Theorem wlkcl 29672

Description: A walk has length ♯(𝐹), which is an integer. Formerly proven for an Eulerian path, see eupthcl 30268. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlkcl	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem wlkcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2	1	wlkf 29671	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
3		lencl 14484	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5074  dom cdm 5620  ‘cfv 6487  ℕ₀cn0 12426  ♯chash 14281  Word cword 14464  iEdgciedg 29054  Walkscwlks 29653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-hash 14282  df-word 14465  df-wlks 29656

This theorem is referenced by:  wlklenvp1  29675  wlkn0  29677  wlklenvm1  29678  uspgr2wlkeqi  29704  wlklenvclwlk  29710  wlkepvtx  29715  wlkonwlk1l  29718  wlkonl1iedg  29720  redwlk  29727  wlkp1lem1  29728  wlkp1lem7  29734  wlkp1  29736  pthdadjvtx  29784  dfpth2  29785  spthdep  29790  pthdepisspth  29791  spthonepeq  29808  cyclnumvtx  29856  crctcshlem1  29873  wlklnwwlkln1  29924  wlknwwlksnbij  29944  clwlkclwwlkflem  30062  eupthcl  30268  eupthp1  30274  eupth2lem3  30294  eupth2lems  30296  eupth2  30297  eucrct2eupth1  30302  revwlk  35295  pthhashvtx  35298  usgrgt2cycl  35300  usgrcyclgt2v  35301  acycgr1v  35319  upgrimpthslem2  48372  upgrimpths  48373  upgrimcycls  48375