Theorem erdsze2 35249

Description: Generalize the statement of the Erdős-Szekeres theorem erdsze 35246 to "sequences" indexed by an arbitrary subset of ℝ, which can be infinite. This is part of Metamath 100 proof #73. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
erdsze2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
erdsze2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→ℝ)
erdsze2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
erdsze2.l	⊢ (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
erdsze2	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem erdsze2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erdsze2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
2		erdsze2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3		erdsze2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→ℝ)
4		erdsze2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
6		erdsze2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	erdsze2lem1 35247	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓)))
8	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑅 ∈ ℕ)
9	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑆 ∈ ℕ)
10	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝐹:𝐴–1-1→ℝ)
11	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))
13		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴)
14		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))
15	8, 9, 10, 11, 5, 12, 13, 14	erdsze2lem2 35248	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))
16	7, 15	exlimddv 1936	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4547   class class class wbr 5089  ^◡ccnv 5613  ran crn 5615   ↾ cres 5616   “ cima 5617  –1-1→wf1 6478  ‘cfv 6481   Isom wiso 6482  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   < clt 11146   ≤ cle 11147   − cmin 11344  ℕcn 12125  ...cfz 13407  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-hash 14238

This theorem is referenced by: (None)