Theorem sadadd3 16372

Description: Sum of initial segments of the sadd sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c	⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k	⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
sadadd3	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadadd3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12201	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
3		sadcp1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	nnexpcld 14152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
6		iddvds 16180	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℤ → (2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁))
8		dvds0 16182	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℤ → (2↑𝑁) ∥ 0)
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ 0)
10		breq2 5096	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑁) = if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) → ((2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
11		breq2 5096	. . . . . 6 ⊢ (0 = if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) → ((2↑𝑁) ∥ 0 ↔ (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
12	10, 11	ifboth 4516	. . . . 5 ⊢ (((2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁) ∧ (2↑𝑁) ∥ 0) → (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0))
13	7, 9, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0))
14		inss1 4188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
15		sadval.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
16		sadval.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
17		sadval.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
18	15, 16, 17	sadfval 16363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))})
19		ssrab2 4031	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))} ⊆ ℕ0
20	18, 19	eqsstrdi 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
21	14, 20	sstrid 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
22		fzofi 13881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
24		inss2 4189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
25		ssfi 9087	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
26	23, 24, 25	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
27		elfpw 9244	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
28	21, 26, 27	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
29		bitsf1o 16356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
30		f1ocnv 6776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
31		f1of 6764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
32	29, 30, 31	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
33		sadcadd.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)
34	33	feq1i 6643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0 ↔ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
35	32, 34	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
36	35	ffvelcdmi 7017	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
37	28, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
38	37	nn0cnd 12447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
39	4	nncnd 12144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
40		0cn 11107	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
41		ifcl 4522	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
43	38, 42	pncan2d 11477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0))
44	13, 43	breqtrrd 5120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))
45	37	nn0zd 12497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
46	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
47		0zd 12483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
48	46, 47	ifclda 4512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℤ)
49	45, 48	zaddcld 12584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) ∈ ℤ)
50		moddvds 16174	. . . 4 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) ∈ ℤ ∧ (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ) → ((((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
51	4, 49, 45, 50	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
52	44, 51	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
53	15, 16, 17, 3, 33	sadadd2 16371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
54	53	oveq1d 7364	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
55	52, 54	eqtr3d 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  haddwhad 1593  caddwcad 1606   ∈ wcel 2109  {crab 3394   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ifcif 4476  𝒫 cpw 4551   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ^◡ccnv 5618   ↾ cres 5621  ⟶wf 6478  –1-1-onto→wf1o 6481  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  1_oc1o 8381  2_oc2o 8382  Fincfn 8872  ℂcc 11007  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   − cmin 11347  ℕcn 12128  2c2 12183  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ..^cfzo 13557   mod cmo 13773  seqcseq 13908  ↑cexp 13968   ∥ cdvds 16163  bitscbits 16330   sadd csad 16331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-had 1594  df-cad 1607  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-dvds 16164  df-bits 16333  df-sad 16362

This theorem is referenced by:  sadaddlem  16377  sadasslem  16381  sadeq  16383