Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdsze2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdsze2 34848
Description: Generalize the statement of the ErdΕ‘s-Szekeres theorem erdsze 34845 to "sequences" indexed by an arbitrary subset of ℝ, which can be infinite. This is part of Metamath 100 proof #73. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
erdsze2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•)
erdsze2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴–1-1→ℝ)
erdsze2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
erdsze2.l (πœ‘ β†’ ((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) < (β™―β€˜π΄))
Assertion
Ref Expression
erdsze2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , β—‘ < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   πœ‘,𝑠

Proof of Theorem erdsze2
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze2.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
2 erdsze2.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•)
3 erdsze2.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴–1-1→ℝ)
4 erdsze2.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
5 eqid 2728 . . 3 ((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) = ((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1))
6 erdsze2.l . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) < (β™―β€˜π΄))
71, 2, 3, 4, 5, 6erdsze2lem1 34846 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:(1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1)), ran 𝑓)))
81adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1)), ran 𝑓))) β†’ 𝑅 ∈ β„•)
92adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1)), ran 𝑓))) β†’ 𝑆 ∈ β„•)
103adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1)), ran 𝑓))) β†’ 𝐹:𝐴–1-1→ℝ)
114adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1)), ran 𝑓))) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
126adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1)), ran 𝑓))) β†’ ((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) < (β™―β€˜π΄))
13 simprl 769 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1)), ran 𝑓))) β†’ 𝑓:(1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1))–1-1→𝐴)
14 simprr 771 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1)), ran 𝑓))) β†’ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1)), ran 𝑓))
158, 9, 10, 11, 5, 12, 13, 14erdsze2lem2 34847 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) + 1)), ran 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , β—‘ < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))))
167, 15exlimddv 1930 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , β—‘ < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606   class class class wbr 5152  β—‘ccnv 5681  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684   β€œ cima 5685  β€“1-1β†’wf1 6550  β€˜cfv 6553   Isom wiso 6554  (class class class)co 7426  β„cr 11145  1c1 11147   + caddc 11149   Β· cmul 11151   < clt 11286   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482  β„•cn 12250  ...cfz 13524  β™―chash 14329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-hash 14330
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator