Theorem erdsze2 35697

Description: Generalize the statement of the Erdős-Szekeres theorem erdsze 35694 to "sequences" indexed by an arbitrary subset of ℝ, which can be infinite. This is part of Metamath 100 proof #73. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
erdsze2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
erdsze2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→ℝ)
erdsze2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
erdsze2.l	⊢ (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
erdsze2	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem erdsze2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erdsze2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
2		erdsze2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3		erdsze2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→ℝ)
4		erdsze2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
6		erdsze2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	erdsze2lem1 35695	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓)))
8	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑅 ∈ ℕ)
9	2	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑆 ∈ ℕ)
10	3	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝐹:𝐴–1-1→ℝ)
11	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))
13		simprl 782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴)
14		simprr 784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))
15	8, 9, 10, 11, 5, 12, 13, 14	erdsze2lem2 35696	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))
16	7, 15	exlimddv 1965	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562   class class class wbr 5109  ^◡ccnv 5660  ran crn 5662   ↾ cres 5663   “ cima 5664  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536   Isom wiso 6537  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436  ℕcn 12228  ...cfz 13530  ♯chash 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363

This theorem is referenced by: (None)