Theorem erdsze2 36178

Description: Generalize the statement of the Erdős-Szekeres theorem erdsze 36175 to "sequences" indexed by an arbitrary subset of ℝ, which can be infinite. This is part of Metamath 100 proof #73. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
erdsze2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
erdsze2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶1-1ℝ)
erdsze2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
erdsze2.l	⊢ (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
erdsze2	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem erdsze2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erdsze2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
2		erdsze2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3		erdsze2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶1-1ℝ)
4		erdsze2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
6		erdsze2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	erdsze2lem1 36176	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))⟶1-1𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓)))
8	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))⟶1-1𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑅 ∈ ℕ)
9	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))⟶1-1𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑆 ∈ ℕ)
10	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))⟶1-1𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝐹:𝐴⟶1-1ℝ)
11	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))⟶1-1𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))⟶1-1𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))
13		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))⟶1-1𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))⟶1-1𝐴)
14		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))⟶1-1𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))
15	8, 9, 10, 11, 5, 12, 13, 14	erdsze2lem2 36177	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))⟶1-1𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))
16	7, 15	exlimddv 1970	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5657  ran crn 5659   ↾ cres 5660   “ cima 5661  ⟶1-1wf1 6563  ‘cfv 6566   Isom wiso 6567  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕcn 12375  ...cfz 13679  ♯chash 14515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516

This theorem is used by: (None)