MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmz 16006
Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
prmz (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)

Proof of Theorem prmz
StepHypRef Expression
1 prmnn 16005 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21nnzd 12072 1 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  cz 11967  cprime 16002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7141  df-om 7564  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-neg 10858  df-nn 11624  df-n0 11884  df-z 11968  df-prm 16003
This theorem is referenced by:  dvdsprime  16018  oddprmge3  16031  exprmfct  16035  prmdvdsfz  16036  isprm5  16038  isprm7  16039  maxprmfct  16040  coprm  16042  prmrp  16043  euclemma  16044  prmdvdsexpb  16047  prmexpb  16049  prmfac1  16050  rpexp  16051  cncongrprm  16056  phiprmpw  16100  phiprm  16101  fermltl  16108  prmdiv  16109  prmdiveq  16110  vfermltl  16125  vfermltlALT  16126  reumodprminv  16128  modprm0  16129  oddprm  16134  prm23lt5  16138  prm23ge5  16139  pcneg  16197  pcprmpw2  16205  pcprmpw  16206  difsqpwdvds  16210  pcprod  16218  prmpwdvds  16227  prmunb  16237  prmreclem3  16241  prmreclem5  16243  1arithlem4  16249  1arith  16250  4sqlem11  16278  4sqlem12  16279  4sqlem13  16280  4sqlem14  16281  4sqlem17  16284  prmdvdsprmo  16365  prmdvdsprmop  16366  fvprmselgcd1  16368  prmgaplem4  16377  prmgaplem5  16378  prmgaplem6  16379  prmgaplem8  16381  pgpfi  18719  sylow2alem2  18732  sylow2blem3  18736  gexexlem  18961  ablfacrplem  19176  ablfac1lem  19179  ablfac1b  19181  ablfac1eu  19184  pgpfac1lem2  19186  pgpfac1lem3a  19187  pgpfac1lem3  19188  pgpfac1lem4  19189  ablfaclem3  19198  prmirredlem  20626  wilthlem1  25642  wilthlem2  25643  ppisval  25678  vmappw  25690  muval1  25707  dvdssqf  25712  mumullem1  25753  mumul  25755  sqff1o  25756  dvdsppwf1o  25760  ppiublem1  25775  ppiublem2  25776  chtublem  25784  vmasum  25789  perfect1  25801  bposlem3  25859  bposlem6  25862  lgslem1  25870  lgsval2lem  25880  lgsvalmod  25889  lgsmod  25896  lgsdirprm  25904  lgsdir  25905  lgsdilem2  25906  lgsdi  25907  lgsne0  25908  lgsprme0  25912  lgsqr  25924  gausslemma2dlem1a  25938  gausslemma2dlem4  25942  gausslemma2dlem5a  25943  lgseisenlem1  25948  lgseisenlem2  25949  lgseisenlem3  25950  lgseisenlem4  25951  lgseisen  25952  lgsquadlem2  25954  lgsquadlem3  25955  lgsquad2lem2  25958  m1lgs  25961  2lgslem1a  25964  2lgslem1  25967  2lgslem2  25968  2lgsoddprm  25989  2sqlem3  25993  2sqlem4  25994  2sqlem6  25996  2sqlem8  25999  2sqblem  26004  2sqb  26005  2sqmod  26009  rpvmasumlem  26060  dchrisum0flblem1  26081  dchrisum0flblem2  26082  dirith  26102  clwwlkndivn  27854  oddprm2  31944  nn0prpwlem  33688  nn0prpw  33689  rtprmirr  39353  prmunb2  40851  nzprmdif  40859  etransclem48  42766  sfprmdvdsmersenne  43963  sgprmdvdsmersenne  43964  oddprmALTV  44047  oddprmne2  44075  even3prm2  44079  mogoldbblem  44080  sbgoldbst  44138  sbgoldbaltlem1  44139  sbgoldbaltlem2  44140  nnsum3primesprm  44150  nnsum3primesgbe  44152  nnsum4primesodd  44156  nnsum4primesoddALTV  44157  nnsum4primeseven  44160  nnsum4primesevenALTV  44161  bgoldbtbndlem2  44166  bgoldbtbndlem3  44167  bgoldbtbndlem4  44168  bgoldbtbnd  44169  ztprmneprm  44590
  Copyright terms: Public domain W3C validator