Theorem ex-hash 30389

Description: Example for df-hash 14303. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-hash	⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = 3

Proof of Theorem ex-hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4597	. . . 4 ⊢ {0, 1, 2} = ({0, 1} ∪ {2})
2	1	fveq2i 6864	. . 3 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = (♯‘({0, 1} ∪ {2}))
3		prfi 9281	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ Fin
4		snfi 9017	. . . 4 ⊢ {2} ∈ Fin
5		2ne0 12297	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
6		1ne2 12396	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
7	6	necomi 2980	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
8	5, 7	nelpri 4622	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 ∈ {0, 1}
9		disjsn 4678	. . . . 5 ⊢ (({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ↔ ¬ 2 ∈ {0, 1})
10	8, 9	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∩ {2}) = ∅
11		hashun 14354	. . . 4 ⊢ (({0, 1} ∈ Fin ∧ {2} ∈ Fin ∧ ({0, 1} ∩ {2}) = ∅) → (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})))
12	3, 4, 10, 11	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
13	2, 12	eqtri 2753	. 2 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
14		prhash2ex 14371	. . . 4 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
15		2z 12572	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16		hashsng 14341	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → (♯‘{2}) = 1)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘{2}) = 1
18	14, 17	oveq12i 7402	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = (2 + 1)
19		2p1e3 12330	. . 3 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtri 2753	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = 3
21	13, 20	eqtri 2753	1 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = 3

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916  ∅c0 4299  {csn 4592  {cpr 4594  {ctp 4596  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  2c2 12248  3c3 12249  ℤcz 12536  ♯chash 14302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303

This theorem is referenced by:  usgrexmpl1tri  48020