Theorem eucrct2eupth1 28608

Description: Removing one edge (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) from a nonempty graph 𝐺 with an Eulerian circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a graph 𝑆 with an Eulerian path ⟨𝐻, 𝑄⟩. This is the special case of eucrct2eupth 28609 (with 𝐽 = (𝑁 − 1)) where the last segment/edge of the circuit is removed. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eucrct2eupth1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eucrct2eupth1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eucrct2eupth1.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.c	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eucrct2eupth1.g	⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝐹))
eucrct2eupth1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝐹) − 1))
eucrct2eupth1.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
eucrct2eupth1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
eucrct2eupth1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
eucrct2eupth1	⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eucrct2eupth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eucrct2eupth1.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eucrct2eupth1.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eucrct2eupth1.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
4		eucrct2eupth1.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝐹) − 1))
5		eucrct2eupth1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝐹))
6		eupthiswlk 28576	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
7		wlkcl 27982	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
8		nn0z 12343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
9	8	anim1i 615	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝐹)))
10		elnnz 12329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝐹)))
11	9, 10	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
12	11	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0 < (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
13	7, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0 < (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
14	3, 6, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
15	5, 14	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
16		fzo0end 13479	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
18	4, 17	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
19		eucrct2eupth1.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
20		eucrct2eupth1.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
21		eucrct2eupth1.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
22		eucrct2eupth1.s	. 2 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
23	1, 2, 3, 18, 19, 20, 21, 22	eupthres 28579	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074   ↾ cres 5591   “ cima 5592  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044   prefix cpfx 14383  Vtxcvtx 27366  iEdgciedg 27367  Walkscwlks 27963  Circuitsccrcts 28152  EulerPathsceupth 28561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-wlks 27966  df-trls 28060  df-eupth 28562

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  28609