Theorem ex-bc 30199

Description: Example for df-bc 14264. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-bc	⊢ (5C3) = ;10

Proof of Theorem ex-bc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12277	. . 3 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7412	. 2 ⊢ (5C3) = ((4 + 1)C3)
3		4bc3eq4 14289	. . . 4 ⊢ (4C3) = 4
4		3m1e2 12339	. . . . . 6 ⊢ (3 − 1) = 2
5	4	oveq2i 7413	. . . . 5 ⊢ (4C(3 − 1)) = (4C2)
6		4bc2eq6 14290	. . . . 5 ⊢ (4C2) = 6
7	5, 6	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (4C(3 − 1)) = 6
8	3, 7	oveq12i 7414	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = (4 + 6)
9		4nn0 12490	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
10		3z 12594	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
11		bcpasc 14282	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℤ) → ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3))
12	9, 10, 11	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3)
13		6cn 12302	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
14		4cn 12296	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
15		6p4e10 12748	. . . 4 ⊢ (6 + 4) = ;10
16	13, 14, 15	addcomli 11405	. . 3 ⊢ (4 + 6) = ;10
17	8, 12, 16	3eqtr3i 2760	. 2 ⊢ ((4 + 1)C3) = ;10
18	2, 17	eqtri 2752	1 ⊢ (5C3) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   − cmin 11443  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ;cdc 12676  Ccbc 14263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-seq 13968  df-fac 14235  df-bc 14264

This theorem is referenced by: (None)