MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmz 16552
Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
prmz (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)

Proof of Theorem prmz
StepHypRef Expression
1 prmnn 16551 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21nnzd 12527 1 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cz 12500  cprime 16548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-prm 16549
This theorem is referenced by:  dvdsprime  16564  oddprmge3  16577  exprmfct  16581  prmdvdsfz  16582  isprm5  16584  isprm7  16585  maxprmfct  16586  coprm  16588  prmrp  16589  euclemma  16590  prmdvdsexpb  16593  prmexpb  16597  prmfac1  16598  rpexp  16599  cncongrprm  16605  phiprmpw  16649  phiprm  16650  fermltl  16657  prmdiv  16658  prmdiveq  16659  vfermltl  16674  vfermltlALT  16675  reumodprminv  16677  modprm0  16678  oddprm  16683  prm23lt5  16687  prm23ge5  16688  pcneg  16747  pcprmpw2  16755  pcprmpw  16756  difsqpwdvds  16760  pcprod  16768  prmpwdvds  16777  prmunb  16787  prmreclem3  16791  prmreclem5  16793  1arithlem4  16799  1arith  16800  4sqlem11  16828  4sqlem12  16829  4sqlem13  16830  4sqlem14  16831  4sqlem17  16834  prmdvdsprmo  16915  prmdvdsprmop  16916  fvprmselgcd1  16918  prmgaplem4  16927  prmgaplem5  16928  prmgaplem6  16929  prmgaplem8  16931  pgpfi  19388  sylow2alem2  19401  sylow2blem3  19405  gexexlem  19631  ablfacrplem  19845  ablfac1lem  19848  ablfac1b  19850  ablfac1eu  19853  pgpfac1lem2  19855  pgpfac1lem3a  19856  pgpfac1lem3  19857  pgpfac1lem4  19858  ablfaclem3  19867  prmirredlem  20896  wilthlem1  26420  wilthlem2  26421  ppisval  26456  vmappw  26468  muval1  26485  dvdssqf  26490  mumullem1  26531  mumul  26533  sqff1o  26534  dvdsppwf1o  26538  ppiublem1  26553  ppiublem2  26554  chtublem  26562  vmasum  26567  perfect1  26579  bposlem3  26637  bposlem6  26640  lgslem1  26648  lgsval2lem  26658  lgsvalmod  26667  lgsmod  26674  lgsdirprm  26682  lgsdir  26683  lgsdilem2  26684  lgsdi  26685  lgsne0  26686  lgsprme0  26690  lgsqr  26702  gausslemma2dlem1a  26716  gausslemma2dlem4  26720  gausslemma2dlem5a  26721  lgseisenlem1  26726  lgseisenlem2  26727  lgseisenlem3  26728  lgseisenlem4  26729  lgseisen  26730  lgsquadlem2  26732  lgsquadlem3  26733  lgsquad2lem2  26736  m1lgs  26739  2lgslem1a  26742  2lgslem1  26745  2lgslem2  26746  2lgsoddprm  26767  2sqlem3  26771  2sqlem4  26772  2sqlem6  26774  2sqlem8  26777  2sqblem  26782  2sqb  26783  2sqmod  26787  rpvmasumlem  26838  dchrisum0flblem1  26859  dchrisum0flblem2  26860  dirith  26880  clwwlkndivn  29027  oddprm2  33271  nn0prpwlem  34797  nn0prpw  34798  rtprmirr  40836  flt4lem5elem  40992  prmunb2  42598  nzprmdif  42606  etransclem48  44530  sfprmdvdsmersenne  45802  sgprmdvdsmersenne  45803  oddprmALTV  45886  oddprmne2  45914  even3prm2  45918  mogoldbblem  45919  sbgoldbst  45977  sbgoldbaltlem1  45978  sbgoldbaltlem2  45979  nnsum3primesprm  45989  nnsum3primesgbe  45991  nnsum4primesodd  45995  nnsum4primesoddALTV  45996  nnsum4primeseven  45999  nnsum4primesevenALTV  46000  bgoldbtbndlem2  46005  bgoldbtbndlem3  46006  bgoldbtbndlem4  46007  bgoldbtbnd  46008  ztprmneprm  46430
  Copyright terms: Public domain W3C validator