Theorem cotsqcscsq 51066

Description: Prove the tangent squared cosecant squared identity (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = ((csc‘𝐴)↑2)). (Contributed by David A. Wheeler, 27-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cotsqcscsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = ((csc‘𝐴)↑2))

Proof of Theorem cotsqcscsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cotval 51053	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (cot‘𝐴) = ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴)))
2	1	oveq1d 7439	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((cot‘𝐴)↑2) = (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2))
3	2	oveq2d 7440	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)))
4		sincossq 16353	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
5	4	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
7		sincl 16303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
8	7	sqcld 14294	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
10		sqne0 14273	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (sin‘𝐴) ≠ 0))
11	7, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (sin‘𝐴) ≠ 0))
12	11	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴)↑2) ≠ 0)
13	9, 12	dividd 12098	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) = 1)
14	13	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))) = (1 + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))))
15		coscl 16304	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
16	15	sqcld 14294	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
18	9, 17, 9, 12	divdird 12138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)) = ((((sin‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))))
19	15, 7	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ))
20		2nn0 12630	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21		expdiv 14263	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
22	20, 21	mp3an3 1479	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
23	22	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ ((((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
24	19, 23	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
25	24	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)) = (1 + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))))
26	14, 18, 25	3eqtr4rd 2806	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)) = ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)))
27		cscval 51052	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (csc‘𝐴) = (1 / (sin‘𝐴)))
28	27	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((csc‘𝐴)↑2) = ((1 / (sin‘𝐴))↑2))
29		ax-1cn 11265	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		expdiv 14263	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
31	29, 20, 30	mp3an13 1481	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
32	7, 31	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
33		sq1 14345	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
34	33	oveq1i 7434	. . . . 5 ⊢ ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2))
35	32, 34	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
36	28, 35	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((csc‘𝐴)↑2) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
37	6, 26, 36	3eqtr4rd 2806	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((csc‘𝐴)↑2) = (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)))
38	3, 37	eqtr4d 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = ((csc‘𝐴)↑2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   / cdiv 11980  2c2 12404  ℕ₀cn0 12613  ↑cexp 14211  sincsin 16238  cosccos 16239  cscccsc 51046  cotccot 51047

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-pm 8858  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-ico 13489  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-csc 51049  df-cot 51050

This theorem is used by: (None)