Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsbc 31893
Description: Condition for a prime number to divide a binomial coefficient. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsbc ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑁))

Proof of Theorem prmdvdsbc
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . 3 ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)))
2 simpl 483 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 prmnn 16593 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
43nnzd 12567 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5 1nn0 12470 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
6 eluzmn 12811 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)))
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)))
8 fzss2 13523 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)) → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
10 fz1ssfz0 13579 . . . . . . 7 (1...𝑃) ⊆ (0...𝑃)
119, 10sstrdi 3990 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...𝑃))
1211sselda 3978 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ (0...𝑃))
13 bcval2 14247 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝑃C𝑁) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
153nnnn0d 12514 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
1615adantr 481 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
17 elfzelz 13483 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1817adantl 482 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 bccl 14264 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃C𝑁) ∈ ℕ0)
2016, 18, 19syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) ∈ ℕ0)
2120nn0zd 12566 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) ∈ ℤ)
2214, 21eqeltrrd 2833 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))) ∈ ℤ)
23 elfznn 13512 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2423adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2524nnnn0d 12514 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
26 1zzd 12575 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
274adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℤ)
28 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
29 elfzm11 13554 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑃)))
3029biimpa 477 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑃))
3130simp3d 1144 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 < 𝑃)
3226, 27, 28, 31syl21anc 836 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 < 𝑃)
33 ltsubnn0 12505 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑃 → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0))
3433imp 407 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
3516, 25, 32, 34syl21anc 836 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
3635faccld 14226 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℕ)
3736nnzd 12567 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ)
3825faccld 14226 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3938nnzd 12567 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
4037, 39zmulcld 12654 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ)
4137zcnd 12649 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℂ)
4239zcnd 12649 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
43 facne0 14228 . . . . 5 ((𝑃𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑃𝑁)) ≠ 0)
4435, 43syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃𝑁)) ≠ 0)
45 facne0 14228 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≠ 0)
4625, 45syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ≠ 0)
4741, 42, 44, 46mulne0d 11848 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
48 uzid 12819 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ (ℤ𝑃))
494, 48syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ𝑃))
50 dvdsfac 16251 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ𝑃)) → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
513, 49, 50syl2anc 584 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
5251adantr 481 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
5316nn0red 12515 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ)
5424nnrpd 12996 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
5553, 54ltsubrpd 13030 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃𝑁) < 𝑃)
56 prmndvdsfaclt 16644 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑁) < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁))))
5756imp 407 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑃𝑁) < 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)))
582, 35, 55, 57syl21anc 836 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)))
59 prmndvdsfaclt 16644 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
6059imp 407 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))
612, 25, 32, 60syl21anc 836 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))
62 ioran 982 . . . . . 6 (¬ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) ↔ (¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
63 euclemma 16632 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))))
6463biimpd 228 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))))
6564con3d 152 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
6662, 65biimtrrid 242 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → ((¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
6766imp 407 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)))
682, 37, 39, 58, 61, 67syl32anc 1378 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)))
691, 2, 22, 40, 47, 52, 68dvdszzq 31892 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
7069, 14breqtrrd 5169 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wss 3944   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  0cc0 11092  1c1 11093   · cmul 11097   < clt 11230  cle 11231  cmin 11426   / cdiv 11853  cn 12194  0cn0 12454  cz 12540  cuz 12804  ...cfz 13466  !cfa 14215  Ccbc 14244  cdvds 16179  cprime 16590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-fac 14216  df-bc 14245  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-dvds 16180  df-gcd 16418  df-prm 16591
This theorem is referenced by:  freshmansdream  32249
  Copyright terms: Public domain W3C validator