Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsbc 30850
Description: Condition for a prime number to divide a binomial coefficient. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsbc ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑁))

Proof of Theorem prmdvdsbc
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)))
2 simpl 486 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 prmnn 16231 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
43nnzd 12281 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5 1nn0 12106 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
6 eluzmn 12445 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)))
74, 5, 6sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)))
8 fzss2 13152 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)) → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
10 fz1ssfz0 13208 . . . . . . 7 (1...𝑃) ⊆ (0...𝑃)
119, 10sstrdi 3913 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...𝑃))
1211sselda 3901 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ (0...𝑃))
13 bcval2 13871 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝑃C𝑁) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) = ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
153nnnn0d 12150 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
1615adantr 484 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
17 elfzelz 13112 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1817adantl 485 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 bccl 13888 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃C𝑁) ∈ ℕ0)
2016, 18, 19syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) ∈ ℕ0)
2120nn0zd 12280 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑁) ∈ ℤ)
2214, 21eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))) ∈ ℤ)
23 elfznn 13141 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2423adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2524nnnn0d 12150 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
26 1zzd 12208 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
274adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℤ)
28 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
29 elfzm11 13183 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑃)))
3029biimpa 480 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑃))
3130simp3d 1146 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 < 𝑃)
3226, 27, 28, 31syl21anc 838 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 < 𝑃)
33 ltsubnn0 12141 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑃 → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0))
3433imp 410 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
3516, 25, 32, 34syl21anc 838 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
3635faccld 13850 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℕ)
3736nnzd 12281 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ)
3825faccld 13850 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3938nnzd 12281 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
4037, 39zmulcld 12288 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ)
4137zcnd 12283 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℂ)
4239zcnd 12283 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
43 facne0 13852 . . . . 5 ((𝑃𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑃𝑁)) ≠ 0)
4435, 43syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃𝑁)) ≠ 0)
45 facne0 13852 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≠ 0)
4625, 45syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (!‘𝑁) ≠ 0)
4741, 42, 44, 46mulne0d 11484 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
48 uzid 12453 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ (ℤ𝑃))
494, 48syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ𝑃))
50 dvdsfac 15887 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ𝑃)) → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
513, 49, 50syl2anc 587 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
5251adantr 484 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (!‘𝑃))
5316nn0red 12151 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ)
5424nnrpd 12626 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
5553, 54ltsubrpd 12660 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃𝑁) < 𝑃)
56 prmndvdsfaclt 16282 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑁) < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁))))
5756imp 410 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑃𝑁) < 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)))
582, 35, 55, 57syl21anc 838 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)))
59 prmndvdsfaclt 16282 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
6059imp 410 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))
612, 25, 32, 60syl21anc 838 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))
62 ioran 984 . . . . . 6 (¬ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) ↔ (¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
63 euclemma 16270 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))))
6463biimpd 232 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))))
6564con3d 155 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∨ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
6662, 65syl5bir 246 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → ((¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
6766imp 410 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝑃 ∥ (!‘(𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁))) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)))
682, 37, 39, 58, 61, 67syl32anc 1380 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁)))
691, 2, 22, 40, 47, 52, 68dvdszzq 30849 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ ((!‘𝑃) / ((!‘(𝑃𝑁)) · (!‘𝑁))))
7069, 14breqtrrd 5081 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wss 3866   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062   / cdiv 11489  cn 11830  0cn0 12090  cz 12176  cuz 12438  ...cfz 13095  !cfa 13839  Ccbc 13868  cdvds 15815  cprime 16228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-prm 16229
This theorem is referenced by:  freshmansdream  31203
  Copyright terms: Public domain W3C validator