Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadadd3 15803
 Description: Sum of initial segments of the sadd sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadadd3 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadadd3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 11702 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
3 sadcp1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3nnexpcld 13606 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
54nnzd 12078 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
6 iddvds 15618 . . . . . 6 ((2↑𝑁) ∈ ℤ → (2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁))
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁))
8 dvds0 15620 . . . . . 6 ((2↑𝑁) ∈ ℤ → (2↑𝑁) ∥ 0)
95, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ 0)
10 breq2 5037 . . . . . 6 ((2↑𝑁) = if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0) → ((2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)))
11 breq2 5037 . . . . . 6 (0 = if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0) → ((2↑𝑁) ∥ 0 ↔ (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)))
1210, 11ifboth 4466 . . . . 5 (((2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁) ∧ (2↑𝑁) ∥ 0) → (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0))
137, 9, 12syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0))
14 inss1 4158 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
15 sadval.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
16 sadval.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
17 sadval.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
1815, 16, 17sadfval 15794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))})
19 ssrab2 4010 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))} ⊆ ℕ0
2018, 19eqsstrdi 3972 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
2114, 20sstrid 3929 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
22 fzofi 13341 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) ∈ Fin
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
24 inss2 4159 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
25 ssfi 8726 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
2623, 24, 25sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
27 elfpw 8814 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
2821, 26, 27sylanbrc 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
29 bitsf1o 15787 . . . . . . . . . 10 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
30 f1ocnv 6606 . . . . . . . . . 10 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
31 f1of 6594 . . . . . . . . . 10 ((bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
3229, 30, 31mp2b 10 . . . . . . . . 9 (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
33 sadcadd.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
3433feq1i 6482 . . . . . . . . 9 (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
3532, 34mpbir 234 . . . . . . . 8 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
3635ffvelrni 6831 . . . . . . 7 (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
3728, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
3837nn0cnd 11949 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
394nncnd 11645 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
40 0cn 10626 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
41 ifcl 4472 . . . . . 6 (((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
4239, 40, 41sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
4338, 42pncan2d 10992 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0))
4413, 43breqtrrd 5061 . . 3 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))
4537nn0zd 12077 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
465adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
47 0zd 11985 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
4846, 47ifclda 4462 . . . . 5 (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℤ)
4945, 48zaddcld 12083 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) ∈ ℤ)
50 moddvds 15613 . . . 4 (((2↑𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) ∈ ℤ ∧ (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ) → ((((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
514, 49, 45, 50syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
5244, 51mpbird 260 . 2 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
5315, 16, 17, 3, 33sadadd2 15802 . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
5453oveq1d 7154 . 2 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
5552, 54eqtr3d 2838 1 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  haddwhad 1594  caddwcad 1608   ∈ wcel 2112  {crab 3113   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  ifcif 4428  𝒫 cpw 4500   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ◡ccnv 5522   ↾ cres 5525  ⟶wf 6324  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141  1oc1o 8082  2oc2o 8083  Fincfn 8496  ℂcc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   − cmin 10863  ℕcn 11629  2c2 11684  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ..^cfzo 13032   mod cmo 13236  seqcseq 13368  ↑cexp 13429   ∥ cdvds 15602  bitscbits 15761   sadd csad 15762 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-had 1595  df-cad 1609  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-dvds 15603  df-bits 15764  df-sad 15793 This theorem is referenced by:  sadaddlem  15808  sadasslem  15812  sadeq  15814
 Copyright terms: Public domain W3C validator