Theorem onetansqsecsq 50672

Description: Prove the tangent squared secant squared identity (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((sec‘𝐴)↑2)). (Contributed by David A. Wheeler, 25-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onetansqsecsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((sec‘𝐴)↑2))

Proof of Theorem onetansqsecsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 16217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2		sqeq0 14184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (cos‘𝐴) = 0))
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (cos‘𝐴) = 0))
4	3	necon3bid 3001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (cos‘𝐴) ≠ 0))
5	4	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)
6	1	sqcld 14208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
7		divid 11927	. . . . . . . 8 ⊢ ((((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → (((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
8	6, 7	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → (((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
9	5, 8	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
10	9	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 1 = (((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
11		tanval 16218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
12	11	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((tan‘𝐴)↑2) = (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2))
13		2nn0 12546	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		sincl 16216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
15		expdiv 14177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
16	14, 15	syl3an1 1181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
17	13, 16	mp3an3 1479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0)) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
18	17	3impb 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
19	1, 18	syl3an2 1182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
20	19	3anidm12 1446	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
21	12, 20	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((tan‘𝐴)↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
22	10, 21	oveq12d 7434	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
23	14	sqcld 14208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
24		divdir 11922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
25	6, 24	syl3an1 1181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
26	23, 25	syl3an2 1182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
27	26	3anidm12 1446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
28	27	3impb 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
29	6, 28	syl3an2 1182	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
30	29	3anidm12 1446	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
31	5, 30	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
32	22, 31	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)))
33	23, 6	addcomd 11437	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
34		sincossq 16266	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
35	33, 34	eqtr3d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1)
36	35	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
37	36	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
38	32, 37	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
39		secval 50658	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (sec‘𝐴) = (1 / (cos‘𝐴)))
40	39	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sec‘𝐴)↑2) = ((1 / (cos‘𝐴))↑2))
41		ax-1cn 11183	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
42		expdiv 14177	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((1 / (cos‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
43	41, 13, 42	mp3an13 1481	. . . . 5 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (cos‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
44	1, 43	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (cos‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
45		sq1 14259	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
46	45	oveq1i 7426	. . . 4 ⊢ ((1↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2))
47	44, 46	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (cos‘𝐴))↑2) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
48	40, 47	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sec‘𝐴)↑2) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
49	38, 48	eqtr4d 2800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((sec‘𝐴)↑2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11123  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   / cdiv 11896  2c2 12320  ℕ₀cn0 12529  ↑cexp 14125  sincsin 16151  cosccos 16152  tanctan 16153  seccsec 50652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13043  df-ico 13404  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16155  df-sin 16157  df-cos 16158  df-tan 16159  df-sec 50655

This theorem is used by: (None)