Theorem elfzolborelfzop1 47699

Description: An element of a half-open integer interval is either equal to the left bound of the interval or an element of a half-open integer interval with a lower bound increased by 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzolborelfzop1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))

Proof of Theorem elfzolborelfzop1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 13667	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2		eluz2 12858	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
3		zre 12592	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4		zre 12592	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
5		leloe 11330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 < 𝐾 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
6	3, 4, 5	syl2an 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 < 𝐾 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
7		peano2z 12633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
8	7	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
9	8	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
10		simprlr 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
11		simpl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 < 𝐾)
12		zltp1le 12642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
13	12	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
14	11, 13	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝐾)
15	9, 10, 14	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
16	15	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
17		simplrr 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		simpr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
19		elfzo2 13667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
20		eluz2 12858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
21	20	3anbi1i 1154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
22	19, 21	bitri 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
23	16, 17, 18, 22	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
24	23	olcd 872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
25	24	exp31 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 < 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
26		orc 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
27	26	eqcoms 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 𝐾 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
28	27	2a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
29	25, 28	jaoi 855	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∨ 𝑀 = 𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
30	29	expd 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∨ 𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))))))
31	30	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 < 𝐾 ∨ 𝑀 = 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))))))
32	6, 31	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))))))
33	32	3impia 1114	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
34	2, 33	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
35	34	3imp 1108	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
36	1, 35	sylbi 216	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5148  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  ℝcr 11137  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278   ≤ cle 11279  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ..^cfzo 13659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660

This theorem is referenced by:  nnpw2blenfzo2  47767