Theorem elfzolborelfzop1 49011

Description: An element of a half-open integer interval is either equal to the left bound of the interval or an element of a half-open integer interval with a lower bound increased by 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzolborelfzop1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))

Proof of Theorem elfzolborelfzop1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 13611	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2		eluz2 12789	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
3		zre 12523	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4		zre 12523	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
5		leloe 11227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 < 𝐾 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
6	3, 4, 5	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 < 𝐾 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
7		peano2z 12563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
9	8	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
10		simprlr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
11		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 < 𝐾)
12		zltp1le 12572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
13	12	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
14	11, 13	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝐾)
15	9, 10, 14	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
17		simplrr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
19		elfzo2 13611	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
20		eluz2 12789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
21	20	3anbi1i 1158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
22	19, 21	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
23	16, 17, 18, 22	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
24	23	olcd 875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
25	24	exp31 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 < 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
26		orc 868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
27	26	eqcoms 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 𝐾 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
28	27	2a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
29	25, 28	jaoi 858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∨ 𝑀 = 𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
30	29	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∨ 𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))))))
31	30	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 < 𝐾 ∨ 𝑀 = 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))))))
32	6, 31	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))))))
33	32	3impia 1118	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
34	2, 33	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
35	34	3imp 1111	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
36	1, 35	sylbi 217	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  1c1 11034   + caddc 11036   < clt 11174   ≤ cle 11175  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ..^cfzo 13603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604

This theorem is referenced by:  nnpw2blenfzo2  49074