr 479 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
45 dvdsmulcr 16260 . . . . . . 7 ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0)) โ†’ ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท (๐พ gcd ๐‘)) โ†” ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐พ))
4643, 44, 20, 22, 45syl112anc 1371 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท (๐พ gcd ๐‘)) โ†” ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐พ))
4729, 46mpbid 231 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐พ)
48 nn0abscl 15289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•0)
492, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•0)
5049nn0zd 12612 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ค)
51 dvdsmultr2 16272 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ๐พ โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ)))
526, 50, 1, 51syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ๐พ โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ)))
5326, 52mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ))
5450, 3zmulcld 12700 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5525simprd 494 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
56 iddvds 16244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘€)
572, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘€)
58 dvdsabsb 16250 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘€ โ†” ๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐‘€)))
592, 2, 58syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘€ โ†” ๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐‘€)))
6057, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐‘€))
61 dvdsmulc 16258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘)))
622, 50, 3, 61syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘)))
6360, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘))
646, 4, 54, 55, 63dvdstrd 16269 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘))
6550, 1zmulcld 12700 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค)
66 dvdsgcd 16517 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) โˆง (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘)) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) gcd ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘))))
676, 65, 54, 66syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) โˆง (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘)) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) gcd ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘))))
6853, 64, 67mp2and 697 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) gcd ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘)))
6918nn0red 12561 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„)
7018nn0ge0d 12563 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 โ‰ค (๐พ gcd ๐‘))
7169, 70absidd 15399 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(๐พ gcd ๐‘)) = (๐พ gcd ๐‘))
7271oveq2d 7431 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜(๐พ gcd ๐‘))) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))
732zcnd 12695 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
7418nn0cnd 12562 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
7573, 74absmuld 15431 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘))) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜(๐พ gcd ๐‘))))
76 mulgcd 16521 . . . . . . . . . . . 12 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) gcd ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘)) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))
7749, 1, 3, 76syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) gcd ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘)) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))
7872, 75, 773eqtr4d 2775 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘))) = (((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) gcd ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘)))
7968, 78breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘))))
802, 19zmulcld 12700 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
81 dvdsabsb 16250 . . . . . . . . . 10 (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)) โ†” (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)))))
826, 80, 81syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)) โ†” (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)))))
8379, 82mpbird 256 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)))
8483adantr 479 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)))
8523, 84eqbrtrd 5165 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)))
862adantr 479 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
87 dvdsmulcr 16260 . . . . . . 7 ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0)) โ†’ ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)) โ†” ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘€))
8843, 86, 20, 22, 87syl112anc 1371 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)) โ†” ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘€))
8985, 88mpbid 231 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘€)
90 dvdsgcd 16517 . . . . . 6 ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐พ โˆง ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ gcd ๐‘€)))
9143, 44, 86, 90syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐พ โˆง ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ gcd ๐‘€)))
9247, 89, 91mp2and 697 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ gcd ๐‘€))
9311nn0zd 12612 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
9493adantr 479 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
95 dvdsmulc 16258 . . . . 5 ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ gcd ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ gcd ๐‘€) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘))))
9643, 94, 20, 95syl3anc 1368 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ gcd ๐‘€) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘))))
9792, 96mpd 15 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))
9823, 97eqbrtrrd 5167 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))
9915, 98pm2.61dane 3019 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136   ยท cmul 11141   / cdiv 11899  โ„•0cn0 12500  โ„คcz 12586  abscabs 15211   โˆฅ cdvds 16228   gcd cgcd 16466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-dvds 16229  df-gcd 16467
This theorem is referenced by:  rpmulgcd2  16624  rpmul  16627
  Copyright terms: Public domain W3C validator