Theorem prmdvdsbc 16908

Description: Condition for a prime number to divide a binomial coefficient. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsbc	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑁))

Proof of Theorem prmdvdsbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁)))
2		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmnn 16855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5		1nn0 12626	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		eluzmn 12976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 − 1)))
7	4, 5, 6	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 − 1)))
8		fzss2 13702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 − 1)) → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
9	7, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
10		fz1ssfz0 13761	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑃) ⊆ (0...𝑃)
11	9, 10	sstrdi 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...𝑃))
12	11	sselda 3908	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ (0...𝑃))
13		bcval2 14453	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝑃C𝑁) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
15	3	nnnn0d 12671	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
16	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
17		elfzelz 13660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		bccl 14470	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃C𝑁) ∈ ℕ0)
20	16, 18, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) ∈ ℕ0)
21	20	nn0zd 12722	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) ∈ ℤ)
22	14, 21	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁))) ∈ ℤ)
23		elfznn 13691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	23	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	nnnn0d 12671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
26		1zzd 12731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
27	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℤ)
28		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
29		elfzm11 13733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑃)))
30	29	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑃))
31	30	simp3d 1162	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 < 𝑃)
32	26, 27, 28, 31	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 < 𝑃)
33		ltsubnn0 12661	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑃 → (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0))
34	33	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0)
35	16, 25, 32, 34	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0)
36	35	faccld 14432	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∈ ℕ)
37	36	nnzd 12723	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∈ ℤ)
38	25	faccld 14432	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
39	38	nnzd 12723	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
40	37, 39	zmulcld 12813	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ)
41	37	zcnd 12808	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∈ ℂ)
42	39	zcnd 12808	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
43		facne0 14434	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑃 − 𝑁)) ≠ 0)
44	35, 43	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃 − 𝑁)) ≠ 0)
45		facne0 14434	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≠ 0)
46	25, 45	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ≠ 0)
47	41, 42, 44, 46	mulne0d 11972	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
48		uzid 12984	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑃))
49	4, 48	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑃))
50		dvdsfac 16502	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
51	3, 49, 50	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
52	51	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
53	16	nn0red 12672	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ)
54	24	nnrpd 13166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
55	53, 54	ltsubrpd 13200	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃 − 𝑁) < 𝑃)
56		prmndvdsfaclt 16907	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑃 − 𝑁) < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁))))
57	56	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑃 − 𝑁) < 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)))
58	2, 35, 55, 57	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)))
59		prmndvdsfaclt 16907	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
60	59	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))
61	2, 25, 32, 60	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))
62		ioran 999	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) ↔ (¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
63		euclemma 16895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))))
64	63	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁)) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))))
65	64	con3d 153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
66	62, 65	biimtrrid 246	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → ((¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
67	66	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃 − 𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁)))
68	2, 37, 39, 58, 61, 67	syl32anc 1405	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁)))
69	1, 2, 22, 40, 47, 52, 68	dvdszzq 16903	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃 − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
70	69, 14	breqtrrd 5132	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   · cmul 11209   < clt 11347   ≤ cle 11348   − cmin 11545   / cdiv 11977  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969  ...cfz 13643  !cfa 14421  Ccbc 14450   ∥ cdvds 16428  ℙcprime 16852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-dvds 16429  df-gcd 16671  df-prm 16853

This theorem is used by:  freshmansdream  21886