Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem1 44937
Description: 𝐻 is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
etransclem1.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem1.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
etransclem1.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
Assertion
Ref Expression
etransclem1 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π½):π‘‹βŸΆβ„‚)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝑗,𝑋,π‘₯   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗)   𝑃(π‘₯)   𝐻(π‘₯,𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem etransclem1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem1.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
21sselda 3981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3 etransclem1.j . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
43elfzelzd 13498 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„€)
54zcnd 12663 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
65adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
72, 6subcld 11567 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐽) ∈ β„‚)
8 etransclem1.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
9 nnm1nn0 12509 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
118nnnn0d 12528 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
1210, 11ifcld 4573 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
1312adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
147, 13expcld 14107 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ β„‚)
15 eqid 2732 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
1614, 15fmptd 7110 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))):π‘‹βŸΆβ„‚)
17 etransclem1.h . . . . 5 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
18 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑛 β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑗) = (π‘₯ βˆ’ 𝑛))
19 eqeq1 2736 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 β†’ (𝑗 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
2019ifbid 4550 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑛 β†’ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))
2118, 20oveq12d 7423 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑛 β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
2221mpteq2dv 5249 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑛 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
2322cbvmptv 5260 . . . . 5 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (𝑛 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
2417, 23eqtri 2760 . . . 4 𝐻 = (𝑛 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
25 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐽 β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑛) = (π‘₯ βˆ’ 𝐽))
26 eqeq1 2736 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐽 β†’ (𝑛 = 0 ↔ 𝐽 = 0))
2726ifbid 4550 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐽 β†’ if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))
2825, 27oveq12d 7423 . . . . 5 (𝑛 = 𝐽 β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) = ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
2928mpteq2dv 5249 . . . 4 (𝑛 = 𝐽 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
30 cnex 11187 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
3130ssex 5320 . . . . 5 (𝑋 βŠ† β„‚ β†’ 𝑋 ∈ V)
32 mptexg 7219 . . . . 5 (𝑋 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ V)
331, 31, 323syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ V)
3424, 29, 3, 33fvmptd3 7018 . . 3 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π½) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
3534feq1d 6699 . 2 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π½):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))):π‘‹βŸΆβ„‚))
3616, 35mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π½):π‘‹βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  ...cfz 13480  β†‘cexp 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024
This theorem is referenced by:  etransclem29  44965
  Copyright terms: Public domain W3C validator