Theorem prmz 16769

Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prmz	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)

Proof of Theorem prmz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16768	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12644	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ℤcz 12618  ℙcprime 16765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-prm 16766

This theorem is used by:  dvdsprime  16781  oddprmge3  16795  exprmfct  16799  prmdvdsfz  16800  isprm5  16802  isprm7  16803  maxprmfct  16804  coprm  16806  prmrp  16807  euclemma  16808  prmdvdsexpb  16811  prmexpb  16814  prmfac1  16815  rpexp  16817  cncongrprm  16824  phiprmpw  16871  phiprm  16872  fermltl  16879  prmdiv  16880  prmdiveq  16881  vfermltl  16897  vfermltlALT  16898  reumodprminv  16900  modprm0  16901  oddprm  16906  prm23lt5  16910  prm23ge5  16911  pcneg  16970  pcprmpw2  16978  pcprmpw  16979  difsqpwdvds  16983  pcprod  16991  prmpwdvds  17000  prmunb  17010  prmreclem3  17014  prmreclem5  17016  1arithlem4  17022  1arith  17023  4sqlem11  17051  4sqlem12  17052  4sqlem13  17053  4sqlem14  17054  4sqlem17  17057  prmdvdsprmo  17138  prmdvdsprmop  17139  fvprmselgcd1  17141  prmgaplem4  17150  prmgaplem5  17151  prmgaplem6  17152  prmgaplem8  17154  pgpfi  19733  sylow2alem2  19746  sylow2blem3  19750  gexexlem  19980  ablfacrplem  20195  ablfac1lem  20198  ablfac1b  20200  ablfac1eu  20203  pgpfac1lem2  20205  pgpfac1lem3a  20206  pgpfac1lem3  20207  pgpfac1lem4  20208  ablfaclem3  20217  prmirredlem  21686  rtprmirr  26995  wilthlem1  27302  wilthlem2  27303  ppisval  27338  vmappw  27350  muval1  27367  dvdssqf  27372  mumullem1  27413  mumul  27415  sqff1o  27416  dvdsppwf1o  27420  ppiublem1  27436  ppiublem2  27437  chtublem  27445  vmasum  27450  perfect1  27462  bposlem3  27520  bposlem6  27523  lgslem1  27531  lgsval2lem  27541  lgsvalmod  27550  lgsmod  27557  lgsdirprm  27565  lgsdir  27566  lgsdilem2  27567  lgsdi  27568  lgsne0  27569  lgsprme0  27573  lgsqr  27585  gausslemma2dlem1a  27599  gausslemma2dlem4  27603  gausslemma2dlem5a  27604  lgseisenlem1  27609  lgseisenlem2  27610  lgseisenlem3  27611  lgseisenlem4  27612  lgseisen  27613  lgsquadlem2  27615  lgsquadlem3  27616  lgsquad2lem2  27619  m1lgs  27622  2lgslem1a  27625  2lgslem1  27628  2lgslem2  27629  2lgsoddprm  27650  2sqlem3  27654  2sqlem4  27655  2sqlem6  27657  2sqlem8  27660  2sqblem  27665  2sqb  27666  2sqmod  27670  rpvmasumlem  27721  dchrisum0flblem1  27742  dchrisum0flblem2  27743  dirith  27763  clwwlkndivn  30536  oddprm2  35150  nn0prpwlem  36928  nn0prpw  36929  flt4lem5elem  43484  prmunb2  45122  nzprmdif  45130  etransclem48  47097  sfprmdvdsmersenne  48493  sgprmdvdsmersenne  48494  oddprmALTV  48590  oddprmne2  48618  even3prm2  48622  mogoldbblem  48623  sbgoldbst  48681  sbgoldbaltlem1  48682  sbgoldbaltlem2  48683  nnsum3primesprm  48693  nnsum3primesgbe  48695  nnsum4primesodd  48699  nnsum4primesoddALTV  48700  nnsum4primeseven  48703  nnsum4primesevenALTV  48704  bgoldbtbndlem2  48709  bgoldbtbndlem3  48710  bgoldbtbndlem4  48711  bgoldbtbnd  48712  ztprmneprm  49264