Theorem erdsze2 35596

Description: Generalize the statement of the Erdős-Szekeres theorem erdsze 35593 to "sequences" indexed by an arbitrary subset of ℝ, which can be infinite. This is part of Metamath 100 proof #73. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
erdsze2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
erdsze2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→ℝ)
erdsze2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
erdsze2.l	⊢ (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
erdsze2	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem erdsze2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erdsze2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
2		erdsze2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3		erdsze2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→ℝ)
4		erdsze2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		eqid 2769	. . 3 ⊢ ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
6		erdsze2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	erdsze2lem1 35594	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓)))
8	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑅 ∈ ℕ)
9	2	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑆 ∈ ℕ)
10	3	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝐹:𝐴–1-1→ℝ)
11	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))
13		simprl 782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴)
14		simprr 784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))
15	8, 9, 10, 11, 5, 12, 13, 14	erdsze2lem2 35595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))
16	7, 15	exlimddv 1962	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5113  ^◡ccnv 5661  ran crn 5663   ↾ cres 5664   “ cima 5665  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537   Isom wiso 6538  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441  ℕcn 12233  ...cfz 13535  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-hash 14367

This theorem is referenced by: (None)