MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eucrct2eupth1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eucrct2eupth1 30093
Description: Removing one edge (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) from a nonempty graph 𝐺 with an Eulerian circuit ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© results in a graph 𝑆 with an Eulerian path ⟨𝐻, π‘„βŸ©. This is the special case of eucrct2eupth 30094 (with 𝐽 = (𝑁 βˆ’ 1)) where the last segment/edge of the circuit is removed. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
eucrct2eupth1.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
eucrct2eupth1.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
eucrct2eupth1.d (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
eucrct2eupth1.c (πœ‘ β†’ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃)
eucrct2eupth1.s (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉
eucrct2eupth1.g (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜πΉ))
eucrct2eupth1.n (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))
eucrct2eupth1.e (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
eucrct2eupth1.h 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
eucrct2eupth1.q 𝑄 = (𝑃 β†Ύ (0...𝑁))
Assertion
Ref Expression
eucrct2eupth1 (πœ‘ β†’ 𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄)
Proof of Theorem eucrct2eupth1
StepHypRef Expression
1 eucrct2eupth1.v . 2 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eucrct2eupth1.i . 2 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 eucrct2eupth1.d . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
4 eucrct2eupth1.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))
5 eucrct2eupth1.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜πΉ))
6 eupthiswlk 30061 . . . . . 6 (𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
7 wlkcl 29468 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
8 nn0z 12608 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
98anim1i 613 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 0 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„€ ∧ 0 < (β™―β€˜πΉ)))
10 elnnz 12593 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ↔ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„€ ∧ 0 < (β™―β€˜πΉ)))
119, 10sylibr 233 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 0 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
1211ex 411 . . . . . . 7 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (0 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•))
137, 12syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (0 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•))
143, 6, 133syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•))
155, 14mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
16 fzo0end 13751 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
1715, 16syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
184, 17eqeltrd 2825 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
19 eucrct2eupth1.e . 2 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
20 eucrct2eupth1.h . 2 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
21 eucrct2eupth1.q . 2 𝑄 = (𝑃 β†Ύ (0...𝑁))
22 eucrct2eupth1.s . 2 (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉
231, 2, 3, 18, 19, 20, 21, 22eupthres 30064 1 (πœ‘ β†’ 𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5144   β†Ύ cres 5675   β€œ cima 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  1c1 11134   < clt 11273   βˆ’ cmin 11469  β„•cn 12237  β„•0cn0 12497  β„€cz 12583  ...cfz 13511  ..^cfzo 13654  β™―chash 14316   prefix cpfx 14647  Vtxcvtx 28848  iEdgciedg 28849  Walkscwlks 29449  Circuitsccrcts 29637  EulerPathsceupth 30046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-hash 14317  df-word 14492  df-substr 14618  df-pfx 14648  df-wlks 29452  df-trls 29545  df-eupth 30047
This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  30094
  Copyright terms: Public domain W3C validator