Theorem expeqidd 43476

Description: A nonnegative real number is zero or one if and only if it is itself when raised to an integer greater than one. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expeqidd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expeqidd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
expeqidd.0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
expeqidd	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Proof of Theorem expeqidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2956	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		expeqidd.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
6		expeqidd.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
7		eluz2nn 13019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	4, 5, 10	expm1d 14303	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) = ((𝐴↑𝑁) / 𝐴))
12		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴↑𝑁) = 𝐴)
13	12	oveq1d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → ((𝐴↑𝑁) / 𝐴) = (𝐴 / 𝐴))
14	4, 5	dividd 12095	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
15	11, 13, 14	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1)
16	2	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		uz2m1nn 13054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
18	6, 17	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
20		expeqidd.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐴)
22	16, 19, 21	expeq1d 43475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1 ↔ 𝐴 = 1))
23	22	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1) → 𝐴 = 1)
24	15, 23	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝐴 = 1)
25	24	an32s 665	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 = 1)
26	25	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐴 = 1))
27	1, 26	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐴 = 1))
28	27	orrd 877	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
29	28	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
30	8	0expd 14286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
31		oveq1 7428	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
32		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
33	31, 32	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (0↑𝑁) = 0))
34	30, 33	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = 𝐴))
35		1exp 14238	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
36	9, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
37		oveq1 7428	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁))
38		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 = 1)
39	37, 38	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (1↑𝑁) = 1))
40	36, 39	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = 𝐴))
41	34, 40	jaod 873	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1) → (𝐴↑𝑁) = 𝐴))
42	29, 41	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   ≤ cle 11348   − cmin 11545   / cdiv 11977  ℕcn 12339  2c2 12401  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969  ↑cexp 14208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-seq 14149  df-exp 14209

This theorem is used by: (None)