Theorem pcz 17103

Description: The prime count function can be used as an indicator that a given rational number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcz	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem pcz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcge0 17084	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
2	1	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
3	2	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
4		elq 13117	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
5		nnz 12754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
6		dvds0 16485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∥ 0)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∥ 0)
8	7	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑦 ∥ 0)
9		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
10	8, 9	breqtrrd 5139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑦 ∥ 𝑥)
11	10	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∥ 𝑥))
12		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
13		simplll 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ ℤ)
14		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑥 ≠ 0)
15		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∈ ℕ)
16		pcdiv 17074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦)))
17	12, 13, 14, 15, 16	syl121anc 1403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦)))
18	17	breq2d 5120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ 0 ≤ ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦))))
19		pczcl 17070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℕ0)
20	12, 13, 14, 19	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℕ0)
21	20	nn0red 12708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℝ)
22	12, 15	pccld 17072	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑦) ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 12708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑦) ∈ ℝ)
24	21, 23	subge0d 11946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦)) ↔ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
25	18, 24	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
26	25	ralbidva 3187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
27		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
28		pc2dvds 17101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ∥ 𝑥 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
29	5, 27, 28	syl2anr 609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ∥ 𝑥 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
30	29	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑦 ∥ 𝑥 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
31	26, 30	bitr4d 285	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ 𝑦 ∥ 𝑥))
32	31	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∥ 𝑥))
33	11, 32	pm2.61dane 3046	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∥ 𝑥))
34		nnne0 12412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
35		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℤ)
36		dvdsval2 16469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
37	5, 34, 35, 36	syl2an23an 1451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
38	33, 37	sylibd 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
39		oveq2 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
40	39	breq2d 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦))))
41	40	ralbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦))))
42		eleq1 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
43	41, 42	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ)))
44	38, 43	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
45	44	rexlimivv 3208	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
46	4, 45	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
47	3, 46	impbid2 229	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  0cc0 11239   ≤ cle 11383   − cmin 11580   / cdiv 12013  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ℚcq 13115   ∥ cdvds 16466  ℙcprime 16890   pCnt cpc 17058

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-gcd 16709  df-prm 16891  df-pc 17059

This theorem is used by:  pcmptdvds  17116  qexpz  17123