Theorem ex-bc 30510

Description: Example for df-bc 14230. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-bc	⊢ (5C3) = ;10

Proof of Theorem ex-bc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12215	. . 3 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7370	. 2 ⊢ (5C3) = ((4 + 1)C3)
3		4bc3eq4 14255	. . . 4 ⊢ (4C3) = 4
4		3m1e2 12272	. . . . . 6 ⊢ (3 − 1) = 2
5	4	oveq2i 7371	. . . . 5 ⊢ (4C(3 − 1)) = (4C2)
6		4bc2eq6 14256	. . . . 5 ⊢ (4C2) = 6
7	5, 6	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (4C(3 − 1)) = 6
8	3, 7	oveq12i 7372	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = (4 + 6)
9		4nn0 12424	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
10		3z 12528	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
11		bcpasc 14248	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℤ) → ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3))
12	9, 10, 11	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3)
13		6cn 12240	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
14		4cn 12234	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
15		6p4e10 12683	. . . 4 ⊢ (6 + 4) = ;10
16	13, 14, 15	addcomli 11329	. . 3 ⊢ (4 + 6) = ;10
17	8, 12, 16	3eqtr3i 2768	. 2 ⊢ ((4 + 1)C3) = ;10
18	2, 17	eqtri 2760	1 ⊢ (5C3) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   − cmin 11368  2c2 12204  3c3 12205  4c4 12206  5c5 12207  6c6 12208  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ;cdc 12611  Ccbc 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-seq 13929  df-fac 14201  df-bc 14230

This theorem is referenced by: (None)