Theorem ex-hash 30785

Description: Example for df-hash 14369. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-hash	⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = 3

Proof of Theorem ex-hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4595	. . . 4 ⊢ {0, 1, 2} = ({0, 1} ∪ {2})
2	1	fveq2i 6886	. . 3 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = (♯‘({0, 1} ∪ {2}))
3		prfi 9284	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ Fin
4		snfi 9041	. . . 4 ⊢ {2} ∈ Fin
5		2ne0 12348	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
6		1ne2 12452	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
7	6	necomi 3012	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
8	5, 7	nelpri 4622	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 ∈ {0, 1}
9		disjsn 4678	. . . . 5 ⊢ (({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ↔ ¬ 2 ∈ {0, 1})
10	8, 9	mpbir 234	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∩ {2}) = ∅
11		hashun 14420	. . . 4 ⊢ (({0, 1} ∈ Fin ∧ {2} ∈ Fin ∧ ({0, 1} ∩ {2}) = ∅) → (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})))
12	3, 4, 10, 11	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
13	2, 12	eqtri 2786	. 2 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
14		prhash2ex 14437	. . . 4 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
15		2z 12627	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16		hashsng 14407	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → (♯‘{2}) = 1)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘{2}) = 1
18	14, 17	oveq12i 7424	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = (2 + 1)
19		2p1e3 12383	. . 3 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtri 2786	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = 3
21	13, 20	eqtri 2786	1 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = 3

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  ∅c0 4287  {csn 4590  {cpr 4592  {ctp 4594  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Fincfn 8944  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104  2c2 12296  3c3 12297  ℤcz 12592  ♯chash 14368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-hash 14369

This theorem is referenced by:  usgrexmpl1tri  48773