Theorem eucrct2eupth1 30333

Description: Removing one edge (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) from a nonempty graph 𝐺 with an Eulerian circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a graph 𝑆 with an Eulerian path ⟨𝐻, 𝑄⟩. This is the special case of eucrct2eupth 30334 (with 𝐽 = (𝑁 − 1)) where the last segment/edge of the circuit is removed. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eucrct2eupth1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eucrct2eupth1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eucrct2eupth1.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.c	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eucrct2eupth1.g	⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝐹))
eucrct2eupth1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝐹) − 1))
eucrct2eupth1.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
eucrct2eupth1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
eucrct2eupth1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
eucrct2eupth1	⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eucrct2eupth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eucrct2eupth1.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eucrct2eupth1.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eucrct2eupth1.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
4		eucrct2eupth1.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝐹) − 1))
5		eucrct2eupth1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝐹))
6		eupthiswlk 30301	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
7		wlkcl 29703	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
8		nn0z 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
9	8	anim1i 621	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝐹)))
10		elnnz 12526	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝐹)))
11	9, 10	sylibr 235	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
12	11	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0 < (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
13	3, 6, 7, 12	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
14	5, 13	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
15		fzo0end 13705	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
17	4, 16	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
18		eucrct2eupth1.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
19		eucrct2eupth1.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
20		eucrct2eupth1.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
21		eucrct2eupth1.s	. 2 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
22	1, 2, 3, 17, 18, 19, 20, 21	eupthres 30304	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5073   ↾ cres 5621   “ cima 5622  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  0cc0 11030  1c1 11031   < clt 11171   − cmin 11369  ℕcn 12166  ℕ₀cn0 12429  ℤcz 12516  ...cfz 13453  ..^cfzo 13600  ♯chash 14284   prefix cpfx 14625  Vtxcvtx 29084  iEdgciedg 29085  Walkscwlks 29684  Circuitsccrcts 29871  EulerPathsceupth 30286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-ifp 1069  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-hash 14285  df-word 14468  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-wlks 29687  df-trls 29778  df-eupth 30287

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  30334