Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdsze2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdsze2 32460
 Description: Generalize the statement of the Erdős-Szekeres theorem erdsze 32457 to "sequences" indexed by an arbitrary subset of ℝ, which can be infinite. This is part of Metamath 100 proof #73. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze2.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
erdsze2.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
erdsze2.f (𝜑𝐹:𝐴1-1→ℝ)
erdsze2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
erdsze2.l (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))
Assertion
Ref Expression
erdsze2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem erdsze2
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze2.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
2 erdsze2.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
3 erdsze2.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴1-1→ℝ)
4 erdsze2.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
5 eqid 2821 . . 3 ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
6 erdsze2.l . . 3 (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))
71, 2, 3, 4, 5, 6erdsze2lem1 32458 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓)))
81adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑅 ∈ ℕ)
92adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑆 ∈ ℕ)
103adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝐹:𝐴1-1→ℝ)
114adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
126adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (♯‘𝐴))
13 simprl 770 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1𝐴)
14 simprr 772 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → 𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))
158, 9, 10, 11, 5, 12, 13, 14erdsze2lem2 32459 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓:(1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) + 1)), ran 𝑓))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
167, 15exlimddv 1937 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3127   ⊆ wss 3910  𝒫 cpw 4512   class class class wbr 5039  ◡ccnv 5527  ran crn 5529   ↾ cres 5530   “ cima 5531  –1-1→wf1 6325  ‘cfv 6328   Isom wiso 6329  (class class class)co 7130  ℝcr 10513  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519   < clt 10652   ≤ cle 10653   − cmin 10847  ℕcn 11615  ...cfz 12875  ♯chash 13674 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-xnn0 11946  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-hash 13675 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator