Theorem ex-bc 30769

Description: Example for df-bc 14339. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-bc	⊢ (5C3) = ;10

Proof of Theorem ex-bc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12305	. . 3 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7420	. 2 ⊢ (5C3) = ((4 + 1)C3)
3		4bc3eq4 14364	. . . 4 ⊢ (4C3) = 4
4		3m1e2 12367	. . . . . 6 ⊢ (3 − 1) = 2
5	4	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (4C(3 − 1)) = (4C2)
6		4bc2eq6 14365	. . . . 5 ⊢ (4C2) = 6
7	5, 6	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (4C(3 − 1)) = 6
8	3, 7	oveq12i 7422	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = (4 + 6)
9		4nn0 12522	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
10		3z 12626	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
11		bcpasc 14357	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℤ) → ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3))
12	9, 10, 11	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3)
13		6cn 12331	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
14		4cn 12325	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
15		6p4e10 12787	. . . 4 ⊢ (6 + 4) = ;10
16	13, 14, 15	addcomli 11401	. . 3 ⊢ (4 + 6) = ;10
17	8, 12, 16	3eqtr3i 2792	. 2 ⊢ ((4 + 1)C3) = ;10
18	2, 17	eqtri 2784	1 ⊢ (5C3) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7410  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   − cmin 11440  2c2 12294  3c3 12295  4c4 12296  5c5 12297  6c6 12298  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ;cdc 12710  Ccbc 14338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-seq 14038  df-fac 14310  df-bc 14339

This theorem is referenced by: (None)