Users' Mathboxes Mathbox for David A. Wheeler < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cotsqcscsq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cotsqcscsq 46522
Description: Prove the tangent squared cosecant squared identity (1 + ((cot A ) ^ 2 ) ) = ( ( csc 𝐴)↑2)). (Contributed by David A. Wheeler, 27-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
cotsqcscsq ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + ((cotβ€˜π΄)↑2)) = ((cscβ€˜π΄)↑2))

Proof of Theorem cotsqcscsq
StepHypRef Expression
1 cotval 46509 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (cotβ€˜π΄) = ((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄)))
21oveq1d 7322 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((cotβ€˜π΄)↑2) = (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2))
32oveq2d 7323 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + ((cotβ€˜π΄)↑2)) = (1 + (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2)))
4 sincossq 15930 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
54oveq1d 7322 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) / ((sinβ€˜π΄)↑2)) = (1 / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
65adantr 482 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) / ((sinβ€˜π΄)↑2)) = (1 / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
7 sincl 15880 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
87sqcld 13908 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
98adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
10 sqne0 13889 . . . . . . . 8 ((sinβ€˜π΄) ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) β‰  0 ↔ (sinβ€˜π΄) β‰  0))
117, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) β‰  0 ↔ (sinβ€˜π΄) β‰  0))
1211biimpar 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) β‰  0)
139, 12dividd 11795 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)) = 1)
1413oveq1d 7322 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((sinβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)) + (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2))) = (1 + (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2))))
15 coscl 15881 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
1615sqcld 13908 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
1716adantr 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
189, 17, 9, 12divdird 11835 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) / ((sinβ€˜π΄)↑2)) = ((((sinβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)) + (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2))))
1915, 7jca 513 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚))
20 2nn0 12296 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•0
21 expdiv 13880 . . . . . . . 8 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2) = (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
2220, 21mp3an3 1450 . . . . . . 7 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0)) β†’ (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2) = (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
2322anassrs 469 . . . . . 6 ((((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2) = (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
2419, 23sylan 581 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2) = (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
2524oveq2d 7323 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2)) = (1 + (((cosβ€˜π΄)↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2))))
2614, 18, 253eqtr4rd 2787 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2)) = ((((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
27 cscval 46508 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (cscβ€˜π΄) = (1 / (sinβ€˜π΄)))
2827oveq1d 7322 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((cscβ€˜π΄)↑2) = ((1 / (sinβ€˜π΄))↑2))
29 ax-1cn 10975 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
30 expdiv 13880 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ ((1 / (sinβ€˜π΄))↑2) = ((1↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
3129, 20, 30mp3an13 1452 . . . . . 6 (((sinβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((1 / (sinβ€˜π΄))↑2) = ((1↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
327, 31sylan 581 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((1 / (sinβ€˜π΄))↑2) = ((1↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
33 sq1 13958 . . . . . 6 (1↑2) = 1
3433oveq1i 7317 . . . . 5 ((1↑2) / ((sinβ€˜π΄)↑2)) = (1 / ((sinβ€˜π΄)↑2))
3532, 34eqtrdi 2792 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((1 / (sinβ€˜π΄))↑2) = (1 / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
3628, 35eqtrd 2776 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((cscβ€˜π΄)↑2) = (1 / ((sinβ€˜π΄)↑2)))
376, 26, 363eqtr4rd 2787 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((cscβ€˜π΄)↑2) = (1 + (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄))↑2)))
383, 37eqtr4d 2779 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + ((cotβ€˜π΄)↑2)) = ((cscβ€˜π΄)↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  β„‚cc 10915  0cc0 10917  1c1 10918   + caddc 10920   / cdiv 11678  2c2 12074  β„•0cn0 12279  β†‘cexp 13828  sincsin 15818  cosccos 15819  cscccsc 46502  cotccot 46503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-pm 8649  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-inf 9246  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-rp 12777  df-ico 13131  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-fl 13558  df-seq 13768  df-exp 13829  df-fac 14034  df-bc 14063  df-hash 14091  df-shft 14823  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-limsup 15225  df-clim 15242  df-rlim 15243  df-sum 15443  df-ef 15822  df-sin 15824  df-cos 15825  df-csc 46505  df-cot 46506
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator