MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-hash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-hash 30482
Description: Example for df-hash 14367. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-hash (♯‘{0, 1, 2}) = 3

Proof of Theorem ex-hash
StepHypRef Expression
1 df-tp 4636 . . . 4 {0, 1, 2} = ({0, 1} ∪ {2})
21fveq2i 6910 . . 3 (♯‘{0, 1, 2}) = (♯‘({0, 1} ∪ {2}))
3 prfi 9361 . . . 4 {0, 1} ∈ Fin
4 snfi 9082 . . . 4 {2} ∈ Fin
5 2ne0 12368 . . . . . 6 2 ≠ 0
6 1ne2 12472 . . . . . . 7 1 ≠ 2
76necomi 2993 . . . . . 6 2 ≠ 1
85, 7nelpri 4660 . . . . 5 ¬ 2 ∈ {0, 1}
9 disjsn 4716 . . . . 5 (({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ↔ ¬ 2 ∈ {0, 1})
108, 9mpbir 231 . . . 4 ({0, 1} ∩ {2}) = ∅
11 hashun 14418 . . . 4 (({0, 1} ∈ Fin ∧ {2} ∈ Fin ∧ ({0, 1} ∩ {2}) = ∅) → (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})))
123, 4, 10, 11mp3an 1460 . . 3 (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
132, 12eqtri 2763 . 2 (♯‘{0, 1, 2}) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
14 prhash2ex 14435 . . . 4 (♯‘{0, 1}) = 2
15 2z 12647 . . . . 5 2 ∈ ℤ
16 hashsng 14405 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → (♯‘{2}) = 1)
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{2}) = 1
1814, 17oveq12i 7443 . . 3 ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = (2 + 1)
19 2p1e3 12406 . . 3 (2 + 1) = 3
2018, 19eqtri 2763 . 2 ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = 3
2113, 20eqtri 2763 1 (♯‘{0, 1, 2}) = 3
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537  wcel 2106  cun 3961  cin 3962  c0 4339  {csn 4631  {cpr 4633  {ctp 4635  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  2c2 12319  3c3 12320  cz 12611  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  usgrexmpl1tri  47920
  Copyright terms: Public domain W3C validator