Theorem erdsze2 34184

Description: Generalize the statement of the Erdős-Szekeres theorem erdsze 34181 to "sequences" indexed by an arbitrary subset of ℝ, which can be infinite. This is part of Metamath 100 proof #73. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
erdsze2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
erdsze2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→ℝ)
erdsze2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
erdsze2.l	⊢ (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
erdsze2	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem erdsze2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erdsze2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
2		erdsze2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3		erdsze2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→ℝ)
4		erdsze2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		eqid 2732	. . 3 ⊢ ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
6		erdsze2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	erdsze2lem1 34182	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓)))
8	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑅 ∈ ℕ)
9	2	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑆 ∈ ℕ)
10	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝐹:𝐴–1-1→ℝ)
11	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))
13		simprl 769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴)
14		simprr 771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))
15	8, 9, 10, 11, 5, 12, 13, 14	erdsze2lem2 34183	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))
16	7, 15	exlimddv 1938	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147  ^◡ccnv 5674  ran crn 5676   ↾ cres 5677   “ cima 5678  –1-1→wf1 6537  ‘cfv 6540   Isom wiso 6541  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  ...cfz 13480  ♯chash 14286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287

This theorem is referenced by: (None)