Theorem expeqidd 42320

Description: A nonnegative real number is zero or one if and only if it is itself when raised to an integer greater than one. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expeqidd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expeqidd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
expeqidd.0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
expeqidd	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Proof of Theorem expeqidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2927	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		expeqidd.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
6		expeqidd.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
7		eluz2nn 12854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	4, 5, 10	expm1d 14128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) = ((𝐴↑𝑁) / 𝐴))
12		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴↑𝑁) = 𝐴)
13	12	oveq1d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → ((𝐴↑𝑁) / 𝐴) = (𝐴 / 𝐴))
14	4, 5	dividd 11963	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
15	11, 13, 14	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1)
16	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		uz2m1nn 12889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
18	6, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
20		expeqidd.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐴)
22	16, 19, 21	expeq1d 42319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1 ↔ 𝐴 = 1))
23	22	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1) → 𝐴 = 1)
24	15, 23	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝐴 = 1)
25	24	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 = 1)
26	25	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐴 = 1))
27	1, 26	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐴 = 1))
28	27	orrd 863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
29	28	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
30	8	0expd 14111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
31		oveq1 7397	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
32		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
33	31, 32	eqeq12d 2746	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (0↑𝑁) = 0))
34	30, 33	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = 𝐴))
35		1exp 14063	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
36	9, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
37		oveq1 7397	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁))
38		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 = 1)
39	37, 38	eqeq12d 2746	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (1↑𝑁) = 1))
40	36, 39	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = 𝐴))
41	34, 40	jaod 859	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1) → (𝐴↑𝑁) = 𝐴))
42	29, 41	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by: (None)