Theorem wlkcl 29823

Description: A walk has length ♯(𝐹), which is an integer. Formerly proven for an Eulerian path, see eupthcl 30419. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlkcl	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem wlkcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2	1	wlkf 29822	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
3		lencl 14556	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5101  dom cdm 5648  ‘cfv 6521  ℕ₀cn0 12491  ♯chash 14353  Word cword 14536  iEdgciedg 29205  Walkscwlks 29804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1075  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-hash 14354  df-word 14537  df-wlks 29807

This theorem is referenced by:  wlklenvp1  29826  wlkn0  29828  wlklenvm1  29829  uspgr2wlkeqi  29855  wlklenvclwlk  29861  wlkepvtx  29866  wlkonwlk1l  29869  wlkonl1iedg  29871  redwlk  29878  wlkp1lem1  29879  wlkp1lem7  29885  wlkp1  29887  pthdadjvtx  29935  dfpth2  29936  spthdep  29941  pthdepisspth  29942  spthonepeq  29959  cyclnumvtx  30007  crctcshlem1  30024  wlklnwwlkln1  30075  wlknwwlksnbij  30095  clwlkclwwlkflem  30213  eupthcl  30419  eupthp1  30425  eupth2lem3  30445  eupth2lems  30447  eupth2  30448  eucrct2eupth1  30453  revwlk  35480  pthhashvtx  35483  usgrgt2cycl  35485  usgrcyclgt2v  35486  acycgr1v  35504  upgrimpthslem2  48521  upgrimpths  48522  upgrimcycls  48524