MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eucrct2eupth1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eucrct2eupth1 30041
Description: Removing one edge (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) from a nonempty graph 𝐺 with an Eulerian circuit ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© results in a graph 𝑆 with an Eulerian path ⟨𝐻, π‘„βŸ©. This is the special case of eucrct2eupth 30042 (with 𝐽 = (𝑁 βˆ’ 1)) where the last segment/edge of the circuit is removed. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
eucrct2eupth1.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
eucrct2eupth1.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
eucrct2eupth1.d (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
eucrct2eupth1.c (πœ‘ β†’ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃)
eucrct2eupth1.s (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉
eucrct2eupth1.g (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜πΉ))
eucrct2eupth1.n (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))
eucrct2eupth1.e (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
eucrct2eupth1.h 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
eucrct2eupth1.q 𝑄 = (𝑃 β†Ύ (0...𝑁))
Assertion
Ref Expression
eucrct2eupth1 (πœ‘ β†’ 𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄)
Proof of Theorem eucrct2eupth1
StepHypRef Expression
1 eucrct2eupth1.v . 2 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eucrct2eupth1.i . 2 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 eucrct2eupth1.d . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
4 eucrct2eupth1.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))
5 eucrct2eupth1.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜πΉ))
6 eupthiswlk 30009 . . . . . 6 (𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
7 wlkcl 29416 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
8 nn0z 12605 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
98anim1i 614 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 0 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„€ ∧ 0 < (β™―β€˜πΉ)))
10 elnnz 12590 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ↔ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„€ ∧ 0 < (β™―β€˜πΉ)))
119, 10sylibr 233 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 0 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
1211ex 412 . . . . . . 7 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (0 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•))
137, 12syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (0 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•))
143, 6, 133syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•))
155, 14mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
16 fzo0end 13748 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
1715, 16syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
184, 17eqeltrd 2828 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
19 eucrct2eupth1.e . 2 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
20 eucrct2eupth1.h . 2 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
21 eucrct2eupth1.q . 2 𝑄 = (𝑃 β†Ύ (0...𝑁))
22 eucrct2eupth1.s . 2 (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉
231, 2, 3, 18, 19, 20, 21, 22eupthres 30012 1 (πœ‘ β†’ 𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131   < clt 11270   βˆ’ cmin 11466  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  β™―chash 14313   prefix cpfx 14644  Vtxcvtx 28796  iEdgciedg 28797  Walkscwlks 29397  Circuitsccrcts 29585  EulerPathsceupth 29994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-substr 14615  df-pfx 14645  df-wlks 29400  df-trls 29493  df-eupth 29995
This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  30042
  Copyright terms: Public domain W3C validator