Theorem expeqidd 42341

Description: A nonnegative real number is zero or one if and only if it is itself when raised to an integer greater than one. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expeqidd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expeqidd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
expeqidd.0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
expeqidd	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Proof of Theorem expeqidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2934	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		expeqidd.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
6		expeqidd.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
7		eluz2nn 12903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	4, 5, 10	expm1d 14179	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) = ((𝐴↑𝑁) / 𝐴))
12		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴↑𝑁) = 𝐴)
13	12	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → ((𝐴↑𝑁) / 𝐴) = (𝐴 / 𝐴))
14	4, 5	dividd 12020	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
15	11, 13, 14	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1)
16	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		uz2m1nn 12944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
18	6, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
20		expeqidd.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐴)
22	16, 19, 21	expeq1d 42340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1 ↔ 𝐴 = 1))
23	22	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1) → 𝐴 = 1)
24	15, 23	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝐴 = 1)
25	24	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 = 1)
26	25	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐴 = 1))
27	1, 26	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐴 = 1))
28	27	orrd 863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
29	28	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
30	8	0expd 14162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
31		oveq1 7417	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
32		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
33	31, 32	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (0↑𝑁) = 0))
34	30, 33	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = 𝐴))
35		1exp 14114	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
36	9, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
37		oveq1 7417	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁))
38		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 = 1)
39	37, 38	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (1↑𝑁) = 1))
40	36, 39	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = 𝐴))
41	34, 40	jaod 859	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1) → (𝐴↑𝑁) = 𝐴))
42	29, 41	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   ≤ cle 11275   − cmin 11471   / cdiv 11899  ℕcn 12245  2c2 12300  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by: (None)