Theorem expeqidd 42360

Description: A nonnegative real number is zero or one if and only if it is itself when raised to an integer greater than one. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expeqidd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expeqidd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
expeqidd.0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
expeqidd	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Proof of Theorem expeqidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2941	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		expeqidd.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
6		expeqidd.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
7		eluz2nn 12924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	4, 5, 10	expm1d 14196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) = ((𝐴↑𝑁) / 𝐴))
12		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴↑𝑁) = 𝐴)
13	12	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → ((𝐴↑𝑁) / 𝐴) = (𝐴 / 𝐴))
14	4, 5	dividd 12041	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
15	11, 13, 14	3eqtrd 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1)
16	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		uz2m1nn 12965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
18	6, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
20		expeqidd.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐴)
22	16, 19, 21	expeq1d 42359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1 ↔ 𝐴 = 1))
23	22	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑(𝑁 − 1)) = 1) → 𝐴 = 1)
24	15, 23	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → 𝐴 = 1)
25	24	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 = 1)
26	25	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐴 = 1))
27	1, 26	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐴 = 1))
28	27	orrd 864	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
29	28	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
30	8	0expd 14179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
31		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
32		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
33	31, 32	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (0↑𝑁) = 0))
34	30, 33	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = 𝐴))
35		1exp 14132	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
36	9, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
37		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁))
38		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 = 1)
39	37, 38	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (1↑𝑁) = 1))
40	36, 39	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = 𝐴))
41	34, 40	jaod 860	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1) → (𝐴↑𝑁) = 𝐴))
42	29, 41	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by: (None)