Theorem ex-bc 30712

Description: Example for df-bc 14330. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-bc	⊢ (5C3) = ;10

Proof of Theorem ex-bc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12297	. . 3 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7410	. 2 ⊢ (5C3) = ((4 + 1)C3)
3		4bc3eq4 14355	. . . 4 ⊢ (4C3) = 4
4		3m1e2 12359	. . . . . 6 ⊢ (3 − 1) = 2
5	4	oveq2i 7411	. . . . 5 ⊢ (4C(3 − 1)) = (4C2)
6		4bc2eq6 14356	. . . . 5 ⊢ (4C2) = 6
7	5, 6	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (4C(3 − 1)) = 6
8	3, 7	oveq12i 7412	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = (4 + 6)
9		4nn0 12514	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
10		3z 12618	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
11		bcpasc 14348	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℤ) → ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3))
12	9, 10, 11	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3)
13		6cn 12323	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
14		4cn 12317	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
15		6p4e10 12779	. . . 4 ⊢ (6 + 4) = ;10
16	13, 14, 15	addcomli 11390	. . 3 ⊢ (4 + 6) = ;10
17	8, 12, 16	3eqtr3i 2796	. 2 ⊢ ((4 + 1)C3) = ;10
18	2, 17	eqtri 2788	1 ⊢ (5C3) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   − cmin 11429  2c2 12286  3c3 12287  4c4 12288  5c5 12289  6c6 12290  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ;cdc 12702  Ccbc 14329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-seq 14029  df-fac 14301  df-bc 14330

This theorem is referenced by: (None)