MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-bc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-bc 28391
Description: Example for df-bc 13757. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-bc (5C3) = 10

Proof of Theorem ex-bc
StepHypRef Expression
1 df-5 11784 . . 3 5 = (4 + 1)
21oveq1i 7182 . 2 (5C3) = ((4 + 1)C3)
3 4bc3eq4 13782 . . . 4 (4C3) = 4
4 3m1e2 11846 . . . . . 6 (3 − 1) = 2
54oveq2i 7183 . . . . 5 (4C(3 − 1)) = (4C2)
6 4bc2eq6 13783 . . . . 5 (4C2) = 6
75, 6eqtri 2761 . . . 4 (4C(3 − 1)) = 6
83, 7oveq12i 7184 . . 3 ((4C3) + (4C(3 − 1))) = (4 + 6)
9 4nn0 11997 . . . 4 4 ∈ ℕ0
10 3z 12098 . . . 4 3 ∈ ℤ
11 bcpasc 13775 . . . 4 ((4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℤ) → ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3))
129, 10, 11mp2an 692 . . 3 ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3)
13 6cn 11809 . . . 4 6 ∈ ℂ
14 4cn 11803 . . . 4 4 ∈ ℂ
15 6p4e10 12253 . . . 4 (6 + 4) = 10
1613, 14, 15addcomli 10912 . . 3 (4 + 6) = 10
178, 12, 163eqtr3i 2769 . 2 ((4 + 1)C3) = 10
182, 17eqtri 2761 1 (5C3) = 10
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2114  (class class class)co 7172  0cc0 10617  1c1 10618   + caddc 10620  cmin 10950  2c2 11773  3c3 11774  4c4 11775  5c5 11776  6c6 11777  0cn0 11978  cz 12064  cdc 12181  Ccbc 13756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-7 11786  df-8 11787  df-9 11788  df-n0 11979  df-z 12065  df-dec 12182  df-uz 12327  df-rp 12475  df-fz 12984  df-seq 13463  df-fac 13728  df-bc 13757
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator