Theorem eucrct2eupth1 30314

Description: Removing one edge (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) from a nonempty graph 𝐺 with an Eulerian circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a graph 𝑆 with an Eulerian path ⟨𝐻, 𝑄⟩. This is the special case of eucrct2eupth 30315 (with 𝐽 = (𝑁 − 1)) where the last segment/edge of the circuit is removed. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eucrct2eupth1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eucrct2eupth1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eucrct2eupth1.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.c	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eucrct2eupth1.g	⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝐹))
eucrct2eupth1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝐹) − 1))
eucrct2eupth1.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
eucrct2eupth1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
eucrct2eupth1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
eucrct2eupth1	⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eucrct2eupth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eucrct2eupth1.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eucrct2eupth1.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eucrct2eupth1.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
4		eucrct2eupth1.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝐹) − 1))
5		eucrct2eupth1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝐹))
6		eupthiswlk 30282	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
7		wlkcl 29684	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
8		nn0z 12548	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
9	8	anim1i 616	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝐹)))
10		elnnz 12534	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝐹)))
11	9, 10	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
12	11	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0 < (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
13	3, 6, 7, 12	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
14	5, 13	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
15		fzo0end 13713	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
17	4, 16	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
18		eucrct2eupth1.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
19		eucrct2eupth1.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
20		eucrct2eupth1.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
21		eucrct2eupth1.s	. 2 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
22	1, 2, 3, 17, 18, 19, 20, 21	eupthres 30285	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085   ↾ cres 5633   “ cima 5634  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11179   − cmin 11377  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292   prefix cpfx 14633  Vtxcvtx 29065  iEdgciedg 29066  Walkscwlks 29665  Circuitsccrcts 29852  EulerPathsceupth 30267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-substr 14604  df-pfx 14634  df-wlks 29668  df-trls 29759  df-eupth 30268

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  30315