Theorem elfzolborelfzop1 48512

Description: An element of a half-open integer interval is either equal to the left bound of the interval or an element of a half-open integer interval with a lower bound increased by 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzolborelfzop1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))

Proof of Theorem elfzolborelfzop1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 13630	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2		eluz2 12806	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
3		zre 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4		zre 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
5		leloe 11267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 < 𝐾 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 < 𝐾 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
7		peano2z 12581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
9	8	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
10		simprlr 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
11		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 < 𝐾)
12		zltp1le 12590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
13	12	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
14	11, 13	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝐾)
15	9, 10, 14	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
17		simplrr 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
19		elfzo2 13630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
20		eluz2 12806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
21	20	3anbi1i 1157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
22	19, 21	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
23	16, 17, 18, 22	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
24	23	olcd 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
25	24	exp31 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 < 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
26		orc 867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
27	26	eqcoms 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 𝐾 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
28	27	2a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
29	25, 28	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∨ 𝑀 = 𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
30	29	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∨ 𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))))))
31	30	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 < 𝐾 ∨ 𝑀 = 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))))))
32	6, 31	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))))))
33	32	3impia 1117	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
34	2, 33	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
35	34	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
36	1, 35	sylbi 217	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ..^cfzo 13622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623

This theorem is referenced by:  nnpw2blenfzo2  48575