Theorem expeqidd 43064

Description: A nonnegative real number is zero or one if and only if it is itself when raised to an integer greater than one. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expeqidd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expeqidd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
expeqidd.0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
expeqidd	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Proof of Theorem expeqidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2959	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		expeqidd.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
6		expeqidd.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
7		eluz2nn 12913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	4, 5, 10	expm1d 14194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) = ((𝐴↑𝑁) / 𝐴))
12		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴↑𝑁) = 𝐴)
13	12	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → ((𝐴↑𝑁) / 𝐴) = (𝐴 / 𝐴))
14	4, 5	dividd 11990	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
15	11, 13, 14	3eqtrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1)
16	2	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		uz2m1nn 12948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
18	6, 17	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
19	18	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
20		expeqidd.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
21	20	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐴)
22	16, 19, 21	expeq1d 43063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1 ↔ 𝐴 = 1))
23	22	biimpa 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1) → 𝐴 = 1)
24	15, 23	syldan 602	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝐴 = 1)
25	24	an32s 664	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 = 1)
26	25	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐴 = 1))
27	1, 26	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐴 = 1))
28	27	orrd 876	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
29	28	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
30	8	0expd 14177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
31		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
32		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
33	31, 32	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (0↑𝑁) = 0))
34	30, 33	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = 𝐴))
35		1exp 14129	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
36	9, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
37		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁))
38		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 = 1)
39	37, 38	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (1↑𝑁) = 1))
40	36, 39	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = 𝐴))
41	34, 40	jaod 872	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1) → (𝐴↑𝑁) = 𝐴))
42	29, 41	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   ≤ cle 11245   − cmin 11442   / cdiv 11872  ℕcn 12234  2c2 12296  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by: (None)