Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsbc 32060
Description: Condition for a prime number to divide a binomial coefficient. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsbc ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒC๐‘))

Proof of Theorem prmdvdsbc
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 ((!โ€˜๐‘ƒ) / ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))) = ((!โ€˜๐‘ƒ) / ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘)))
2 simpl 483 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
3 prmnn 16613 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
43nnzd 12587 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
5 1nn0 12490 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„•0
6 eluzmn 12831 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
8 fzss2 13543 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โŠ† (1...๐‘ƒ))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โŠ† (1...๐‘ƒ))
10 fz1ssfz0 13599 . . . . . . 7 (1...๐‘ƒ) โŠ† (0...๐‘ƒ)
119, 10sstrdi 3994 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โŠ† (0...๐‘ƒ))
1211sselda 3982 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...๐‘ƒ))
13 bcval2 14267 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒC๐‘) = ((!โ€˜๐‘ƒ) / ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒC๐‘) = ((!โ€˜๐‘ƒ) / ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))))
153nnnn0d 12534 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
1615adantr 481 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
17 elfzelz 13503 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1817adantl 482 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
19 bccl 14284 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒC๐‘) โˆˆ โ„•0)
2016, 18, 19syl2anc 584 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒC๐‘) โˆˆ โ„•0)
2120nn0zd 12586 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒC๐‘) โˆˆ โ„ค)
2214, 21eqeltrrd 2834 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((!โ€˜๐‘ƒ) / ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))) โˆˆ โ„ค)
23 elfznn 13532 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2423adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2524nnnn0d 12534 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
26 1zzd 12595 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
274adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
28 simpr 485 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
29 elfzm11 13574 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ < ๐‘ƒ)))
3029biimpa 477 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ < ๐‘ƒ))
3130simp3d 1144 . . . . . . . 8 (((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ < ๐‘ƒ)
3226, 27, 28, 31syl21anc 836 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ < ๐‘ƒ)
33 ltsubnn0 12525 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ < ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0))
3433imp 407 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ < ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0)
3516, 25, 32, 34syl21anc 836 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0)
3635faccld 14246 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„•)
3736nnzd 12587 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
3825faccld 14246 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
3938nnzd 12587 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
4037, 39zmulcld 12674 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค)
4137zcnd 12669 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
4239zcnd 12669 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
43 facne0 14248 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โ‰  0)
4435, 43syl 17 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โ‰  0)
45 facne0 14248 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰  0)
4625, 45syl 17 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰  0)
4741, 42, 44, 46mulne0d 11868 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘)) โ‰  0)
48 uzid 12839 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ƒ))
494, 48syl 17 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ƒ))
50 dvdsfac 16271 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ƒ))
513, 49, 50syl2anc 584 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ƒ))
5251adantr 481 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ƒ))
5316nn0red 12535 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
5424nnrpd 13016 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
5553, 54ltsubrpd 13050 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) < ๐‘ƒ)
56 prmndvdsfaclt 16664 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) < ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘))))
5756imp 407 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) < ๐‘ƒ) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)))
582, 35, 55, 57syl21anc 836 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)))
59 prmndvdsfaclt 16664 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ < ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)))
6059imp 407 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ < ๐‘ƒ) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘))
612, 25, 32, 60syl21anc 836 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘))
62 ioran 982 . . . . . 6 (ยฌ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)) โ†” (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)))
63 euclemma 16652 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘))))
6463biimpd 228 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘))))
6564con3d 152 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))))
6662, 65biimtrrid 242 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))))
6766imp 407 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘)))
682, 37, 39, 58, 61, 67syl32anc 1378 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘)))
691, 2, 22, 40, 47, 52, 68dvdszzq 32059 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜๐‘ƒ) / ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))))
7069, 14breqtrrd 5176 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒC๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   โŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  ...cfz 13486  !cfa 14235  Ccbc 14264   โˆฅ cdvds 16199  โ„™cprime 16610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611
This theorem is referenced by:  freshmansdream  32422
  Copyright terms: Public domain W3C validator