Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem1 45536
Description: 𝐻 is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
etransclem1.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem1.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
etransclem1.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
Assertion
Ref Expression
etransclem1 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π½):π‘‹βŸΆβ„‚)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝑗,𝑋,π‘₯   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗)   𝑃(π‘₯)   𝐻(π‘₯,𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem etransclem1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem1.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
21sselda 3978 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3 etransclem1.j . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
43elfzelzd 13520 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„€)
54zcnd 12683 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
65adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
72, 6subcld 11587 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐽) ∈ β„‚)
8 etransclem1.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
9 nnm1nn0 12529 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
118nnnn0d 12548 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
1210, 11ifcld 4570 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
1312adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
147, 13expcld 14128 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ β„‚)
15 eqid 2727 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
1614, 15fmptd 7118 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))):π‘‹βŸΆβ„‚)
17 etransclem1.h . . . . 5 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
18 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑛 β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑗) = (π‘₯ βˆ’ 𝑛))
19 eqeq1 2731 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 β†’ (𝑗 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
2019ifbid 4547 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑛 β†’ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))
2118, 20oveq12d 7432 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑛 β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
2221mpteq2dv 5244 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑛 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
2322cbvmptv 5255 . . . . 5 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (𝑛 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
2417, 23eqtri 2755 . . . 4 𝐻 = (𝑛 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
25 oveq2 7422 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐽 β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑛) = (π‘₯ βˆ’ 𝐽))
26 eqeq1 2731 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐽 β†’ (𝑛 = 0 ↔ 𝐽 = 0))
2726ifbid 4547 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐽 β†’ if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))
2825, 27oveq12d 7432 . . . . 5 (𝑛 = 𝐽 β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) = ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
2928mpteq2dv 5244 . . . 4 (𝑛 = 𝐽 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑛)↑if(𝑛 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
30 cnex 11205 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
3130ssex 5315 . . . . 5 (𝑋 βŠ† β„‚ β†’ 𝑋 ∈ V)
32 mptexg 7227 . . . . 5 (𝑋 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ V)
331, 31, 323syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ V)
3424, 29, 3, 33fvmptd3 7022 . . 3 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π½) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
3534feq1d 6701 . 2 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π½):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))):π‘‹βŸΆβ„‚))
3616, 35mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π½):π‘‹βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  ifcif 4524   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   βˆ’ cmin 11460  β„•cn 12228  β„•0cn0 12488  ...cfz 13502  β†‘cexp 14044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-seq 13985  df-exp 14045
This theorem is referenced by:  etransclem29  45564
  Copyright terms: Public domain W3C validator