MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uz2m1nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uz2m1nn 11978
Description: One less than an integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
uz2m1nn (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem uz2m1nn
StepHypRef Expression
1 eluz2b1 11974 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
2 1z 11669 . . . 4 1 ∈ ℤ
3 znnsub 11685 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
42, 3mpan 673 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
54biimpa 464 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
61, 5sylbi 208 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wcel 2158   class class class wbr 4840  cfv 6098  (class class class)co 6871  1c1 10219   < clt 10356  cmin 10548  cn 11302  2c2 11352  cz 11639  cuz 11900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-om 7293  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-er 7976  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-nn 11303  df-2 11360  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901
This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nnALT  11997  bernneq3  13211  swrdtrcfv0  13662  climcndslem1  14799  exprmfct  15629  oddprm  15728  pockthg  15823  vdwlem5  15902  vdwlem8  15905  efgs1b  18346  efgredlema  18350  wilthlem3  25006  ppiprm  25087  ppinprm  25088  chtprm  25089  chtnprm  25090  lgsval2lem  25242  lgsqrlem2  25282  lgseisenlem1  25310  lgseisenlem3  25312  lgsquadlem3  25317  rplogsumlem1  25383  rplogsumlem2  25384  rpvmasumlem  25386  clwwisshclwwslemlem  27152  umgr2cwwk2dif  27211  psgnfzto1stlem  30172  ballotlemic  30890  ballotlem1c  30891  signstfveq0  30976  jm3.1lem1  38082  jm3.1lem2  38083  trclfvdecomr  38517  itgsinexp  40647  stirlinglem12  40778  fourierdlem54  40853  fourierdlem102  40901  fourierdlem114  40913  pfxtrcfv0  41974  blennngt2o2  42951
  Copyright terms: Public domain W3C validator