Theorem eliccioo 32739

Description: Membership in a closed interval of extended reals versus the same open interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
eliccioo	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))

Proof of Theorem eliccioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prunioo 13493	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
2	1	eleq2d 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
3	2	biimpar 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}))
4		elun 4145	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}))
5		elprg 4652	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵)))
6	5	orbi2d 913	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵))))
7	4, 6	bitrid 282	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐶 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵))))
8	7	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵))))
9	3, 8	mpbid 231	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵)))
10		3orass 1087	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵)))
11		3orcoma 1090	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
12	10, 11	bitr3i 276	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵)) ↔ (𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
13	9, 12	sylib 217	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
14		lbicc2 13476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
15	14	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16		eleq1 2813	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = 𝐴 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
17	16	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
18	15, 17	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
19		ioossicc 13445	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
20	19	sseli 3972	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
21	20	adantl 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
22		ubicc2 13477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23	22	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24		eleq1 2813	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = 𝐵 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
25	24	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
26	23, 25	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
27	18, 21, 26	3jaodan 1427	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
28	13, 27	impbida 799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3942  {cpr 4632   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  ℝ^*cxr 11279   ≤ cle 11281  (,)cioo 13359  [,]cicc 13362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366

This theorem is referenced by:  elxrge02  32740