Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem1 43236
 Description: 𝐻 is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem1.x (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
etransclem1.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem1.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem1.j (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
Assertion
Ref Expression
etransclem1 (𝜑 → (𝐻𝐽):𝑋⟶ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝑗,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝑃(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem etransclem1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem1.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
21sselda 3893 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
3 etransclem1.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
43elfzelzd 12950 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
54zcnd 12120 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
65adantr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐽 ∈ ℂ)
72, 6subcld 11028 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥𝐽) ∈ ℂ)
8 etransclem1.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
9 nnm1nn0 11968 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
118nnnn0d 11987 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
1210, 11ifcld 4467 . . . . 5 (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
1312adantr 485 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
147, 13expcld 13553 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
15 eqid 2759 . . 3 (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
1614, 15fmptd 6870 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))):𝑋⟶ℂ)
17 etransclem1.h . . . . 5 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
18 oveq2 7159 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑛 → (𝑥𝑗) = (𝑥𝑛))
19 eqeq1 2763 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
2019ifbid 4444 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑛 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
2118, 20oveq12d 7169 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑛 → ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
2221mpteq2dv 5129 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑛 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
2322cbvmptv 5136 . . . . 5 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑛 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
2417, 23eqtri 2782 . . . 4 𝐻 = (𝑛 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
25 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐽 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝐽))
26 eqeq1 2763 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐽 → (𝑛 = 0 ↔ 𝐽 = 0))
2726ifbid 4444 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐽 → if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
2825, 27oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑛 = 𝐽 → ((𝑥𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
2928mpteq2dv 5129 . . . 4 (𝑛 = 𝐽 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
30 cnex 10649 . . . . . 6 ℂ ∈ V
3130ssex 5192 . . . . 5 (𝑋 ⊆ ℂ → 𝑋 ∈ V)
32 mptexg 6976 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
331, 31, 323syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
3424, 29, 3, 33fvmptd3 6783 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝐽) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
3534feq1d 6484 . 2 (𝜑 → ((𝐻𝐽):𝑋⟶ℂ ↔ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))):𝑋⟶ℂ))
3616, 35mpbird 260 1 (𝜑 → (𝐻𝐽):𝑋⟶ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ⊆ wss 3859  ifcif 4421   ↦ cmpt 5113  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℂcc 10566  0cc0 10568  1c1 10569   − cmin 10901  ℕcn 11667  ℕ0cn0 11927  ...cfz 12932  ↑cexp 13472 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-fz 12933  df-seq 13412  df-exp 13473 This theorem is referenced by:  etransclem29  43264
 Copyright terms: Public domain W3C validator