Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elfzolborelfzop1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzolborelfzop1 48364
Description: An element of a half-open integer interval is either equal to the left bound of the interval or an element of a half-open integer interval with a lower bound increased by 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
elfzolborelfzop1 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))

Proof of Theorem elfzolborelfzop1
StepHypRef Expression
1 elfzo2 13698 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2 eluz2 12881 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾))
3 zre 12614 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4 zre 12614 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
5 leloe 11344 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 < 𝐾𝑀 = 𝐾)))
63, 4, 5syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 < 𝐾𝑀 = 𝐾)))
7 peano2z 12655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
87adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
98ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
10 simprlr 780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
11 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 < 𝐾)
12 zltp1le 12664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
1312ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
1411, 13mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝐾)
159, 10, 143jca 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
17 simplrr 778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
18 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
19 elfzo2 13698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
20 eluz2 12881 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
21203anbi1i 1156 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2219, 21bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2316, 17, 18, 22syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
2423olcd 874 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
2524exp31 419 . . . . . . . . 9 (𝑀 < 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
26 orc 867 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 𝑀 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
2726eqcoms 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝐾 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
28272a1d 26 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
2925, 28jaoi 857 . . . . . . . 8 ((𝑀 < 𝐾𝑀 = 𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
3029expd 415 . . . . . . 7 ((𝑀 < 𝐾𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))))))
3130com12 32 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 < 𝐾𝑀 = 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))))))
326, 31sylbid 240 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))))))
33323impia 1116 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
342, 33sylbi 217 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
35343imp 1110 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
361, 35sylbi 217 1 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  cz 12610  cuz 12875  ..^cfzo 13690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691
This theorem is referenced by:  nnpw2blenfzo2  48431
  Copyright terms: Public domain W3C validator