Users' Mathboxes Mathbox for David A. Wheeler < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onetansqsecsq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onetansqsecsq 47893
Description: Prove the tangent squared secant squared identity (1 + ((tan A ) ^ 2 ) ) = ( ( sec 𝐴)↑2)). (Contributed by David A. Wheeler, 25-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
onetansqsecsq ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + ((tanβ€˜π΄)↑2)) = ((secβ€˜π΄)↑2))

Proof of Theorem onetansqsecsq
StepHypRef Expression
1 coscl 16074 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
2 sqeq0 14089 . . . . . . . . . 10 ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) = 0 ↔ (cosβ€˜π΄) = 0))
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) = 0 ↔ (cosβ€˜π΄) = 0))
43necon3bid 2983 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0 ↔ (cosβ€˜π΄) β‰  0))
54biimpar 476 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0)
61sqcld 14113 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
7 divid 11905 . . . . . . . 8 ((((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0) β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
86, 7sylan 578 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0) β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
95, 8syldan 589 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
109eqcomd 2736 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 1 = (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
11 tanval 16075 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (tanβ€˜π΄) = ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)))
1211oveq1d 7426 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((tanβ€˜π΄)↑2) = (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))↑2))
13 2nn0 12493 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
14 sincl 16073 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
15 expdiv 14083 . . . . . . . . . . 11 (((sinβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))↑2) = (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
1614, 15syl3an1 1161 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))↑2) = (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
1713, 16mp3an3 1448 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0)) β†’ (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))↑2) = (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
18173impb 1113 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))↑2) = (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
191, 18syl3an2 1162 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))↑2) = (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
20193anidm12 1417 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))↑2) = (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
2112, 20eqtrd 2770 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((tanβ€˜π΄)↑2) = (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
2210, 21oveq12d 7429 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + ((tanβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
2314sqcld 14113 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
24 divdir 11901 . . . . . . . . . . 11 ((((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ (((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0)) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
256, 24syl3an1 1161 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ (((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0)) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
2623, 25syl3an2 1162 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ (((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0)) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
27263anidm12 1417 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0)) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
28273impb 1113 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
296, 28syl3an2 1162 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
30293anidm12 1417 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
315, 30syldan 589 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
3222, 31eqtr4d 2773 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + ((tanβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
3323, 6addcomd 11420 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = (((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)))
34 sincossq 16123 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
3533, 34eqtr3d 2772 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) = 1)
3635oveq1d 7426 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = (1 / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
3736adantr 479 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = (1 / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
3832, 37eqtrd 2770 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + ((tanβ€˜π΄)↑2)) = (1 / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
39 secval 47879 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (secβ€˜π΄) = (1 / (cosβ€˜π΄)))
4039oveq1d 7426 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((secβ€˜π΄)↑2) = ((1 / (cosβ€˜π΄))↑2))
41 ax-1cn 11170 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
42 expdiv 14083 . . . . . 6 ((1 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ ((1 / (cosβ€˜π΄))↑2) = ((1↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
4341, 13, 42mp3an13 1450 . . . . 5 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((1 / (cosβ€˜π΄))↑2) = ((1↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
441, 43sylan 578 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((1 / (cosβ€˜π΄))↑2) = ((1↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
45 sq1 14163 . . . . 5 (1↑2) = 1
4645oveq1i 7421 . . . 4 ((1↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = (1 / ((cosβ€˜π΄)↑2))
4744, 46eqtrdi 2786 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((1 / (cosβ€˜π΄))↑2) = (1 / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
4840, 47eqtrd 2770 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((secβ€˜π΄)↑2) = (1 / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
4938, 48eqtr4d 2773 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + ((tanβ€˜π΄)↑2)) = ((secβ€˜π΄)↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   / cdiv 11875  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β†‘cexp 14031  sincsin 16011  cosccos 16012  tanctan 16013  seccsec 47873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-tan 16019  df-sec 47876
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator