mulgcddvds - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulgcddvds		Structured version Visualization version GIF version

Theorem mulgcddvds 16576

Description: One half of rpmulgcd2 16577, which does not need the coprimality assumption. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulgcddvds	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))

**Proof of Theorem mulgcddvds**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 12593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	1, 4	gcdcld 16429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ₀)
6	5	nn0zd 12504	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ)
7		dvds0 16192	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 0)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 0)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 0)
10		oveq2 7363	. . . 4 ⊢ ((𝐾 gcd 𝑁) = 0 → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · 0))
11	1, 2	gcdcld 16429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℕ₀)
12	11	nn0cnd 12454	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℂ)
13	12	mul01d 11322	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) · 0) = 0)
14	10, 13	sylan9eqr 2790	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 0) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) = 0)
15	9, 14	breqtrrd 5123	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
16	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ)
17	16	zcnd 12588	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℂ)
18	1, 3	gcdcld 16429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
19	18	nn0zd 12504	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12588	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
22		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0)
23	17, 21, 22	divcan1d 11908	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) = (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
24		gcddvds 16424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
25	1, 4, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
26	25	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾)
27	6, 1, 19, 26	dvdsmultr1d 16218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)))
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)))
29	23, 28	eqbrtrd 5117	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)))
30		gcddvds 16424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
31	1, 3, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
32	31	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾)
33	31	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
34		dvdsmultr2 16219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
35	19, 2, 3, 34	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
36	33, 35	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
37		dvdsgcd 16465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁))))
38	19, 1, 4, 37	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁))))
39	32, 36, 38	mp2and 699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
41		dvdsval2 16176	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
42	20, 22, 16, 41	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
43	40, 42	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
44	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℤ)
45		dvdsmulcr 16206	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾))
46	43, 44, 20, 22, 45	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾))
47	29, 46	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾)
48		nn0abscl 15229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℕ₀)
49	2, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ₀)
50	49	nn0zd 12504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
51		dvdsmultr2 16219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾 → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾)))
52	6, 50, 1, 51	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾 → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾)))
53	26, 52	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾))
54	50, 3	zmulcld 12593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ)
55	25	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
56		iddvds 16190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∥ 𝑀)
57	2, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ 𝑀)
58		dvdsabsb 16196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑀)))
59	2, 2, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑀)))
60	57, 59	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (abs‘𝑀))
61		dvdsmulc 16204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝑀) → (𝑀 · 𝑁) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
62	2, 50, 3, 61	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝑀) → (𝑀 · 𝑁) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
63	60, 62	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁))
64	6, 4, 54, 55, 63	dvdstrd 16216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁))
65	50, 1	zmulcld 12593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · 𝐾) ∈ ℤ)
66		dvdsgcd 16465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((abs‘𝑀) · 𝐾) ∈ ℤ ∧ ((abs‘𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾) ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁))))
67	6, 65, 54, 66	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾) ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁))))
68	53, 64, 67	mp2and 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
69	18	nn0red 12453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
70	18	nn0ge0d 12455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝐾 gcd 𝑁))
71	69, 70	absidd 15340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐾 gcd 𝑁)) = (𝐾 gcd 𝑁))
72	71	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (abs‘(𝐾 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
73	2	zcnd 12588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
74	18	nn0cnd 12454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
75	73, 74	absmuld 15374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝑀) · (abs‘(𝐾 gcd 𝑁))))
76		mulgcd 16469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
77	49, 1, 3, 76	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
78	72, 75, 77	3eqtr4d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁))) = (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
79	68, 78	breqtrrd 5123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁))))
80	2, 19	zmulcld 12593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
81		dvdsabsb 16196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))))
82	6, 80, 81	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))))
83	79, 82	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))
84	83	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))
85	23, 84	eqbrtrd 5117	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))
86	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
87		dvdsmulcr 16206	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀))
88	43, 86, 20, 22, 87	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀))
89	85, 88	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀)
90		dvdsgcd 16465	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀)))
91	43, 44, 86, 90	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀)))
92	47, 89, 91	mp2and 699	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀))
93	11	nn0zd 12504	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
94	93	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
95		dvdsmulc 16204	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁))))
96	43, 94, 20, 95	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁))))
97	92, 96	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
98	23, 97	eqbrtrrd 5119	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
99	15, 98	pm2.61dane 3017	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2930 class class class wbr 5095 ‘cfv 6489 (class class class)co 7355 0cc0 11016 · cmul 11021 / cdiv 11784 ℕ₀cn0 12391 ℤcz 12478 abscabs 15151 ∥ cdvds 16173 gcd cgcd 16415

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2705 ax-sep 5238 ax-nul 5248 ax-pow 5307 ax-pr 5374 ax-un 7677 ax-cnex 11072 ax-resscn 11073 ax-1cn 11074 ax-icn 11075 ax-addcl 11076 ax-addrcl 11077 ax-mulcl 11078 ax-mulrcl 11079 ax-mulcom 11080 ax-addass 11081 ax-mulass 11082 ax-distr 11083 ax-i2m1 11084 ax-1ne0 11085 ax-1rid 11086 ax-rnegex 11087 ax-rrecex 11088 ax-cnre 11089 ax-pre-lttri 11090 ax-pre-lttrn 11091 ax-pre-ltadd 11092 ax-pre-mulgt0 11093 ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2725 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2931 df-nel 3035 df-ral 3050 df-rex 3059 df-rmo 3348 df-reu 3349 df-rab 3398 df-v 3440 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4285 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-op 4584 df-uni 4861 df-iun 4945 df-br 5096 df-opab 5158 df-mpt 5177 df-tr 5203 df-id 5516 df-eprel 5521 df-po 5529 df-so 5530 df-fr 5574 df-we 5576 df-xp 5627 df-rel 5628 df-cnv 5629 df-co 5630 df-dm 5631 df-rn 5632 df-res 5633 df-ima 5634 df-pred 6256 df-ord 6317 df-on 6318 df-lim 6319 df-suc 6320 df-iota 6445 df-fun 6491 df-fn 6492 df-f 6493 df-f1 6494 df-fo 6495 df-f1o 6496 df-fv 6497 df-riota 7312 df-ov 7358 df-oprab 7359 df-mpo 7360 df-om 7806 df-2nd 7931 df-frecs 8220 df-wrecs 8251 df-recs 8300 df-rdg 8338 df-er 8631 df-en 8879 df-dom 8880 df-sdom 8881 df-sup 9336 df-inf 9337 df-pnf 11158 df-mnf 11159 df-xr 11160 df-ltxr 11161 df-le 11162 df-sub 11356 df-neg 11357 df-div 11785 df-nn 12136 df-2 12198 df-3 12199 df-n0 12392 df-z 12479 df-uz 12743 df-rp 12901 df-fl 13706 df-mod 13784 df-seq 13919 df-exp 13979 df-cj 15016 df-re 15017 df-im 15018 df-sqrt 15152 df-abs 15153 df-dvds 16174 df-gcd 16416

This theorem is referenced by: rpmulgcd2 16577 rpmul 16580

W3C validator