Theorem etransclem1 44466

Description: 𝐻 is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
etransclem1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem1.h	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
etransclem1	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐽):𝑋⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝑗,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝑃(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem etransclem1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
2	1	sselda 3944	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		etransclem1.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
4	3	elfzelzd 13442	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12608	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ ℂ)
7	2, 6	subcld 11512	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 − 𝐽) ∈ ℂ)
8		etransclem1.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
9		nnm1nn0 12454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
11	8	nnnn0d 12473	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
12	10, 11	ifcld 4532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
13	12	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
14	7, 13	expcld 14051	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
15		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
16	14, 15	fmptd 7062	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))):𝑋⟶ℂ)
17		etransclem1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
18		oveq2 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑥 − 𝑗) = (𝑥 − 𝑛))
19		eqeq1 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
20	19	ifbid 4509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
21	18, 20	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
22	21	mpteq2dv 5207	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
23	22	cbvmptv 5218	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑛 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
24	17, 23	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
25		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝑥 − 𝑛) = (𝑥 − 𝐽))
26		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝑛 = 0 ↔ 𝐽 = 0))
27	26	ifbid 4509	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
28	25, 27	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
29	28	mpteq2dv 5207	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
30		cnex 11132	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
31	30	ssex 5278	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ ℂ → 𝑋 ∈ V)
32		mptexg 7171	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
33	1, 31, 32	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
34	24, 29, 3, 33	fvmptd3 6971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐽) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
35	34	feq1d 6653	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐽):𝑋⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))):𝑋⟶ℂ))
36	16, 35	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐽):𝑋⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  ifcif 4486   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ...cfz 13424  ↑cexp 13967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968

This theorem is referenced by:  etransclem29  44494