Theorem etransclem1 46969

Description: 𝐻 is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
etransclem1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem1.h	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
etransclem1	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐽):𝑋⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝑗,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝑃(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem etransclem1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
2	1	sselda 3937	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		etransclem1.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
4	3	elfzelzd 13548	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
6	5	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ ℂ)
7	2, 6	subcld 11564	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 − 𝐽) ∈ ℂ)
8		etransclem1.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
9		nnm1nn0 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
11	8	nnnn0d 12560	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
12	10, 11	ifcld 4534	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
13	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
14	7, 13	expcld 14178	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
15		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
16	14, 15	fmptd 7109	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))):𝑋⟶ℂ)
17		etransclem1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
18		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑥 − 𝑗) = (𝑥 − 𝑛))
19		eqeq1 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
20	19	ifbid 4511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
21	18, 20	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
22	21	mpteq2dv 5205	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
23	22	cbvmptv 5215	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑛 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
24	17, 23	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
25		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝑥 − 𝑛) = (𝑥 − 𝐽))
26		eqeq1 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝑛 = 0 ↔ 𝐽 = 0))
27	26	ifbid 4511	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
28	25, 27	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
29	28	mpteq2dv 5205	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
30		cnex 11176	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
31	30	ssex 5291	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ ℂ → 𝑋 ∈ V)
32		mptexg 7219	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
33	1, 31, 32	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
34	24, 29, 3, 33	fvmptd3 7013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐽) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
35	34	feq1d 6687	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐽):𝑋⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))):𝑋⟶ℂ))
36	16, 35	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐽):𝑋⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ifcif 4487   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096   − cmin 11436  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  ...cfz 13530  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  etransclem29  46997