mulgcddvds - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulgcddvds		Structured version Visualization version GIF version

Theorem mulgcddvds 16692

Description: One half of rpmulgcd2 16693, which does not need the coprimality assumption. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulgcddvds	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))

**Proof of Theorem mulgcddvds**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 12728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	1, 4	gcdcld 16545	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ₀)
6	5	nn0zd 12639	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ)
7		dvds0 16309	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 0)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 0)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 0)
10		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ ((𝐾 gcd 𝑁) = 0 → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · 0))
11	1, 2	gcdcld 16545	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℕ₀)
12	11	nn0cnd 12589	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℂ)
13	12	mul01d 11460	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) · 0) = 0)
14	10, 13	sylan9eqr 2799	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 0) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) = 0)
15	9, 14	breqtrrd 5171	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
16	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ)
17	16	zcnd 12723	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℂ)
18	1, 3	gcdcld 16545	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
19	18	nn0zd 12639	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12723	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
22		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0)
23	17, 21, 22	divcan1d 12044	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) = (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
24		gcddvds 16540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
25	1, 4, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
26	25	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾)
27	6, 1, 19, 26	dvdsmultr1d 16334	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)))
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)))
29	23, 28	eqbrtrd 5165	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)))
30		gcddvds 16540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
31	1, 3, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
32	31	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾)
33	31	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
34		dvdsmultr2 16335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
35	19, 2, 3, 34	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
36	33, 35	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
37		dvdsgcd 16581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁))))
38	19, 1, 4, 37	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁))))
39	32, 36, 38	mp2and 699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
41		dvdsval2 16293	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
42	20, 22, 16, 41	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
43	40, 42	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
44	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℤ)
45		dvdsmulcr 16323	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾))
46	43, 44, 20, 22, 45	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾))
47	29, 46	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾)
48		nn0abscl 15351	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℕ₀)
49	2, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ₀)
50	49	nn0zd 12639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
51		dvdsmultr2 16335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾 → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾)))
52	6, 50, 1, 51	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾 → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾)))
53	26, 52	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾))
54	50, 3	zmulcld 12728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ)
55	25	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
56		iddvds 16307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∥ 𝑀)
57	2, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ 𝑀)
58		dvdsabsb 16313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑀)))
59	2, 2, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑀)))
60	57, 59	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (abs‘𝑀))
61		dvdsmulc 16321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝑀) → (𝑀 · 𝑁) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
62	2, 50, 3, 61	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝑀) → (𝑀 · 𝑁) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
63	60, 62	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁))
64	6, 4, 54, 55, 63	dvdstrd 16332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁))
65	50, 1	zmulcld 12728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · 𝐾) ∈ ℤ)
66		dvdsgcd 16581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((abs‘𝑀) · 𝐾) ∈ ℤ ∧ ((abs‘𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾) ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁))))
67	6, 65, 54, 66	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾) ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁))))
68	53, 64, 67	mp2and 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
69	18	nn0red 12588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
70	18	nn0ge0d 12590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝐾 gcd 𝑁))
71	69, 70	absidd 15461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐾 gcd 𝑁)) = (𝐾 gcd 𝑁))
72	71	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (abs‘(𝐾 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
73	2	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
74	18	nn0cnd 12589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
75	73, 74	absmuld 15493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝑀) · (abs‘(𝐾 gcd 𝑁))))
76		mulgcd 16585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
77	49, 1, 3, 76	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
78	72, 75, 77	3eqtr4d 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁))) = (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
79	68, 78	breqtrrd 5171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁))))
80	2, 19	zmulcld 12728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
81		dvdsabsb 16313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))))
82	6, 80, 81	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))))
83	79, 82	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))
84	83	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))
85	23, 84	eqbrtrd 5165	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))
86	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
87		dvdsmulcr 16323	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀))
88	43, 86, 20, 22, 87	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀))
89	85, 88	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀)
90		dvdsgcd 16581	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀)))
91	43, 44, 86, 90	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀)))
92	47, 89, 91	mp2and 699	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀))
93	11	nn0zd 12639	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
94	93	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
95		dvdsmulc 16321	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁))))
96	43, 94, 20, 95	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁))))
97	92, 96	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
98	23, 97	eqbrtrrd 5167	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
99	15, 98	pm2.61dane 3029	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2940 class class class wbr 5143 ‘cfv 6561 (class class class)co 7431 0cc0 11155 · cmul 11160 / cdiv 11920 ℕ₀cn0 12526 ℤcz 12613 abscabs 15273 ∥ cdvds 16290 gcd cgcd 16531

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232 ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-op 4633 df-uni 4908 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-2nd 8015 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-er 8745 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-sup 9482 df-inf 9483 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-n0 12527 df-z 12614 df-uz 12879 df-rp 13035 df-fl 13832 df-mod 13910 df-seq 14043 df-exp 14103 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-dvds 16291 df-gcd 16532

This theorem is referenced by: rpmulgcd2 16693 rpmul 16696

W3C validator