Theorem ex-bc 30261

Description: Example for df-bc 14294. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-bc	⊢ (5C3) = ;10

Proof of Theorem ex-bc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12308	. . 3 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7430	. 2 ⊢ (5C3) = ((4 + 1)C3)
3		4bc3eq4 14319	. . . 4 ⊢ (4C3) = 4
4		3m1e2 12370	. . . . . 6 ⊢ (3 − 1) = 2
5	4	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ (4C(3 − 1)) = (4C2)
6		4bc2eq6 14320	. . . . 5 ⊢ (4C2) = 6
7	5, 6	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (4C(3 − 1)) = 6
8	3, 7	oveq12i 7432	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = (4 + 6)
9		4nn0 12521	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
10		3z 12625	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
11		bcpasc 14312	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℤ) → ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3))
12	9, 10, 11	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3)
13		6cn 12333	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
14		4cn 12327	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
15		6p4e10 12779	. . . 4 ⊢ (6 + 4) = ;10
16	13, 14, 15	addcomli 11436	. . 3 ⊢ (4 + 6) = ;10
17	8, 12, 16	3eqtr3i 2764	. 2 ⊢ ((4 + 1)C3) = ;10
18	2, 17	eqtri 2756	1 ⊢ (5C3) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   − cmin 11474  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  5c5 12300  6c6 12301  ℕ₀cn0 12502  ℤcz 12588  ;cdc 12707  Ccbc 14293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-seq 13999  df-fac 14265  df-bc 14294

This theorem is referenced by: (None)