MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-hash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-hash 28224
Description: Example for df-hash 13683. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-hash (♯‘{0, 1, 2}) = 3

Proof of Theorem ex-hash
StepHypRef Expression
1 df-tp 4564 . . . 4 {0, 1, 2} = ({0, 1} ∪ {2})
21fveq2i 6666 . . 3 (♯‘{0, 1, 2}) = (♯‘({0, 1} ∪ {2}))
3 prfi 8785 . . . 4 {0, 1} ∈ Fin
4 snfi 8586 . . . 4 {2} ∈ Fin
5 2ne0 11733 . . . . . 6 2 ≠ 0
6 1ne2 11837 . . . . . . 7 1 ≠ 2
76necomi 3068 . . . . . 6 2 ≠ 1
85, 7nelpri 4586 . . . . 5 ¬ 2 ∈ {0, 1}
9 disjsn 4639 . . . . 5 (({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ↔ ¬ 2 ∈ {0, 1})
108, 9mpbir 233 . . . 4 ({0, 1} ∩ {2}) = ∅
11 hashun 13735 . . . 4 (({0, 1} ∈ Fin ∧ {2} ∈ Fin ∧ ({0, 1} ∩ {2}) = ∅) → (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})))
123, 4, 10, 11mp3an 1454 . . 3 (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
132, 12eqtri 2842 . 2 (♯‘{0, 1, 2}) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
14 prhash2ex 13752 . . . 4 (♯‘{0, 1}) = 2
15 2z 12006 . . . . 5 2 ∈ ℤ
16 hashsng 13722 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → (♯‘{2}) = 1)
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{2}) = 1
1814, 17oveq12i 7160 . . 3 ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = (2 + 1)
19 2p1e3 11771 . . 3 (2 + 1) = 3
2018, 19eqtri 2842 . 2 ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = 3
2113, 20eqtri 2842 1 (♯‘{0, 1, 2}) = 3
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1530  wcel 2107  cun 3932  cin 3933  c0 4289  {csn 4559  {cpr 4561  {ctp 4563  cfv 6348  (class class class)co 7148  Fincfn 8501  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  2c2 11684  3c3 11685  cz 11973  chash 13682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-hash 13683
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator