Theorem cotsqcscsq 50252

Description: Prove the tangent squared cosecant squared identity (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = ((csc‘𝐴)↑2)). (Contributed by David A. Wheeler, 27-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cotsqcscsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = ((csc‘𝐴)↑2))

Proof of Theorem cotsqcscsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cotval 50239	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (cot‘𝐴) = ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴)))
2	1	oveq1d 7376	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((cot‘𝐴)↑2) = (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2))
3	2	oveq2d 7377	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)))
4		sincossq 16137	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
5	4	oveq1d 7376	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
7		sincl 16087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
8	7	sqcld 14100	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
10		sqne0 14079	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (sin‘𝐴) ≠ 0))
11	7, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (sin‘𝐴) ≠ 0))
12	11	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴)↑2) ≠ 0)
13	9, 12	dividd 11923	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) = 1)
14	13	oveq1d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))) = (1 + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))))
15		coscl 16088	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
16	15	sqcld 14100	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
18	9, 17, 9, 12	divdird 11963	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)) = ((((sin‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))))
19	15, 7	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ))
20		2nn0 12448	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21		expdiv 14069	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
22	20, 21	mp3an3 1453	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
23	22	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
24	19, 23	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
25	24	oveq2d 7377	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)) = (1 + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))))
26	14, 18, 25	3eqtr4rd 2783	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)) = ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)))
27		cscval 50238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (csc‘𝐴) = (1 / (sin‘𝐴)))
28	27	oveq1d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((csc‘𝐴)↑2) = ((1 / (sin‘𝐴))↑2))
29		ax-1cn 11090	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		expdiv 14069	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
31	29, 20, 30	mp3an13 1455	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
32	7, 31	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
33		sq1 14151	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
34	33	oveq1i 7371	. . . . 5 ⊢ ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2))
35	32, 34	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
36	28, 35	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((csc‘𝐴)↑2) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
37	6, 26, 36	3eqtr4rd 2783	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((csc‘𝐴)↑2) = (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)))
38	3, 37	eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = ((csc‘𝐴)↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   / cdiv 11801  2c2 12230  ℕ₀cn0 12431  ↑cexp 14017  sincsin 16022  cosccos 16023  cscccsc 50232  cotccot 50233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-ico 13298  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-seq 13958  df-exp 14018  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15023  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-limsup 15427  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-ef 16026  df-sin 16028  df-cos 16029  df-csc 50235  df-cot 50236

This theorem is referenced by: (None)