Theorem etransclem1 46250

Description: 𝐻 is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
etransclem1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem1.h	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
etransclem1	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐽):𝑋⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝑗,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝑃(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem etransclem1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
2	1	sselda 3983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		etransclem1.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
4	3	elfzelzd 13565	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12723	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ ℂ)
7	2, 6	subcld 11620	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 − 𝐽) ∈ ℂ)
8		etransclem1.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
9		nnm1nn0 12567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
11	8	nnnn0d 12587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
12	10, 11	ifcld 4572	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
14	7, 13	expcld 14186	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
15		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
16	14, 15	fmptd 7134	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))):𝑋⟶ℂ)
17		etransclem1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
18		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑥 − 𝑗) = (𝑥 − 𝑛))
19		eqeq1 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
20	19	ifbid 4549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
21	18, 20	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
22	21	mpteq2dv 5244	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
23	22	cbvmptv 5255	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑛 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
24	17, 23	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
25		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝑥 − 𝑛) = (𝑥 − 𝐽))
26		eqeq1 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝑛 = 0 ↔ 𝐽 = 0))
27	26	ifbid 4549	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
28	25, 27	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
29	28	mpteq2dv 5244	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
30		cnex 11236	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
31	30	ssex 5321	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ ℂ → 𝑋 ∈ V)
32		mptexg 7241	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
33	1, 31, 32	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
34	24, 29, 3, 33	fvmptd3 7039	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐽) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
35	34	feq1d 6720	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐽):𝑋⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))):𝑋⟶ℂ))
36	16, 35	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐽):𝑋⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ifcif 4525   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ...cfz 13547  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  etransclem29  46278