MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadadd3 16498
Description: Sum of initial segments of the sadd sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadadd3 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadadd3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12339 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
3 sadcp1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3nnexpcld 14284 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
54nnzd 12640 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
6 iddvds 16307 . . . . . 6 ((2↑𝑁) ∈ ℤ → (2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁))
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁))
8 dvds0 16309 . . . . . 6 ((2↑𝑁) ∈ ℤ → (2↑𝑁) ∥ 0)
95, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ 0)
10 breq2 5147 . . . . . 6 ((2↑𝑁) = if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0) → ((2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)))
11 breq2 5147 . . . . . 6 (0 = if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0) → ((2↑𝑁) ∥ 0 ↔ (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)))
1210, 11ifboth 4565 . . . . 5 (((2↑𝑁) ∥ (2↑𝑁) ∧ (2↑𝑁) ∥ 0) → (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0))
137, 9, 12syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0))
14 inss1 4237 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
15 sadval.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
16 sadval.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
17 sadval.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
1815, 16, 17sadfval 16489 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))})
19 ssrab2 4080 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))} ⊆ ℕ0
2018, 19eqsstrdi 4028 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
2114, 20sstrid 3995 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
22 fzofi 14015 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) ∈ Fin
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
24 inss2 4238 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
25 ssfi 9213 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
2623, 24, 25sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
27 elfpw 9394 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
2821, 26, 27sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
29 bitsf1o 16482 . . . . . . . . . 10 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
30 f1ocnv 6860 . . . . . . . . . 10 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
31 f1of 6848 . . . . . . . . . 10 ((bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
3229, 30, 31mp2b 10 . . . . . . . . 9 (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
33 sadcadd.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
3433feq1i 6727 . . . . . . . . 9 (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
3532, 34mpbir 231 . . . . . . . 8 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
3635ffvelcdmi 7103 . . . . . . 7 (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
3728, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
3837nn0cnd 12589 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
394nncnd 12282 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
40 0cn 11253 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
41 ifcl 4571 . . . . . 6 (((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
4239, 40, 41sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
4338, 42pncan2d 11622 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0))
4413, 43breqtrrd 5171 . . 3 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))
4537nn0zd 12639 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
465adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
47 0zd 12625 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
4846, 47ifclda 4561 . . . . 5 (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℤ)
4945, 48zaddcld 12726 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) ∈ ℤ)
50 moddvds 16301 . . . 4 (((2↑𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) ∈ ℤ ∧ (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ) → ((((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
514, 49, 45, 50syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → ((((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) − (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
5244, 51mpbird 257 . 2 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
5315, 16, 17, 3, 33sadadd2 16497 . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
5453oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
5552, 54eqtr3d 2779 1 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  haddwhad 1593  caddwcad 1606  wcel 2108  {crab 3436  cin 3950  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  cres 5687  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1oc1o 8499  2oc2o 8500  Fincfn 8985  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909  seqcseq 14042  cexp 14102  cdvds 16290  bitscbits 16456   sadd csad 16457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-had 1594  df-cad 1607  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-bits 16459  df-sad 16488
This theorem is referenced by:  sadaddlem  16503  sadasslem  16507  sadeq  16509
  Copyright terms: Public domain W3C validator