Theorem etransclem1 46809

Description: 𝐻 is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
etransclem1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem1.h	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
etransclem1	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐽):𝑋⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝑗,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝑃(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem etransclem1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
2	1	sselda 3936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		etransclem1.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
4	3	elfzelzd 13530	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12678	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
6	5	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ ℂ)
7	2, 6	subcld 11542	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 − 𝐽) ∈ ℂ)
8		etransclem1.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
9		nnm1nn0 12522	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
11	8	nnnn0d 12542	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
12	10, 11	ifcld 4527	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
13	12	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
14	7, 13	expcld 14159	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
15		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
16	14, 15	fmptd 7095	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))):𝑋⟶ℂ)
17		etransclem1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
18		oveq2 7404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑥 − 𝑗) = (𝑥 − 𝑛))
19		eqeq1 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
20	19	ifbid 4504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
21	18, 20	oveq12d 7414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
22	21	mpteq2dv 5194	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
23	22	cbvmptv 5204	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑛 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
24	17, 23	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
25		oveq2 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝑥 − 𝑛) = (𝑥 − 𝐽))
26		eqeq1 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝑛 = 0 ↔ 𝐽 = 0))
27	26	ifbid 4504	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
28	25, 27	oveq12d 7414	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
29	28	mpteq2dv 5194	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
30		cnex 11154	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
31	30	ssex 5277	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ ℂ → 𝑋 ∈ V)
32		mptexg 7205	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
33	1, 31, 32	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
34	24, 29, 3, 33	fvmptd3 6999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐽) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
35	34	feq1d 6673	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐽):𝑋⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))):𝑋⟶ℂ))
36	16, 35	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐽):𝑋⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ifcif 4480   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073  1c1 11074   − cmin 11414  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ...cfz 13512  ↑cexp 14074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-seq 14015  df-exp 14075

This theorem is referenced by:  etransclem29  46837