MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eucrct2eupth1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eucrct2eupth1 29486
Description: Removing one edge (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) from a nonempty graph 𝐺 with an Eulerian circuit ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© results in a graph 𝑆 with an Eulerian path ⟨𝐻, π‘„βŸ©. This is the special case of eucrct2eupth 29487 (with 𝐽 = (𝑁 βˆ’ 1)) where the last segment/edge of the circuit is removed. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
eucrct2eupth1.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
eucrct2eupth1.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
eucrct2eupth1.d (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
eucrct2eupth1.c (πœ‘ β†’ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃)
eucrct2eupth1.s (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉
eucrct2eupth1.g (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜πΉ))
eucrct2eupth1.n (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))
eucrct2eupth1.e (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
eucrct2eupth1.h 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
eucrct2eupth1.q 𝑄 = (𝑃 β†Ύ (0...𝑁))
Assertion
Ref Expression
eucrct2eupth1 (πœ‘ β†’ 𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄)
Proof of Theorem eucrct2eupth1
StepHypRef Expression
1 eucrct2eupth1.v . 2 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eucrct2eupth1.i . 2 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 eucrct2eupth1.d . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
4 eucrct2eupth1.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))
5 eucrct2eupth1.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜πΉ))
6 eupthiswlk 29454 . . . . . 6 (𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
7 wlkcl 28861 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
8 nn0z 12579 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
98anim1i 615 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 0 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„€ ∧ 0 < (β™―β€˜πΉ)))
10 elnnz 12564 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ↔ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„€ ∧ 0 < (β™―β€˜πΉ)))
119, 10sylibr 233 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 0 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
1211ex 413 . . . . . . 7 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (0 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•))
137, 12syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (0 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•))
143, 6, 133syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•))
155, 14mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
16 fzo0end 13720 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
1715, 16syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
184, 17eqeltrd 2833 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
19 eucrct2eupth1.e . 2 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
20 eucrct2eupth1.h . 2 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
21 eucrct2eupth1.q . 2 𝑄 = (𝑃 β†Ύ (0...𝑁))
22 eucrct2eupth1.s . 2 (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉
231, 2, 3, 18, 19, 20, 21, 22eupthres 29457 1 (πœ‘ β†’ 𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11244   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286   prefix cpfx 14616  Vtxcvtx 28245  iEdgciedg 28246  Walkscwlks 28842  Circuitsccrcts 29030  EulerPathsceupth 29439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-wlks 28845  df-trls 28938  df-eupth 29440
This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  29487
  Copyright terms: Public domain W3C validator