Theorem onetansqsecsq 50567

Description: Prove the tangent squared secant squared identity (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((sec‘𝐴)↑2)). (Contributed by David A. Wheeler, 25-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onetansqsecsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((sec‘𝐴)↑2))

Proof of Theorem onetansqsecsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 16187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2		sqeq0 14161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (cos‘𝐴) = 0))
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (cos‘𝐴) = 0))
4	3	necon3bid 3002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (cos‘𝐴) ≠ 0))
5	4	biimpar 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)
6	1	sqcld 14185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
7		divid 11906	. . . . . . . 8 ⊢ ((((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → (((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
8	6, 7	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → (((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
9	5, 8	syldan 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
10	9	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 1 = (((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
11		tanval 16188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
12	11	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((tan‘𝐴)↑2) = (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2))
13		2nn0 12525	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		sincl 16186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
15		expdiv 14154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
16	14, 15	syl3an1 1181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
17	13, 16	mp3an3 1479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0)) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
18	17	3impb 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
19	1, 18	syl3an2 1182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
20	19	3anidm12 1446	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
21	12, 20	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((tan‘𝐴)↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
22	10, 21	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
23	14	sqcld 14185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
24		divdir 11901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
25	6, 24	syl3an1 1181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
26	23, 25	syl3an2 1182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
27	26	3anidm12 1446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
28	27	3impb 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
29	6, 28	syl3an2 1182	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
30	29	3anidm12 1446	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
31	5, 30	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
32	22, 31	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)))
33	23, 6	addcomd 11416	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
34		sincossq 16236	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
35	33, 34	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1)
36	35	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
37	36	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
38	32, 37	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
39		secval 50553	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (sec‘𝐴) = (1 / (cos‘𝐴)))
40	39	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sec‘𝐴)↑2) = ((1 / (cos‘𝐴))↑2))
41		ax-1cn 11162	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
42		expdiv 14154	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((1 / (cos‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
43	41, 13, 42	mp3an13 1481	. . . . 5 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (cos‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
44	1, 43	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (cos‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
45		sq1 14236	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
46	45	oveq1i 7420	. . . 4 ⊢ ((1↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2))
47	44, 46	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (cos‘𝐴))↑2) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
48	40, 47	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sec‘𝐴)↑2) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
49	38, 48	eqtr4d 2801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((sec‘𝐴)↑2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107   / cdiv 11875  2c2 12299  ℕ₀cn0 12508  ↑cexp 14102  sincsin 16121  cosccos 16122  tanctan 16123  seccsec 50547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-ico 13382  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14315  df-bc 14344  df-hash 14372  df-shft 15109  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-limsup 15527  df-clim 15544  df-rlim 15545  df-sum 15743  df-ef 16125  df-sin 16127  df-cos 16128  df-tan 16129  df-sec 50550

This theorem is used by: (None)