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Theorem prmdvdsbc 16696

Description: Condition for a prime number to divide a binomial coefficient. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
prmdvdsbc	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑁))

**Proof of Theorem prmdvdsbc**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁)))
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmnn 16643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5		1nn0 12453	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
6		eluzmn 12795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘(𝑃 − 1)))
7	4, 5, 6	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘(𝑃 − 1)))
8		fzss2 13518	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘(𝑃 − 1)) → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
10		fz1ssfz0 13577	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑃) ⊆ (0...𝑃)
11	9, 10	sstrdi 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...𝑃))
12	11	sselda 3921	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ (0...𝑃))
13		bcval2 14267	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝑃C𝑁) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
15	3	nnnn0d 12498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ₀)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ₀)
17		elfzelz 13478	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		bccl 14284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃C𝑁) ∈ ℕ₀)
20	16, 18, 19	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) ∈ ℕ₀)
21	20	nn0zd 12549	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) ∈ ℤ)
22	14, 21	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁))) ∈ ℤ)
23		elfznn 13507	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	23	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	nnnn0d 12498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
26		1zzd 12558	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
27	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℤ)
28		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
29		elfzm11 13549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑃)))
30	29	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑃))
31	30	simp3d 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 < 𝑃)
32	26, 27, 28, 31	syl21anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 < 𝑃)
33		ltsubnn0 12488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 < 𝑃 → (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ₀))
34	33	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ₀)
35	16, 25, 32, 34	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ₀)
36	35	faccld 14246	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∈ ℕ)
37	36	nnzd 12550	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∈ ℤ)
38	25	faccld 14246	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
39	38	nnzd 12550	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
40	37, 39	zmulcld 12639	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ)
41	37	zcnd 12634	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∈ ℂ)
42	39	zcnd 12634	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
43		facne0 14248	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑃 − 𝑁)) ≠ 0)
44	35, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃 − 𝑁)) ≠ 0)
45		facne0 14248	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑁) ≠ 0)
46	25, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ≠ 0)
47	41, 42, 44, 46	mulne0d 11802	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
48		uzid 12803	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘𝑃))
49	4, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘𝑃))
50		dvdsfac 16295	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘𝑃)) → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
51	3, 49, 50	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
52	51	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
53	16	nn0red 12499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ)
54	24	nnrpd 12984	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
55	53, 54	ltsubrpd 13018	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃 − 𝑁) < 𝑃)
56		prmndvdsfaclt 16695	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ₀) → ((𝑃 − 𝑁) < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁))))
57	56	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑃 − 𝑁) < 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)))
58	2, 35, 55, 57	syl21anc 838	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)))
59		prmndvdsfaclt 16695	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
60	59	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑁 < 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))
61	2, 25, 32, 60	syl21anc 838	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))
62		ioran 986	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) ↔ (¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
63		euclemma 16683	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))))
64	63	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁)) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))))
65	64	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
66	62, 65	biimtrrid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → ((¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
67	66	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁)))
68	2, 37, 39, 58, 61, 67	syl32anc 1381	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁)))
69	1, 2, 22, 40, 47, 52, 68	dvdszzq 16691	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
70	69, 14	breqtrrd 5113	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∨ wo 848 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2932 ⊆ wss 3889 class class class wbr 5085 ‘cfv 6498 (class class class)co 7367 0cc0 11038 1c1 11039 · cmul 11043 < clt 11179 ≤ cle 11180 − cmin 11377 / cdiv 11807 ℕcn 12174 ℕ₀cn0 12437 ℤcz 12524 ℤ_≥cuz 12788 ...cfz 13461 !cfa 14235 Ccbc 14264 ∥ cdvds 16221 ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2708 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5307 ax-pr 5375 ax-un 7689 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3062 df-rmo 3342 df-reu 3343 df-rab 3390 df-v 3431 df-sbc 3729 df-csb 3838 df-dif 3892 df-un 3894 df-in 3896 df-ss 3906 df-pss 3909 df-nul 4274 df-if 4467 df-pw 4543 df-sn 4568 df-pr 4570 df-op 4574 df-uni 4851 df-iun 4935 df-br 5086 df-opab 5148 df-mpt 5167 df-tr 5193 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6265 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6500 df-fn 6501 df-f 6502 df-f1 6503 df-fo 6504 df-f1o 6505 df-fv 6506 df-riota 7324 df-ov 7370 df-oprab 7371 df-mpo 7372 df-om 7818 df-1st 7942 df-2nd 7943 df-frecs 8231 df-wrecs 8262 df-recs 8311 df-rdg 8349 df-1o 8405 df-2o 8406 df-er 8643 df-en 8894 df-dom 8895 df-sdom 8896 df-fin 8897 df-sup 9355 df-inf 9356 df-pnf 11181 df-mnf 11182 df-xr 11183 df-ltxr 11184 df-le 11185 df-sub 11379 df-neg 11380 df-div 11808 df-nn 12175 df-2 12244 df-3 12245 df-n0 12438 df-z 12525 df-uz 12789 df-rp 12943 df-fz 13462 df-fl 13751 df-mod 13829 df-seq 13964 df-exp 14024 df-fac 14236 df-bc 14265 df-cj 15061 df-re 15062 df-im 15063 df-sqrt 15197 df-abs 15198 df-dvds 16222 df-gcd 16464 df-prm 16641

This theorem is referenced by: freshmansdream 21554

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