Theorem dvdssqf 27068

Description: A divisor of a squarefree number is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssqf	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐴) ≠ 0 → (μ‘𝐵) ≠ 0))

Proof of Theorem dvdssqf

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∥ 𝐴)
2		prmz 16578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
4		zsqcl 14028	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
6		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
8		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
10		dvdstr 16197	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑝↑2) ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑2) ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
12	1, 11	mpan2d 694	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑2) ∥ 𝐵 → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
13	12	reximdva 3143	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
14		isnsqf 27065	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((μ‘𝐵) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐵))
15	14	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐵) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐵))
16		isnsqf 27065	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
17	16	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
18	13, 15, 17	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐵) = 0 → (μ‘𝐴) = 0))
19	18	necon3d 2947	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐴) ≠ 0 → (μ‘𝐵) ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  0cc0 10998  ℕcn 12117  2c2 12172  ℤcz 12460  ↑cexp 13960   ∥ cdvds 16155  ℙcprime 16574  μcmu 27025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-seq 13901  df-exp 13961  df-hash 14230  df-dvds 16156  df-prm 16575  df-mu 27031

This theorem is referenced by: (None)