Theorem eucrct2eupth1 30188

Description: Removing one edge (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) from a nonempty graph 𝐺 with an Eulerian circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a graph 𝑆 with an Eulerian path ⟨𝐻, 𝑄⟩. This is the special case of eucrct2eupth 30189 (with 𝐽 = (𝑁 − 1)) where the last segment/edge of the circuit is removed. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eucrct2eupth1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eucrct2eupth1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eucrct2eupth1.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.c	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eucrct2eupth1.g	⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝐹))
eucrct2eupth1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝐹) − 1))
eucrct2eupth1.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
eucrct2eupth1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
eucrct2eupth1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
eucrct2eupth1	⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eucrct2eupth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eucrct2eupth1.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eucrct2eupth1.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eucrct2eupth1.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
4		eucrct2eupth1.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝐹) − 1))
5		eucrct2eupth1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝐹))
6		eupthiswlk 30156	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
7		wlkcl 29561	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
8		nn0z 12496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
9	8	anim1i 615	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝐹)))
10		elnnz 12481	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝐹)))
11	9, 10	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
12	11	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0 < (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
13	3, 6, 7, 12	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
14	5, 13	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
15		fzo0end 13661	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
17	4, 16	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
18		eucrct2eupth1.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
19		eucrct2eupth1.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
20		eucrct2eupth1.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
21		eucrct2eupth1.s	. 2 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
22	1, 2, 3, 17, 18, 19, 20, 21	eupthres 30159	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092   ↾ cres 5621   “ cima 5622  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   < clt 11149   − cmin 11347  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557  ♯chash 14237   prefix cpfx 14577  Vtxcvtx 28941  iEdgciedg 28942  Walkscwlks 29542  Circuitsccrcts 29729  EulerPathsceupth 30141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-substr 14548  df-pfx 14578  df-wlks 29545  df-trls 29636  df-eupth 30142

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  30189