Theorem ex-bc 30422

Description: Example for df-bc 14202. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-bc	⊢ (5C3) = ;10

Proof of Theorem ex-bc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12183	. . 3 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7351	. 2 ⊢ (5C3) = ((4 + 1)C3)
3		4bc3eq4 14227	. . . 4 ⊢ (4C3) = 4
4		3m1e2 12240	. . . . . 6 ⊢ (3 − 1) = 2
5	4	oveq2i 7352	. . . . 5 ⊢ (4C(3 − 1)) = (4C2)
6		4bc2eq6 14228	. . . . 5 ⊢ (4C2) = 6
7	5, 6	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (4C(3 − 1)) = 6
8	3, 7	oveq12i 7353	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = (4 + 6)
9		4nn0 12392	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
10		3z 12497	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
11		bcpasc 14220	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℤ) → ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3))
12	9, 10, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3)
13		6cn 12208	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
14		4cn 12202	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
15		6p4e10 12652	. . . 4 ⊢ (6 + 4) = ;10
16	13, 14, 15	addcomli 11297	. . 3 ⊢ (4 + 6) = ;10
17	8, 12, 16	3eqtr3i 2761	. 2 ⊢ ((4 + 1)C3) = ;10
18	2, 17	eqtri 2753	1 ⊢ (5C3) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7341  0cc0 10998  1c1 10999   + caddc 11001   − cmin 11336  2c2 12172  3c3 12173  4c4 12174  5c5 12175  6c6 12176  ℕ₀cn0 12373  ℤcz 12460  ;cdc 12580  Ccbc 14201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-rp 12883  df-fz 13400  df-seq 13901  df-fac 14173  df-bc 14202

This theorem is referenced by: (None)