MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsbc 16763
Description: Condition for a prime number to divide a binomial coefficient. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsbc ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑁))

Proof of Theorem prmdvdsbc
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)))
2 simpl 482 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 prmnn 16711 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
43nnzd 12640 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5 1nn0 12542 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
6 eluzmn 12885 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)))
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)))
8 fzss2 13604 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)) → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
10 fz1ssfz0 13663 . . . . . . 7 (1...𝑃) ⊆ (0...𝑃)
119, 10sstrdi 3996 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...𝑃))
1211sselda 3983 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ (0...𝑃))
13 bcval2 14344 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝑃C𝑁) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
153nnnn0d 12587 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
17 elfzelz 13564 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1817adantl 481 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 bccl 14361 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃C𝑁) ∈ ℕ0)
2016, 18, 19syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) ∈ ℕ0)
2120nn0zd 12639 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) ∈ ℤ)
2214, 21eqeltrrd 2842 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))) ∈ ℤ)
23 elfznn 13593 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2423adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2524nnnn0d 12587 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
26 1zzd 12648 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
274adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℤ)
28 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
29 elfzm11 13635 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑃)))
3029biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑃))
3130simp3d 1145 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 < 𝑃)
3226, 27, 28, 31syl21anc 838 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 < 𝑃)
33 ltsubnn0 12577 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑃 → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0))
3433imp 406 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
3516, 25, 32, 34syl21anc 838 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
3635faccld 14323 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℕ)
3736nnzd 12640 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ)
3825faccld 14323 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3938nnzd 12640 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
4037, 39zmulcld 12728 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ)
4137zcnd 12723 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℂ)
4239zcnd 12723 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
43 facne0 14325 . . . . 5 ((𝑃𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑃𝑁)) ≠ 0)
4435, 43syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃𝑁)) ≠ 0)
45 facne0 14325 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≠ 0)
4625, 45syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ≠ 0)
4741, 42, 44, 46mulne0d 11915 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
48 uzid 12893 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ (ℤ𝑃))
494, 48syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ𝑃))
50 dvdsfac 16363 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ𝑃)) → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
513, 49, 50syl2anc 584 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
5251adantr 480 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
5316nn0red 12588 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ)
5424nnrpd 13075 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
5553, 54ltsubrpd 13109 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃𝑁) < 𝑃)
56 prmndvdsfaclt 16762 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑁) < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁))))
5756imp 406 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑃𝑁) < 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)))
582, 35, 55, 57syl21anc 838 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)))
59 prmndvdsfaclt 16762 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
6059imp 406 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))
612, 25, 32, 60syl21anc 838 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))
62 ioran 986 . . . . . 6 (¬ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) ↔ (¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
63 euclemma 16750 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))))
6463biimpd 229 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))))
6564con3d 152 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
6662, 65biimtrrid 243 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → ((¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
6766imp 406 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)))
682, 37, 39, 58, 61, 67syl32anc 1380 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)))
691, 2, 22, 40, 47, 52, 68dvdszzq 16758 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
7069, 14breqtrrd 5171 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  !cfa 14312  Ccbc 14341  cdvds 16290  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709
This theorem is referenced by:  freshmansdream  21593
  Copyright terms: Public domain W3C validator