Theorem cotsqcscsq 50689

Description: Prove the tangent squared cosecant squared identity (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = ((csc‘𝐴)↑2)). (Contributed by David A. Wheeler, 27-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cotsqcscsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = ((csc‘𝐴)↑2))

Proof of Theorem cotsqcscsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cotval 50676	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (cot‘𝐴) = ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴)))
2	1	oveq1d 7429	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((cot‘𝐴)↑2) = (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2))
3	2	oveq2d 7430	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)))
4		sincossq 16265	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
5	4	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
7		sincl 16215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
8	7	sqcld 14209	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
10		sqne0 14188	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (sin‘𝐴) ≠ 0))
11	7, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (sin‘𝐴) ≠ 0))
12	11	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴)↑2) ≠ 0)
13	9, 12	dividd 12014	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) = 1)
14	13	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))) = (1 + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))))
15		coscl 16216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
16	15	sqcld 14209	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
18	9, 17, 9, 12	divdird 12054	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)) = ((((sin‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))))
19	15, 7	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ))
20		2nn0 12546	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21		expdiv 14178	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
22	20, 21	mp3an3 1479	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
23	22	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ ((((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
24	19, 23	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
25	24	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)) = (1 + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))))
26	14, 18, 25	3eqtr4rd 2806	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)) = ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)))
27		cscval 50675	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (csc‘𝐴) = (1 / (sin‘𝐴)))
28	27	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((csc‘𝐴)↑2) = ((1 / (sin‘𝐴))↑2))
29		ax-1cn 11183	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		expdiv 14178	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
31	29, 20, 30	mp3an13 1481	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
32	7, 31	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
33		sq1 14260	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
34	33	oveq1i 7424	. . . . 5 ⊢ ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2))
35	32, 34	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
36	28, 35	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((csc‘𝐴)↑2) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
37	6, 26, 36	3eqtr4rd 2806	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((csc‘𝐴)↑2) = (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)))
38	3, 37	eqtr4d 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = ((csc‘𝐴)↑2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   / cdiv 11896  2c2 12320  ℕ₀cn0 12529  ↑cexp 14126  sincsin 16150  cosccos 16151  cscccsc 50669  cotccot 50670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-pm 8830  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-ico 13405  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-seq 14067  df-exp 14127  df-fac 14339  df-bc 14368  df-hash 14396  df-shft 15141  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-limsup 15559  df-clim 15576  df-rlim 15577  df-sum 15775  df-ef 16154  df-sin 16156  df-cos 16157  df-csc 50672  df-cot 50673

This theorem is used by: (None)