MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgcddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgcddvds 16599
Description: One half of rpmulgcd2 16600, which does not need the coprimality assumption. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
mulgcddvds ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))

Proof of Theorem mulgcddvds
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
2 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
42, 3zmulcld 12676 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
51, 4gcdcld 16456 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„•0)
65nn0zd 12588 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
7 dvds0 16222 . . . . 5 ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ 0)
86, 7syl 17 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ 0)
98adantr 480 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) = 0) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ 0)
10 oveq2 7413 . . . 4 ((๐พ gcd ๐‘) = 0 โ†’ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)) = ((๐พ gcd ๐‘€) ยท 0))
111, 2gcdcld 16456 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
1211nn0cnd 12538 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
1312mul01d 11417 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท 0) = 0)
1410, 13sylan9eqr 2788 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) = 0) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)) = 0)
159, 14breqtrrd 5169 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) = 0) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))
166adantr 480 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
1716zcnd 12671 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
181, 3gcdcld 16456 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1918nn0zd 12588 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2019adantr 480 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2120zcnd 12671 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
22 simpr 484 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0)
2317, 21, 22divcan1d 11995 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) = (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)))
24 gcddvds 16451 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ๐พ โˆง (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
251, 4, 24syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ๐พ โˆง (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
2625simpld 494 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ๐พ)
276, 1, 19, 26dvdsmultr1d 16247 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท (๐พ gcd ๐‘)))
2827adantr 480 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท (๐พ gcd ๐‘)))
2923, 28eqbrtrd 5163 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท (๐พ gcd ๐‘)))
30 gcddvds 16451 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐พ โˆง (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘))
311, 3, 30syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐พ โˆง (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘))
3231simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐พ)
3331simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘)
34 dvdsmultr2 16248 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
3519, 2, 3, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
3633, 35mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
37 dvdsgcd 16493 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐พ โˆง (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘))))
3819, 1, 4, 37syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ gcd ๐‘) โˆฅ ๐พ โˆง (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘))))
3932, 36, 38mp2and 696 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)))
4039adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)))
41 dvdsval2 16207 . . . . . . . . 9 (((๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0 โˆง (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โ†” ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค))
4220, 22, 16, 41syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘) โˆฅ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โ†” ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค))
4340, 42mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
441adantr 480 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
45 dvdsmulcr 16236 . . . . . . 7 ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0)) โ†’ ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท (๐พ gcd ๐‘)) โ†” ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐พ))
4643, 44, 20, 22, 45syl112anc 1371 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท (๐พ gcd ๐‘)) โ†” ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐พ))
4729, 46mpbid 231 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐พ)
48 nn0abscl 15265 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•0)
492, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•0)
5049nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ค)
51 dvdsmultr2 16248 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ๐พ โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ)))
526, 50, 1, 51syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ๐พ โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ)))
5326, 52mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ))
5450, 3zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5525simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
56 iddvds 16220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘€)
572, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘€)
58 dvdsabsb 16226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘€ โ†” ๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐‘€)))
592, 2, 58syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘€ โ†” ๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐‘€)))
6057, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐‘€))
61 dvdsmulc 16234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘)))
622, 50, 3, 61syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘)))
6360, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘))
646, 4, 54, 55, 63dvdstrd 16245 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘))
6550, 1zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค)
66 dvdsgcd 16493 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) โˆง (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘)) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) gcd ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘))))
676, 65, 54, 66syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) โˆง (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘)) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) gcd ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘))))
6853, 64, 67mp2and 696 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) gcd ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘)))
6918nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„)
7018nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 โ‰ค (๐พ gcd ๐‘))
7169, 70absidd 15375 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(๐พ gcd ๐‘)) = (๐พ gcd ๐‘))
7271oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜(๐พ gcd ๐‘))) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))
732zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
7418nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
7573, 74absmuld 15407 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘))) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜(๐พ gcd ๐‘))))
76 mulgcd 16497 . . . . . . . . . . . 12 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) gcd ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘)) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))
7749, 1, 3, 76syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) gcd ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘)) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))
7872, 75, 773eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘))) = (((absโ€˜๐‘€) ยท ๐พ) gcd ((absโ€˜๐‘€) ยท ๐‘)))
7968, 78breqtrrd 5169 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘))))
802, 19zmulcld 12676 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
81 dvdsabsb 16226 . . . . . . . . . 10 (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)) โ†” (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)))))
826, 80, 81syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)) โ†” (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)))))
8379, 82mpbird 257 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)))
8483adantr 480 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)))
8523, 84eqbrtrd 5163 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)))
862adantr 480 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
87 dvdsmulcr 16236 . . . . . . 7 ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0)) โ†’ ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)) โ†” ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘€))
8843, 86, 20, 22, 87syl112anc 1371 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐พ gcd ๐‘)) โ†” ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘€))
8985, 88mpbid 231 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘€)
90 dvdsgcd 16493 . . . . . 6 ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐พ โˆง ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ gcd ๐‘€)))
9143, 44, 86, 90syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐พ โˆง ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ gcd ๐‘€)))
9247, 89, 91mp2and 696 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ gcd ๐‘€))
9311nn0zd 12588 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
9493adantr 480 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
95 dvdsmulc 16234 . . . . 5 ((((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ gcd ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ gcd ๐‘€) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘))))
9643, 94, 20, 95syl3anc 1368 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ gcd ๐‘€) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘))))
9792, 96mpd 15 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (((๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) / (๐พ gcd ๐‘)) ยท (๐พ gcd ๐‘)) โˆฅ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))
9823, 97eqbrtrrd 5165 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))
9915, 98pm2.61dane 3023 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112   ยท cmul 11117   / cdiv 11875  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  abscabs 15187   โˆฅ cdvds 16204   gcd cgcd 16442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443
This theorem is referenced by:  rpmulgcd2  16600  rpmul  16603
  Copyright terms: Public domain W3C validator