Users' Mathboxes Mathbox for David A. Wheeler < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onetansqsecsq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onetansqsecsq 47806
Description: Prove the tangent squared secant squared identity (1 + ((tan A ) ^ 2 ) ) = ( ( sec 𝐴)↑2)). (Contributed by David A. Wheeler, 25-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
onetansqsecsq ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + ((tanβ€˜π΄)↑2)) = ((secβ€˜π΄)↑2))

Proof of Theorem onetansqsecsq
StepHypRef Expression
1 coscl 16070 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
2 sqeq0 14085 . . . . . . . . . 10 ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) = 0 ↔ (cosβ€˜π΄) = 0))
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) = 0 ↔ (cosβ€˜π΄) = 0))
43necon3bid 2986 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0 ↔ (cosβ€˜π΄) β‰  0))
54biimpar 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0)
61sqcld 14109 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
7 divid 11901 . . . . . . . 8 ((((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0) β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
86, 7sylan 581 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0) β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
95, 8syldan 592 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
109eqcomd 2739 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 1 = (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
11 tanval 16071 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (tanβ€˜π΄) = ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)))
1211oveq1d 7424 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((tanβ€˜π΄)↑2) = (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))↑2))
13 2nn0 12489 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
14 sincl 16069 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
15 expdiv 14079 . . . . . . . . . . 11 (((sinβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))↑2) = (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
1614, 15syl3an1 1164 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))↑2) = (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
1713, 16mp3an3 1451 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0)) β†’ (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))↑2) = (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
18173impb 1116 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))↑2) = (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
191, 18syl3an2 1165 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))↑2) = (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
20193anidm12 1420 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))↑2) = (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
2112, 20eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((tanβ€˜π΄)↑2) = (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
2210, 21oveq12d 7427 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + ((tanβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
2314sqcld 14109 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
24 divdir 11897 . . . . . . . . . . 11 ((((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ (((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0)) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
256, 24syl3an1 1164 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ (((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0)) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
2623, 25syl3an2 1165 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ (((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0)) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
27263anidm12 1420 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0)) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
28273impb 1116 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
296, 28syl3an2 1165 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
30293anidm12 1420 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
315, 30syldan 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) + (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2))))
3222, 31eqtr4d 2776 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + ((tanβ€˜π΄)↑2)) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
3323, 6addcomd 11416 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = (((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)))
34 sincossq 16119 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
3533, 34eqtr3d 2775 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) = 1)
3635oveq1d 7424 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = (1 / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
3736adantr 482 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = (1 / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
3832, 37eqtrd 2773 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + ((tanβ€˜π΄)↑2)) = (1 / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
39 secval 47792 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (secβ€˜π΄) = (1 / (cosβ€˜π΄)))
4039oveq1d 7424 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((secβ€˜π΄)↑2) = ((1 / (cosβ€˜π΄))↑2))
41 ax-1cn 11168 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
42 expdiv 14079 . . . . . 6 ((1 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ ((1 / (cosβ€˜π΄))↑2) = ((1↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
4341, 13, 42mp3an13 1453 . . . . 5 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((1 / (cosβ€˜π΄))↑2) = ((1↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
441, 43sylan 581 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((1 / (cosβ€˜π΄))↑2) = ((1↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
45 sq1 14159 . . . . 5 (1↑2) = 1
4645oveq1i 7419 . . . 4 ((1↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = (1 / ((cosβ€˜π΄)↑2))
4744, 46eqtrdi 2789 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((1 / (cosβ€˜π΄))↑2) = (1 / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
4840, 47eqtrd 2773 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((secβ€˜π΄)↑2) = (1 / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
4938, 48eqtr4d 2776 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + ((tanβ€˜π΄)↑2)) = ((secβ€˜π΄)↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   / cdiv 11871  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β†‘cexp 14027  sincsin 16007  cosccos 16008  tanctan 16009  seccsec 47786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-sec 47789
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator