Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expeqidd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expeqidd 42360
Description: A nonnegative real number is zero or one if and only if it is itself when raised to an integer greater than one. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
expeqidd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
expeqidd.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
expeqidd.0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
expeqidd (𝜑 → ((𝐴𝑁) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Proof of Theorem expeqidd
StepHypRef Expression
1 df-ne 2941 . . . . 5 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2 expeqidd.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
43ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑁) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑁) = 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
6 expeqidd.n . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
7 eluz2nn 12924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
98nnzd 12640 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
109ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑁) = 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
114, 5, 10expm1d 14196 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑁) = 𝐴) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) = ((𝐴𝑁) / 𝐴))
12 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑁) = 𝐴) → (𝐴𝑁) = 𝐴)
1312oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑁) = 𝐴) → ((𝐴𝑁) / 𝐴) = (𝐴 / 𝐴))
144, 5dividd 12041 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑁) = 𝐴) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
1511, 13, 143eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑁) = 𝐴) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1)
162adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 uz2m1nn 12965 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
186, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
1918adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
20 expeqidd.0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
2120adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐴)
2216, 19, 21expeq1d 42359 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1 ↔ 𝐴 = 1))
2322biimpa 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1) → 𝐴 = 1)
2415, 23syldan 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑁) = 𝐴) → 𝐴 = 1)
2524an32s 652 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 = 1)
2625ex 412 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐴 = 1))
271, 26biimtrrid 243 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐴) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐴 = 1))
2827orrd 864 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
2928ex 412 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑁) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
3080expd 14179 . . . 4 (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
31 oveq1 7438 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑁) = (0↑𝑁))
32 id 22 . . . . 5 (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
3331, 32eqeq12d 2753 . . . 4 (𝐴 = 0 → ((𝐴𝑁) = 𝐴 ↔ (0↑𝑁) = 0))
3430, 33syl5ibrcom 247 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑁) = 𝐴))
35 1exp 14132 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
369, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
37 oveq1 7438 . . . . 5 (𝐴 = 1 → (𝐴𝑁) = (1↑𝑁))
38 id 22 . . . . 5 (𝐴 = 1 → 𝐴 = 1)
3937, 38eqeq12d 2753 . . . 4 (𝐴 = 1 → ((𝐴𝑁) = 𝐴 ↔ (1↑𝑁) = 1))
4036, 39syl5ibrcom 247 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 1 → (𝐴𝑁) = 𝐴))
4134, 40jaod 860 . 2 (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1) → (𝐴𝑁) = 𝐴))
4229, 41impbid 212 1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  cz 12613  cuz 12878  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator