Theorem cotsqcscsq 50540

Description: Prove the tangent squared cosecant squared identity (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = ((csc‘𝐴)↑2)). (Contributed by David A. Wheeler, 27-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cotsqcscsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = ((csc‘𝐴)↑2))

Proof of Theorem cotsqcscsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cotval 50527	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (cot‘𝐴) = ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴)))
2	1	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((cot‘𝐴)↑2) = (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2))
3	2	oveq2d 7426	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)))
4		sincossq 16227	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
5	4	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
6	5	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
7		sincl 16177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
8	7	sqcld 14176	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
9	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
10		sqne0 14155	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (sin‘𝐴) ≠ 0))
11	7, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (sin‘𝐴) ≠ 0))
12	11	biimpar 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴)↑2) ≠ 0)
13	9, 12	dividd 11984	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) = 1)
14	13	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))) = (1 + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))))
15		coscl 16178	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
16	15	sqcld 14176	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
17	16	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
18	9, 17, 9, 12	divdird 12024	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)) = ((((sin‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))))
19	15, 7	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ))
20		2nn0 12516	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21		expdiv 14145	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
22	20, 21	mp3an3 1479	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
23	22	anassrs 472	. . . . . 6 ⊢ ((((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
24	19, 23	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
25	24	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)) = (1 + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))))
26	14, 18, 25	3eqtr4rd 2809	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)) = ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)))
27		cscval 50526	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (csc‘𝐴) = (1 / (sin‘𝐴)))
28	27	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((csc‘𝐴)↑2) = ((1 / (sin‘𝐴))↑2))
29		ax-1cn 11153	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		expdiv 14145	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
31	29, 20, 30	mp3an13 1481	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
32	7, 31	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
33		sq1 14227	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
34	33	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2))
35	32, 34	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
36	28, 35	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((csc‘𝐴)↑2) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
37	6, 26, 36	3eqtr4rd 2809	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((csc‘𝐴)↑2) = (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)))
38	3, 37	eqtr4d 2801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = ((csc‘𝐴)↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   / cdiv 11866  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  ↑cexp 14093  sincsin 16112  cosccos 16113  cscccsc 50520  cotccot 50521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-ico 13373  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-sin 16118  df-cos 16119  df-csc 50523  df-cot 50524

This theorem is referenced by: (None)