Theorem pcz 16928

Description: The prime count function can be used as an indicator that a given rational number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcz	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem pcz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcge0 16909	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
3	2	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
4		elq 13015	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
5		nnz 12660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
6		dvds0 16320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∥ 0)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∥ 0)
8	7	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑦 ∥ 0)
9		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
10	8, 9	breqtrrd 5194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑦 ∥ 𝑥)
11	10	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∥ 𝑥))
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
13		simplll 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ ℤ)
14		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑥 ≠ 0)
15		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∈ ℕ)
16		pcdiv 16899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦)))
17	12, 13, 14, 15, 16	syl121anc 1375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦)))
18	17	breq2d 5178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ 0 ≤ ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦))))
19		pczcl 16895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℕ0)
20	12, 13, 14, 19	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℕ0)
21	20	nn0red 12614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℝ)
22	12, 15	pccld 16897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑦) ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 12614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑦) ∈ ℝ)
24	21, 23	subge0d 11880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦)) ↔ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
25	18, 24	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
26	25	ralbidva 3182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
27		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
28		pc2dvds 16926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ∥ 𝑥 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
29	5, 27, 28	syl2anr 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ∥ 𝑥 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑦 ∥ 𝑥 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
31	26, 30	bitr4d 282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ 𝑦 ∥ 𝑥))
32	31	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∥ 𝑥))
33	11, 32	pm2.61dane 3035	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∥ 𝑥))
34		nnne0 12327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
35		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℤ)
36		dvdsval2 16305	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
37	5, 34, 35, 36	syl2an23an 1423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
38	33, 37	sylibd 239	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
39		oveq2 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
40	39	breq2d 5178	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦))))
41	40	ralbidv 3184	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦))))
42		eleq1 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
43	41, 42	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ)))
44	38, 43	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
45	44	rexlimivv 3207	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
46	4, 45	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
47	3, 46	impbid2 226	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  0cc0 11184   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℚcq 13013   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718   pCnt cpc 16883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-pc 16884

This theorem is referenced by:  pcmptdvds  16941  qexpz  16948