Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem1 45682
Description: 𝐻 is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
etransclem1.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem1.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
etransclem1.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
Assertion
Ref Expression
etransclem1 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π½):π‘‹βŸΆβ„‚)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝑗,𝑋,π‘₯   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗)   𝑃(π‘₯)   𝐻(π‘₯,𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem etransclem1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem1.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
21sselda 3973 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3 etransclem1.j . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
43elfzelzd 13529 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„€)
54zcnd 12692 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
65adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
72, 6subcld 11596 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐽) ∈ β„‚)
8 etransclem1.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
9 nnm1nn0 12538 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
118nnnn0d 12557 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
1210, 11ifcld 4571 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
1312adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
147, 13expcld 14137 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ β„‚)
15 eqid 2725 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
1614, 15fmptd 7117 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))):π‘‹βŸΆβ„‚)
17 etransclem1.h . . . . 5 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
18 oveq2 7421 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑛 β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑗) = (π‘₯ βˆ’ 𝑛))
19 eqeq1 2729 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 β†’ (𝑗 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
2019ifbid 4548 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑛 β†’ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))
2118, 20oveq12d 7431 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑛 β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
2221mpteq2dv 5246 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑛 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
2322cbvmptv 5257 . . . . 5 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (𝑛 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
2417, 23eqtri 2753 . . . 4 𝐻 = (𝑛 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
25 oveq2 7421 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐽 β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑛) = (π‘₯ βˆ’ 𝐽))
26 eqeq1 2729 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐽 β†’ (𝑛 = 0 ↔ 𝐽 = 0))
2726ifbid 4548 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐽 β†’ if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))
2825, 27oveq12d 7431 . . . . 5 (𝑛 = 𝐽 β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) = ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
2928mpteq2dv 5246 . . . 4 (𝑛 = 𝐽 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
30 cnex 11214 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
3130ssex 5317 . . . . 5 (𝑋 βŠ† β„‚ β†’ 𝑋 ∈ V)
32 mptexg 7227 . . . . 5 (𝑋 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ V)
331, 31, 323syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ V)
3424, 29, 3, 33fvmptd3 7021 . . 3 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π½) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
3534feq1d 6702 . 2 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π½):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))):π‘‹βŸΆβ„‚))
3616, 35mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π½):π‘‹βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βŠ† wss 3941  ifcif 4525   ↦ cmpt 5227  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„‚cc 11131  0cc0 11133  1c1 11134   βˆ’ cmin 11469  β„•cn 12237  β„•0cn0 12497  ...cfz 13511  β†‘cexp 14053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-seq 13994  df-exp 14054
This theorem is referenced by:  etransclem29  45710
  Copyright terms: Public domain W3C validator