MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sadadd3 16399
Description: Sum of initial segments of the sadd sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
sadval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
sadval.c 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
sadcp1.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sadcadd.k 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
Assertion
Ref Expression
sadadd3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,π‘š   𝐡,𝑐,π‘š   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐡(𝑛)   𝐢(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐾(π‘š,𝑛,𝑐)   𝑁(π‘š,𝑐)
Proof of Theorem sadadd3
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12282 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•
21a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
3 sadcp1.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
42, 3nnexpcld 14205 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
54nnzd 12582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„€)
6 iddvds 16210 . . . . . 6 ((2↑𝑁) ∈ β„€ β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ (2↑𝑁))
75, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ (2↑𝑁))
8 dvds0 16212 . . . . . 6 ((2↑𝑁) ∈ β„€ β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ 0)
95, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ 0)
10 breq2 5152 . . . . . 6 ((2↑𝑁) = if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑁) βˆ₯ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)))
11 breq2 5152 . . . . . 6 (0 = if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 0 ↔ (2↑𝑁) βˆ₯ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)))
1210, 11ifboth 4567 . . . . 5 (((2↑𝑁) βˆ₯ (2↑𝑁) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 0) β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0))
137, 9, 12syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0))
14 inss1 4228 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (𝐴 sadd 𝐡)
15 sadval.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
16 sadval.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
17 sadval.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
1815, 16, 17sadfval 16390 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 sadd 𝐡) = {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ hadd(π‘˜ ∈ 𝐴, π‘˜ ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜))})
19 ssrab2 4077 . . . . . . . . . 10 {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ hadd(π‘˜ ∈ 𝐴, π‘˜ ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜))} βŠ† β„•0
2018, 19eqsstrdi 4036 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 sadd 𝐡) βŠ† β„•0)
2114, 20sstrid 3993 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
22 fzofi 13936 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) ∈ Fin
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0..^𝑁) ∈ Fin)
24 inss2 4229 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
25 ssfi 9170 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
2623, 24, 25sylancl 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
27 elfpw 9351 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
2821, 26, 27sylanbrc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
29 bitsf1o 16383 . . . . . . . . . 10 (bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
30 f1ocnv 6843 . . . . . . . . . 10 ((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0)
31 f1of 6831 . . . . . . . . . 10 (β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0)
3229, 30, 31mp2b 10 . . . . . . . . 9 β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0
33 sadcadd.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
3433feq1i 6706 . . . . . . . . 9 (𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0 ↔ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0)
3532, 34mpbir 230 . . . . . . . 8 𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0
3635ffvelcdmi 7083 . . . . . . 7 (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
3728, 36syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
3837nn0cnd 12531 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
394nncnd 12225 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
40 0cn 11203 . . . . . 6 0 ∈ β„‚
41 ifcl 4573 . . . . . 6 (((2↑𝑁) ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
4239, 40, 41sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
4338, 42pncan2d 11570 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) βˆ’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)))) = if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0))
4413, 43breqtrrd 5176 . . 3 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) βˆ’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)))))
4537nn0zd 12581 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€)
465adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„€)
47 0zd 12567 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 0 ∈ β„€)
4846, 47ifclda 4563 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0) ∈ β„€)
4945, 48zaddcld 12667 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) ∈ β„€)
50 moddvds 16205 . . . 4 (((2↑𝑁) ∈ β„• ∧ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) ∈ β„€ ∧ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€) β†’ ((((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) βˆ₯ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) βˆ’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))))))
514, 49, 45, 50syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) βˆ₯ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) βˆ’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))))))
5244, 51mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
5315, 16, 17, 3, 33sadadd2 16398 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
5453oveq1d 7421 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
5552, 54eqtr3d 2775 1 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  haddwhad 1595  caddwcad 1608   ∈ wcel 2107  {crab 3433   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  1oc1o 8456  2oc2o 8457  Fincfn 8936  β„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   βˆ’ cmin 11441  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  ..^cfzo 13624   mod cmo 13831  seqcseq 13963  β†‘cexp 14024   βˆ₯ cdvds 16194  bitscbits 16357   sadd csad 16358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-dvds 16195  df-bits 16360  df-sad 16389
This theorem is referenced by:  sadaddlem  16404  sadasslem  16408  sadeq  16410
  Copyright terms: Public domain W3C validator