MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsbc 16760
Description: Condition for a prime number to divide a binomial coefficient. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsbc ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑁))

Proof of Theorem prmdvdsbc
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . 3 ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)))
2 simpl 482 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 prmnn 16708 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
43nnzd 12638 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5 1nn0 12540 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
6 eluzmn 12883 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)))
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)))
8 fzss2 13601 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)) → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
10 fz1ssfz0 13660 . . . . . . 7 (1...𝑃) ⊆ (0...𝑃)
119, 10sstrdi 4008 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...𝑃))
1211sselda 3995 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ (0...𝑃))
13 bcval2 14341 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝑃C𝑁) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
153nnnn0d 12585 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
17 elfzelz 13561 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1817adantl 481 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 bccl 14358 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃C𝑁) ∈ ℕ0)
2016, 18, 19syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) ∈ ℕ0)
2120nn0zd 12637 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) ∈ ℤ)
2214, 21eqeltrrd 2840 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))) ∈ ℤ)
23 elfznn 13590 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2423adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2524nnnn0d 12585 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
26 1zzd 12646 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
274adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℤ)
28 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
29 elfzm11 13632 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑃)))
3029biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑃))
3130simp3d 1143 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 < 𝑃)
3226, 27, 28, 31syl21anc 838 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 < 𝑃)
33 ltsubnn0 12575 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑃 → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0))
3433imp 406 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
3516, 25, 32, 34syl21anc 838 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
3635faccld 14320 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℕ)
3736nnzd 12638 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ)
3825faccld 14320 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3938nnzd 12638 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
4037, 39zmulcld 12726 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ)
4137zcnd 12721 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℂ)
4239zcnd 12721 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
43 facne0 14322 . . . . 5 ((𝑃𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑃𝑁)) ≠ 0)
4435, 43syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃𝑁)) ≠ 0)
45 facne0 14322 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≠ 0)
4625, 45syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ≠ 0)
4741, 42, 44, 46mulne0d 11913 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
48 uzid 12891 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ (ℤ𝑃))
494, 48syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ𝑃))
50 dvdsfac 16360 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ𝑃)) → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
513, 49, 50syl2anc 584 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
5251adantr 480 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
5316nn0red 12586 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ)
5424nnrpd 13073 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
5553, 54ltsubrpd 13107 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃𝑁) < 𝑃)
56 prmndvdsfaclt 16759 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑁) < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁))))
5756imp 406 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑃𝑁) < 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)))
582, 35, 55, 57syl21anc 838 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)))
59 prmndvdsfaclt 16759 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
6059imp 406 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))
612, 25, 32, 60syl21anc 838 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))
62 ioran 985 . . . . . 6 (¬ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) ↔ (¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
63 euclemma 16747 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))))
6463biimpd 229 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))))
6564con3d 152 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
6662, 65biimtrrid 243 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → ((¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
6766imp 406 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)))
682, 37, 39, 58, 61, 67syl32anc 1377 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)))
691, 2, 22, 40, 47, 52, 68dvdszzq 16755 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
7069, 14breqtrrd 5176 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  !cfa 14309  Ccbc 14338  cdvds 16287  cprime 16705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706
This theorem is referenced by:  freshmansdream  21611
  Copyright terms: Public domain W3C validator