Theorem dvdssqf 27082

Description: A divisor of a squarefree number is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssqf	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐴) ≠ 0 → (μ‘𝐵) ≠ 0))

Proof of Theorem dvdssqf

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∥ 𝐴)
2		prmz 16622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
4		zsqcl 14072	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
6		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12534	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
8		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12534	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
10		dvdstr 16241	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑝↑2) ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑2) ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
12	1, 11	mpan2d 694	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑2) ∥ 𝐵 → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
13	12	reximdva 3146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
14		isnsqf 27079	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((μ‘𝐵) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐵))
15	14	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐵) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐵))
16		isnsqf 27079	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
17	16	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
18	13, 15, 17	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐵) = 0 → (μ‘𝐴) = 0))
19	18	necon3d 2946	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐴) ≠ 0 → (μ‘𝐵) ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11046  ℕcn 12164  2c2 12219  ℤcz 12507  ↑cexp 14004   ∥ cdvds 16199  ℙcprime 16618  μcmu 27039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9870  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13447  df-seq 13945  df-exp 14005  df-hash 14274  df-dvds 16200  df-prm 16619  df-mu 27045

This theorem is referenced by: (None)