Theorem ex-hash 30340

Description: Example for df-hash 14331. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-hash	⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = 3

Proof of Theorem ex-hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4635	. . . 4 ⊢ {0, 1, 2} = ({0, 1} ∪ {2})
2	1	fveq2i 6899	. . 3 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = (♯‘({0, 1} ∪ {2}))
3		prfi 9351	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ Fin
4		snfi 9071	. . . 4 ⊢ {2} ∈ Fin
5		2ne0 12354	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
6		1ne2 12458	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
7	6	necomi 2984	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
8	5, 7	nelpri 4659	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 ∈ {0, 1}
9		disjsn 4717	. . . . 5 ⊢ (({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ↔ ¬ 2 ∈ {0, 1})
10	8, 9	mpbir 230	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∩ {2}) = ∅
11		hashun 14382	. . . 4 ⊢ (({0, 1} ∈ Fin ∧ {2} ∈ Fin ∧ ({0, 1} ∩ {2}) = ∅) → (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})))
12	3, 4, 10, 11	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
13	2, 12	eqtri 2753	. 2 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
14		prhash2ex 14399	. . . 4 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
15		2z 12632	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16		hashsng 14369	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → (♯‘{2}) = 1)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘{2}) = 1
18	14, 17	oveq12i 7431	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = (2 + 1)
19		2p1e3 12392	. . 3 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtri 2753	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = 3
21	13, 20	eqtri 2753	1 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = 3

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3942   ∩ cin 3943  ∅c0 4322  {csn 4630  {cpr 4632  {ctp 4634  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  0cc0 11145  1c1 11146   + caddc 11148  2c2 12305  3c3 12306  ℤcz 12596  ♯chash 14330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-hash 14331

This theorem is referenced by: (None)