Theorem onetansqsecsq 49861

Description: Prove the tangent squared secant squared identity (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((sec‘𝐴)↑2)). (Contributed by David A. Wheeler, 25-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onetansqsecsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((sec‘𝐴)↑2))

Proof of Theorem onetansqsecsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 16036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2		sqeq0 14027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (cos‘𝐴) = 0))
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (cos‘𝐴) = 0))
4	3	necon3bid 2972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (cos‘𝐴) ≠ 0))
5	4	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)
6	1	sqcld 14051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
7		divid 11807	. . . . . . . 8 ⊢ ((((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → (((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
8	6, 7	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → (((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
9	5, 8	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
10	9	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 1 = (((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
11		tanval 16037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
12	11	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((tan‘𝐴)↑2) = (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2))
13		2nn0 12398	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		sincl 16035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
15		expdiv 14020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
16	14, 15	syl3an1 1163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
17	13, 16	mp3an3 1452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0)) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
18	17	3impb 1114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
19	1, 18	syl3an2 1164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
20	19	3anidm12 1421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
21	12, 20	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((tan‘𝐴)↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
22	10, 21	oveq12d 7364	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
23	14	sqcld 14051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
24		divdir 11801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
25	6, 24	syl3an1 1163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
26	23, 25	syl3an2 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
27	26	3anidm12 1421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
28	27	3impb 1114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
29	6, 28	syl3an2 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
30	29	3anidm12 1421	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
31	5, 30	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
32	22, 31	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)))
33	23, 6	addcomd 11315	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
34		sincossq 16085	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
35	33, 34	eqtr3d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1)
36	35	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
37	36	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
38	32, 37	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
39		secval 49847	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (sec‘𝐴) = (1 / (cos‘𝐴)))
40	39	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sec‘𝐴)↑2) = ((1 / (cos‘𝐴))↑2))
41		ax-1cn 11064	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
42		expdiv 14020	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((1 / (cos‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
43	41, 13, 42	mp3an13 1454	. . . . 5 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (cos‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
44	1, 43	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (cos‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
45		sq1 14102	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
46	45	oveq1i 7356	. . . 4 ⊢ ((1↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2))
47	44, 46	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (cos‘𝐴))↑2) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
48	40, 47	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sec‘𝐴)↑2) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
49	38, 48	eqtr4d 2769	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((sec‘𝐴)↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   / cdiv 11774  2c2 12180  ℕ₀cn0 12381  ↑cexp 13968  sincsin 15970  cosccos 15971  tanctan 15972  seccsec 49841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-tan 15978  df-sec 49844

This theorem is referenced by: (None)