MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-hash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-hash 29439
Description: Example for df-hash 14238. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-hash (♯‘{0, 1, 2}) = 3

Proof of Theorem ex-hash
StepHypRef Expression
1 df-tp 4596 . . . 4 {0, 1, 2} = ({0, 1} ∪ {2})
21fveq2i 6850 . . 3 (♯‘{0, 1, 2}) = (♯‘({0, 1} ∪ {2}))
3 prfi 9273 . . . 4 {0, 1} ∈ Fin
4 snfi 8995 . . . 4 {2} ∈ Fin
5 2ne0 12264 . . . . . 6 2 ≠ 0
6 1ne2 12368 . . . . . . 7 1 ≠ 2
76necomi 2999 . . . . . 6 2 ≠ 1
85, 7nelpri 4620 . . . . 5 ¬ 2 ∈ {0, 1}
9 disjsn 4677 . . . . 5 (({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ↔ ¬ 2 ∈ {0, 1})
108, 9mpbir 230 . . . 4 ({0, 1} ∩ {2}) = ∅
11 hashun 14289 . . . 4 (({0, 1} ∈ Fin ∧ {2} ∈ Fin ∧ ({0, 1} ∩ {2}) = ∅) → (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})))
123, 4, 10, 11mp3an 1462 . . 3 (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
132, 12eqtri 2765 . 2 (♯‘{0, 1, 2}) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
14 prhash2ex 14306 . . . 4 (♯‘{0, 1}) = 2
15 2z 12542 . . . . 5 2 ∈ ℤ
16 hashsng 14276 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → (♯‘{2}) = 1)
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{2}) = 1
1814, 17oveq12i 7374 . . 3 ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = (2 + 1)
19 2p1e3 12302 . . 3 (2 + 1) = 3
2018, 19eqtri 2765 . 2 ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = 3
2113, 20eqtri 2765 1 (♯‘{0, 1, 2}) = 3
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3913  cin 3914  c0 4287  {csn 4591  {cpr 4593  {ctp 4595  cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  2c2 12215  3c3 12216  cz 12506  chash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator