Theorem cotsqcscsq 45965

Description: Prove the tangent squared cosecant squared identity (1 + ((cot A ) ^ 2 ) ) = ( ( csc 𝐴)↑2)). (Contributed by David A. Wheeler, 27-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cotsqcscsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = ((csc‘𝐴)↑2))

Proof of Theorem cotsqcscsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cotval 45952	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (cot‘𝐴) = ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴)))
2	1	oveq1d 7198	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((cot‘𝐴)↑2) = (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2))
3	2	oveq2d 7199	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)))
4		sincossq 15634	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
5	4	oveq1d 7198	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
6	5	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
7		sincl 15584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
8	7	sqcld 13613	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
9	8	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
10		sqne0 13594	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (sin‘𝐴) ≠ 0))
11	7, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (sin‘𝐴) ≠ 0))
12	11	biimpar 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴)↑2) ≠ 0)
13	9, 12	dividd 11505	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) = 1)
14	13	oveq1d 7198	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))) = (1 + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))))
15		coscl 15585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
16	15	sqcld 13613	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
17	16	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
18	9, 17, 9, 12	divdird 11545	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)) = ((((sin‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))))
19	15, 7	jca 515	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ))
20		2nn0 12006	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21		expdiv 13585	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
22	20, 21	mp3an3 1451	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
23	22	anassrs 471	. . . . . 6 ⊢ ((((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
24	19, 23	sylan 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2) = (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
25	24	oveq2d 7199	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)) = (1 + (((cos‘𝐴)↑2) / ((sin‘𝐴)↑2))))
26	14, 18, 25	3eqtr4rd 2785	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)) = ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) / ((sin‘𝐴)↑2)))
27		cscval 45951	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (csc‘𝐴) = (1 / (sin‘𝐴)))
28	27	oveq1d 7198	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((csc‘𝐴)↑2) = ((1 / (sin‘𝐴))↑2))
29		ax-1cn 10686	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		expdiv 13585	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
31	29, 20, 30	mp3an13 1453	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
32	7, 31	sylan 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)))
33		sq1 13663	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
34	33	oveq1i 7193	. . . . 5 ⊢ ((1↑2) / ((sin‘𝐴)↑2)) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2))
35	32, 34	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝐴))↑2) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
36	28, 35	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((csc‘𝐴)↑2) = (1 / ((sin‘𝐴)↑2)))
37	6, 26, 36	3eqtr4rd 2785	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → ((csc‘𝐴)↑2) = (1 + (((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))↑2)))
38	3, 37	eqtr4d 2777	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((cot‘𝐴)↑2)) = ((csc‘𝐴)↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935  ‘cfv 6350  (class class class)co 7183  ℂcc 10626  0cc0 10628  1c1 10629   + caddc 10631   / cdiv 11388  2c2 11784  ℕ₀cn0 11989  ↑cexp 13534  sincsin 15522  cosccos 15523  cscccsc 45945  cotccot 45946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-inf2 9190  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-pm 8453  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-rp 12486  df-ico 12840  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-fl 13266  df-seq 13474  df-exp 13535  df-fac 13739  df-bc 13768  df-hash 13796  df-shft 14529  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-limsup 14931  df-clim 14948  df-rlim 14949  df-sum 15149  df-ef 15526  df-sin 15528  df-cos 15529  df-csc 45948  df-cot 45949

This theorem is referenced by: (None)