Theorem sadadd3 16166

Description: Sum of initial segments of the sadd sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c	⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k	⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
sadadd3	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadadd3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12046	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
3		sadcp1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	nnexpcld 13958	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12424	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
6		iddvds 15977	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℤ → (2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁))
8		dvds0 15979	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℤ → (2↑𝑁) ∥ 0)
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ 0)
10		breq2 5083	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑁) = if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) → ((2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
11		breq2 5083	. . . . . 6 ⊢ (0 = if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) → ((2↑𝑁) ∥ 0 ↔ (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
12	10, 11	ifboth 4504	. . . . 5 ⊢ (((2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁) ∧ (2↑𝑁) ∥ 0) → (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0))
13	7, 9, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0))
14		inss1 4168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
15		sadval.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
16		sadval.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
17		sadval.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
18	15, 16, 17	sadfval 16157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))})
19		ssrab2 4018	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))} ⊆ ℕ0
20	18, 19	eqsstrdi 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
21	14, 20	sstrid 3937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
22		fzofi 13692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
24		inss2 4169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
25		ssfi 8938	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
26	23, 24, 25	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
27		elfpw 9099	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
28	21, 26, 27	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
29		bitsf1o 16150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
30		f1ocnv 6726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
31		f1of 6714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
32	29, 30, 31	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
33		sadcadd.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)
34	33	feq1i 6589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0 ↔ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
35	32, 34	mpbir 230	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
36	35	ffvelrni 6957	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
37	28, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
38	37	nn0cnd 12295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
39	4	nncnd 11989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
40		0cn 10968	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
41		ifcl 4510	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
43	38, 42	pncan2d 11334	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0))
44	13, 43	breqtrrd 5107	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))
45	37	nn0zd 12423	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
46	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
47		0zd 12331	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
48	46, 47	ifclda 4500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℤ)
49	45, 48	zaddcld 12429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) ∈ ℤ)
50		moddvds 15972	. . . 4 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) ∈ ℤ ∧ (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ) → ((((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
51	4, 49, 45, 50	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
52	44, 51	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
53	15, 16, 17, 3, 33	sadadd2 16165	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
54	53	oveq1d 7286	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
55	52, 54	eqtr3d 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542  haddwhad 1598  caddwcad 1612   ∈ wcel 2110  {crab 3070   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262  ifcif 4465  𝒫 cpw 4539   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5162  ^◡ccnv 5589   ↾ cres 5592  ⟶wf 6428  –1-1-onto→wf1o 6431  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271   ∈ cmpo 7273  1_oc1o 8281  2_oc2o 8282  Fincfn 8716  ℂcc 10870  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ..^cfzo 13381   mod cmo 13587  seqcseq 13719  ↑cexp 13780   ∥ cdvds 15961  bitscbits 16124   sadd csad 16125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1599  df-cad 1613  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-disj 5045  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-oadd 8292  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-dju 9660  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-sum 15396  df-dvds 15962  df-bits 16127  df-sad 16156

This theorem is referenced by:  sadaddlem  16171  sadasslem  16175  sadeq  16177