MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-bc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-bc 28148
Description: Example for df-bc 13656. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-bc (5C3) = 10

Proof of Theorem ex-bc
StepHypRef Expression
1 df-5 11695 . . 3 5 = (4 + 1)
21oveq1i 7161 . 2 (5C3) = ((4 + 1)C3)
3 4bc3eq4 13681 . . . 4 (4C3) = 4
4 3m1e2 11757 . . . . . 6 (3 − 1) = 2
54oveq2i 7162 . . . . 5 (4C(3 − 1)) = (4C2)
6 4bc2eq6 13682 . . . . 5 (4C2) = 6
75, 6eqtri 2848 . . . 4 (4C(3 − 1)) = 6
83, 7oveq12i 7163 . . 3 ((4C3) + (4C(3 − 1))) = (4 + 6)
9 4nn0 11908 . . . 4 4 ∈ ℕ0
10 3z 12007 . . . 4 3 ∈ ℤ
11 bcpasc 13674 . . . 4 ((4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℤ) → ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3))
129, 10, 11mp2an 688 . . 3 ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3)
13 6cn 11720 . . . 4 6 ∈ ℂ
14 4cn 11714 . . . 4 4 ∈ ℂ
15 6p4e10 12162 . . . 4 (6 + 4) = 10
1613, 14, 15addcomli 10824 . . 3 (4 + 6) = 10
178, 12, 163eqtr3i 2856 . 2 ((4 + 1)C3) = 10
182, 17eqtri 2848 1 (5C3) = 10
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1530  wcel 2107  (class class class)co 7151  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  cmin 10862  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  5c5 11687  6c6 11688  0cn0 11889  cz 11973  cdc 12090  Ccbc 13655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-seq 13363  df-fac 13627  df-bc 13656
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator