Theorem ex-hash 30472

Description: Example for df-hash 14370. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-hash	⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = 3

Proof of Theorem ex-hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4631	. . . 4 ⊢ {0, 1, 2} = ({0, 1} ∪ {2})
2	1	fveq2i 6909	. . 3 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = (♯‘({0, 1} ∪ {2}))
3		prfi 9363	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ Fin
4		snfi 9083	. . . 4 ⊢ {2} ∈ Fin
5		2ne0 12370	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
6		1ne2 12474	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
7	6	necomi 2995	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
8	5, 7	nelpri 4655	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 ∈ {0, 1}
9		disjsn 4711	. . . . 5 ⊢ (({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ↔ ¬ 2 ∈ {0, 1})
10	8, 9	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∩ {2}) = ∅
11		hashun 14421	. . . 4 ⊢ (({0, 1} ∈ Fin ∧ {2} ∈ Fin ∧ ({0, 1} ∩ {2}) = ∅) → (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})))
12	3, 4, 10, 11	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
13	2, 12	eqtri 2765	. 2 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
14		prhash2ex 14438	. . . 4 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
15		2z 12649	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16		hashsng 14408	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → (♯‘{2}) = 1)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘{2}) = 1
18	14, 17	oveq12i 7443	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = (2 + 1)
19		2p1e3 12408	. . 3 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtri 2765	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = 3
21	13, 20	eqtri 2765	1 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = 3

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950  ∅c0 4333  {csn 4626  {cpr 4628  {ctp 4630  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  2c2 12321  3c3 12322  ℤcz 12613  ♯chash 14369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370

This theorem is referenced by:  usgrexmpl1tri  47984