Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccioo 31843
Description: Membership in a closed interval of extended reals versus the same open interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
eliccioo ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))

Proof of Theorem eliccioo
StepHypRef Expression
1 prunioo 13407 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
21eleq2d 2820 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐶 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
32biimpar 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}))
4 elun 4112 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}))
5 elprg 4611 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵)))
65orbi2d 915 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵))))
74, 6bitrid 283 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐶 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵))))
87adantl 483 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵))))
93, 8mpbid 231 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵)))
10 3orass 1091 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵)))
11 3orcoma 1094 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
1210, 11bitr3i 277 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵)) ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
139, 12sylib 217 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
14 lbicc2 13390 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1514adantr 482 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16 eleq1 2822 . . . . 5 (𝐶 = 𝐴 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
1716adantl 483 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
1815, 17mpbird 257 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
19 ioossicc 13359 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2019sseli 3944 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2120adantl 483 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
22 ubicc2 13391 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2322adantr 482 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24 eleq1 2822 . . . . 5 (𝐶 = 𝐵 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2524adantl 483 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2623, 25mpbird 257 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2718, 21, 263jaodan 1431 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2813, 27impbida 800 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3o 1087  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3912  {cpr 4592   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  *cxr 11196  cle 11198  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280
This theorem is referenced by:  elxrge02  31844
  Copyright terms: Public domain W3C validator