Theorem eucrct2eupth1 30337

Description: Removing one edge (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) from a nonempty graph 𝐺 with an Eulerian circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a graph 𝑆 with an Eulerian path ⟨𝐻, 𝑄⟩. This is the special case of eucrct2eupth 30338 (with 𝐽 = (𝑁 − 1)) where the last segment/edge of the circuit is removed. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eucrct2eupth1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eucrct2eupth1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eucrct2eupth1.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.c	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eucrct2eupth1.g	⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝐹))
eucrct2eupth1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝐹) − 1))
eucrct2eupth1.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
eucrct2eupth1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
eucrct2eupth1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
eucrct2eupth1	⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eucrct2eupth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eucrct2eupth1.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eucrct2eupth1.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eucrct2eupth1.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
4		eucrct2eupth1.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝐹) − 1))
5		eucrct2eupth1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝐹))
6		eupthiswlk 30305	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
7		wlkcl 29707	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
8		nn0z 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
9	8	anim1i 616	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝐹)))
10		elnnz 12512	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝐹)))
11	9, 10	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
12	11	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0 < (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
13	3, 6, 7, 12	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
14	5, 13	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
15		fzo0end 13688	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
17	4, 16	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
18		eucrct2eupth1.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
19		eucrct2eupth1.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
20		eucrct2eupth1.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
21		eucrct2eupth1.s	. 2 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
22	1, 2, 3, 17, 18, 19, 20, 21	eupthres 30308	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100   ↾ cres 5636   “ cima 5637  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  1c1 11041   < clt 11180   − cmin 11378  ℕcn 12159  ℕ₀cn0 12415  ℤcz 12502  ...cfz 13437  ..^cfzo 13584  ♯chash 14267   prefix cpfx 14608  Vtxcvtx 29087  iEdgciedg 29088  Walkscwlks 29688  Circuitsccrcts 29875  EulerPathsceupth 30290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-hash 14268  df-word 14451  df-substr 14579  df-pfx 14609  df-wlks 29691  df-trls 29782  df-eupth 30291

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  30338