Theorem ex-bc 30438

Description: Example for df-bc 14326. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-bc	⊢ (5C3) = ;10

Proof of Theorem ex-bc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12311	. . 3 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7420	. 2 ⊢ (5C3) = ((4 + 1)C3)
3		4bc3eq4 14351	. . . 4 ⊢ (4C3) = 4
4		3m1e2 12373	. . . . . 6 ⊢ (3 − 1) = 2
5	4	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (4C(3 − 1)) = (4C2)
6		4bc2eq6 14352	. . . . 5 ⊢ (4C2) = 6
7	5, 6	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (4C(3 − 1)) = 6
8	3, 7	oveq12i 7422	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = (4 + 6)
9		4nn0 12525	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
10		3z 12630	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
11		bcpasc 14344	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℤ) → ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3))
12	9, 10, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3)
13		6cn 12336	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
14		4cn 12330	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
15		6p4e10 12785	. . . 4 ⊢ (6 + 4) = ;10
16	13, 14, 15	addcomli 11432	. . 3 ⊢ (4 + 6) = ;10
17	8, 12, 16	3eqtr3i 2767	. 2 ⊢ ((4 + 1)C3) = ;10
18	2, 17	eqtri 2759	1 ⊢ (5C3) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   − cmin 11471  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  5c5 12303  6c6 12304  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ;cdc 12713  Ccbc 14325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-seq 14025  df-fac 14297  df-bc 14326

This theorem is referenced by: (None)