Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsbc 31761
Description: Condition for a prime number to divide a binomial coefficient. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsbc ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒC๐‘))

Proof of Theorem prmdvdsbc
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 ((!โ€˜๐‘ƒ) / ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))) = ((!โ€˜๐‘ƒ) / ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘)))
2 simpl 484 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
3 prmnn 16555 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
43nnzd 12531 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
5 1nn0 12434 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„•0
6 eluzmn 12775 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
74, 5, 6sylancl 587 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
8 fzss2 13487 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โŠ† (1...๐‘ƒ))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โŠ† (1...๐‘ƒ))
10 fz1ssfz0 13543 . . . . . . 7 (1...๐‘ƒ) โŠ† (0...๐‘ƒ)
119, 10sstrdi 3957 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โŠ† (0...๐‘ƒ))
1211sselda 3945 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...๐‘ƒ))
13 bcval2 14211 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒC๐‘) = ((!โ€˜๐‘ƒ) / ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒC๐‘) = ((!โ€˜๐‘ƒ) / ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))))
153nnnn0d 12478 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
1615adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
17 elfzelz 13447 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1817adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
19 bccl 14228 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒC๐‘) โˆˆ โ„•0)
2016, 18, 19syl2anc 585 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒC๐‘) โˆˆ โ„•0)
2120nn0zd 12530 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒC๐‘) โˆˆ โ„ค)
2214, 21eqeltrrd 2835 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((!โ€˜๐‘ƒ) / ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))) โˆˆ โ„ค)
23 elfznn 13476 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2423adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2524nnnn0d 12478 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
26 1zzd 12539 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
274adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
28 simpr 486 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
29 elfzm11 13518 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ < ๐‘ƒ)))
3029biimpa 478 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ < ๐‘ƒ))
3130simp3d 1145 . . . . . . . 8 (((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ < ๐‘ƒ)
3226, 27, 28, 31syl21anc 837 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ < ๐‘ƒ)
33 ltsubnn0 12469 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ < ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0))
3433imp 408 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ < ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0)
3516, 25, 32, 34syl21anc 837 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0)
3635faccld 14190 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„•)
3736nnzd 12531 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
3825faccld 14190 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
3938nnzd 12531 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
4037, 39zmulcld 12618 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค)
4137zcnd 12613 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
4239zcnd 12613 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
43 facne0 14192 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โ‰  0)
4435, 43syl 17 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โ‰  0)
45 facne0 14192 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰  0)
4625, 45syl 17 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰  0)
4741, 42, 44, 46mulne0d 11812 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘)) โ‰  0)
48 uzid 12783 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ƒ))
494, 48syl 17 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ƒ))
50 dvdsfac 16213 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ƒ))
513, 49, 50syl2anc 585 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ƒ))
5251adantr 482 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ƒ))
5316nn0red 12479 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
5424nnrpd 12960 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
5553, 54ltsubrpd 12994 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) < ๐‘ƒ)
56 prmndvdsfaclt 16606 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) < ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘))))
5756imp 408 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘) < ๐‘ƒ) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)))
582, 35, 55, 57syl21anc 837 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)))
59 prmndvdsfaclt 16606 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ < ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)))
6059imp 408 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ < ๐‘ƒ) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘))
612, 25, 32, 60syl21anc 837 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘))
62 ioran 983 . . . . . 6 (ยฌ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)) โ†” (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)))
63 euclemma 16594 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘))))
6463biimpd 228 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘))))
6564con3d 152 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))))
6662, 65biimtrrid 242 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))))
6766imp 408 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘)))
682, 37, 39, 58, 61, 67syl32anc 1379 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘)))
691, 2, 22, 40, 47, 52, 68dvdszzq 31760 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜๐‘ƒ) / ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))))
7069, 14breqtrrd 5134 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒC๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430  !cfa 14179  Ccbc 14208   โˆฅ cdvds 16141  โ„™cprime 16552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553
This theorem is referenced by:  freshmansdream  32116
  Copyright terms: Public domain W3C validator