Theorem sadadd3 16407

Description: Sum of initial segments of the sadd sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c	⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k	⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
sadadd3	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadadd3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12235	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
3		sadcp1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	nnexpcld 14186	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12532	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
6		iddvds 16215	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℤ → (2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁))
8		dvds0 16217	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℤ → (2↑𝑁) ∥ 0)
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ 0)
10		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑁) = if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) → ((2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
11		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (0 = if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) → ((2↑𝑁) ∥ 0 ↔ (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)))
12	10, 11	ifboth 4524	. . . . 5 ⊢ (((2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁) ∧ (2↑𝑁) ∥ 0) → (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0))
13	7, 9, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0))
14		inss1 4196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
15		sadval.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
16		sadval.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
17		sadval.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
18	15, 16, 17	sadfval 16398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))})
19		ssrab2 4039	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))} ⊆ ℕ0
20	18, 19	eqsstrdi 3988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
21	14, 20	sstrid 3955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
22		fzofi 13915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
24		inss2 4197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
25		ssfi 9114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
26	23, 24, 25	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
27		elfpw 9281	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
28	21, 26, 27	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
29		bitsf1o 16391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
30		f1ocnv 6794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
31		f1of 6782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
32	29, 30, 31	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
33		sadcadd.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)
34	33	feq1i 6661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0 ↔ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
35	32, 34	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
36	35	ffvelcdmi 7037	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
37	28, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
38	37	nn0cnd 12481	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
39	4	nncnd 12178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
40		0cn 11142	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
41		ifcl 4530	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
43	38, 42	pncan2d 11511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0))
44	13, 43	breqtrrd 5130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))
45	37	nn0zd 12531	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
46	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
47		0zd 12517	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
48	46, 47	ifclda 4520	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℤ)
49	45, 48	zaddcld 12618	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) ∈ ℤ)
50		moddvds 16209	. . . 4 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) ∈ ℤ ∧ (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ) → ((((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
51	4, 49, 45, 50	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
52	44, 51	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
53	15, 16, 17, 3, 33	sadadd2 16406	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
54	53	oveq1d 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
55	52, 54	eqtr3d 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  haddwhad 1593  caddwcad 1606   ∈ wcel 2109  {crab 3402   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ifcif 4484  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5630   ↾ cres 5633  ⟶wf 6495  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  1_oc1o 8404  2_oc2o 8405  Fincfn 8895  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   − cmin 11381  ℕcn 12162  2c2 12217  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ..^cfzo 13591   mod cmo 13807  seqcseq 13942  ↑cexp 14002   ∥ cdvds 16198  bitscbits 16365   sadd csad 16366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-had 1594  df-cad 1607  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-dvds 16199  df-bits 16368  df-sad 16397

This theorem is referenced by:  sadaddlem  16412  sadasslem  16416  sadeq  16418