Theorem ex-bc 29694

Description: Example for df-bc 14259. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-bc	⊢ (5C3) = ;10

Proof of Theorem ex-bc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12274	. . 3 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7415	. 2 ⊢ (5C3) = ((4 + 1)C3)
3		4bc3eq4 14284	. . . 4 ⊢ (4C3) = 4
4		3m1e2 12336	. . . . . 6 ⊢ (3 − 1) = 2
5	4	oveq2i 7416	. . . . 5 ⊢ (4C(3 − 1)) = (4C2)
6		4bc2eq6 14285	. . . . 5 ⊢ (4C2) = 6
7	5, 6	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (4C(3 − 1)) = 6
8	3, 7	oveq12i 7417	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = (4 + 6)
9		4nn0 12487	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
10		3z 12591	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
11		bcpasc 14277	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℤ) → ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3))
12	9, 10, 11	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3)
13		6cn 12299	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
14		4cn 12293	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
15		6p4e10 12745	. . . 4 ⊢ (6 + 4) = ;10
16	13, 14, 15	addcomli 11402	. . 3 ⊢ (4 + 6) = ;10
17	8, 12, 16	3eqtr3i 2768	. 2 ⊢ ((4 + 1)C3) = ;10
18	2, 17	eqtri 2760	1 ⊢ (5C3) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   − cmin 11440  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  5c5 12266  6c6 12267  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ;cdc 12673  Ccbc 14258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-seq 13963  df-fac 14230  df-bc 14259

This theorem is referenced by: (None)