Users' Mathboxes Mathbox for David A. Wheeler < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cotsqcscsq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cotsqcscsq 47891
Description: Prove the tangent squared cosecant squared identity (1 + ((cot A ) ^ 2 ) ) = ( ( csc 𝐴)↑2)). (Contributed by David A. Wheeler, 27-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
cotsqcscsq ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + ((cotβ€˜π΄)↑2)) = ((cscβ€˜π΄)↑2))

Proof of Theorem cotsqcscsq
StepHypRef Expression
1 cotval 47878 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (cotβ€˜π΄) = ((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄)))
21oveq1d 7426 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((cotβ€˜π΄)↑2) = (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2))
32oveq2d 7427 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + ((cotβ€˜π΄)↑2)) = (1 + (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2)))
4 sincossq 16121 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
54oveq1d 7426 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) / ((sinβ€˜π΄)↑2)) = (1 / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
65adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) / ((sinβ€˜π΄)↑2)) = (1 / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
7 sincl 16071 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
87sqcld 14111 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
10 sqne0 14090 . . . . . . . 8 ((sinβ€˜π΄) ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) β‰  0 ↔ (sinβ€˜π΄) β‰  0))
117, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) β‰  0 ↔ (sinβ€˜π΄) β‰  0))
1211biimpar 478 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) β‰  0)
139, 12dividd 11990 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)) = 1)
1413oveq1d 7426 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((sinβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)) + (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2))) = (1 + (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2))))
15 coscl 16072 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
1615sqcld 14111 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
1716adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
189, 17, 9, 12divdird 12030 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) / ((sinβ€˜π΄)↑2)) = ((((sinβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)) + (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2))))
1915, 7jca 512 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚))
20 2nn0 12491 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•0
21 expdiv 14081 . . . . . . . 8 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2) = (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
2220, 21mp3an3 1450 . . . . . . 7 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0)) β†’ (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2) = (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
2322anassrs 468 . . . . . 6 ((((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2) = (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
2419, 23sylan 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2) = (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
2524oveq2d 7427 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2)) = (1 + (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2))))
2614, 18, 253eqtr4rd 2783 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2)) = ((((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
27 cscval 47877 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (cscβ€˜π΄) = (1 / (sinβ€˜π΄)))
2827oveq1d 7426 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((cscβ€˜π΄)↑2) = ((1 / (sinβ€˜π΄))↑2))
29 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
30 expdiv 14081 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ ((1 / (sinβ€˜π΄))↑2) = ((1↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
3129, 20, 30mp3an13 1452 . . . . . 6 (((sinβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((1 / (sinβ€˜π΄))↑2) = ((1↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
327, 31sylan 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((1 / (sinβ€˜π΄))↑2) = ((1↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
33 sq1 14161 . . . . . 6 (1↑2) = 1
3433oveq1i 7421 . . . . 5 ((1↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)) = (1 / ((sinβ€˜π΄)↑2))
3532, 34eqtrdi 2788 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((1 / (sinβ€˜π΄))↑2) = (1 / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
3628, 35eqtrd 2772 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((cscβ€˜π΄)↑2) = (1 / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
376, 26, 363eqtr4rd 2783 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((cscβ€˜π΄)↑2) = (1 + (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2)))
383, 37eqtr4d 2775 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + ((cotβ€˜π΄)↑2)) = ((cscβ€˜π΄)↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   / cdiv 11873  2c2 12269  β„•0cn0 12474  β†‘cexp 14029  sincsin 16009  cosccos 16010  cscccsc 47871  cotccot 47872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-csc 47874  df-cot 47875
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator