MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eucrct2eupth1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eucrct2eupth1 29191
Description: Removing one edge (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) from a nonempty graph 𝐺 with an Eulerian circuit ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© results in a graph 𝑆 with an Eulerian path ⟨𝐻, π‘„βŸ©. This is the special case of eucrct2eupth 29192 (with 𝐽 = (𝑁 βˆ’ 1)) where the last segment/edge of the circuit is removed. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
eucrct2eupth1.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
eucrct2eupth1.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
eucrct2eupth1.d (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
eucrct2eupth1.c (πœ‘ β†’ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃)
eucrct2eupth1.s (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉
eucrct2eupth1.g (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜πΉ))
eucrct2eupth1.n (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))
eucrct2eupth1.e (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
eucrct2eupth1.h 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
eucrct2eupth1.q 𝑄 = (𝑃 β†Ύ (0...𝑁))
Assertion
Ref Expression
eucrct2eupth1 (πœ‘ β†’ 𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄)

Proof of Theorem eucrct2eupth1
StepHypRef Expression
1 eucrct2eupth1.v . 2 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eucrct2eupth1.i . 2 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 eucrct2eupth1.d . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
4 eucrct2eupth1.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))
5 eucrct2eupth1.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜πΉ))
6 eupthiswlk 29159 . . . . . 6 (𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
7 wlkcl 28566 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
8 nn0z 12525 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
98anim1i 616 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 0 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„€ ∧ 0 < (β™―β€˜πΉ)))
10 elnnz 12510 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ↔ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„€ ∧ 0 < (β™―β€˜πΉ)))
119, 10sylibr 233 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 0 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
1211ex 414 . . . . . . 7 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (0 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•))
137, 12syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (0 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•))
143, 6, 133syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•))
155, 14mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
16 fzo0end 13665 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
1715, 16syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
184, 17eqeltrd 2838 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
19 eucrct2eupth1.e . 2 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
20 eucrct2eupth1.h . 2 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
21 eucrct2eupth1.q . 2 𝑄 = (𝑃 β†Ύ (0...𝑁))
22 eucrct2eupth1.s . 2 (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉
231, 2, 3, 18, 19, 20, 21, 22eupthres 29162 1 (πœ‘ β†’ 𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053   < clt 11190   βˆ’ cmin 11386  β„•cn 12154  β„•0cn0 12414  β„€cz 12500  ...cfz 13425  ..^cfzo 13568  β™―chash 14231   prefix cpfx 14559  Vtxcvtx 27950  iEdgciedg 27951  Walkscwlks 28547  Circuitsccrcts 28735  EulerPathsceupth 29144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-hash 14232  df-word 14404  df-substr 14530  df-pfx 14560  df-wlks 28550  df-trls 28643  df-eupth 29145
This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  29192
  Copyright terms: Public domain W3C validator