Theorem uz2m1nn 12840

Description: One less than an integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
uz2m1nn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem uz2m1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b1 12836	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
2		1z 12525	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		znnsub 12541	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
4	2, 3	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
5	4	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
6	1, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  1c1 11031   < clt 11170   − cmin 11368  ℕcn 12149  2c2 12204  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nnALT  12859  bernneq3  14158  pfxtrcfv0  14621  climcndslem1  15776  exprmfct  16635  oddprm  16742  pockthg  16838  vdwlem5  16917  vdwlem8  16920  efgs1b  19669  efgredlema  19673  wilthlem3  27040  ppiprm  27121  ppinprm  27122  chtprm  27123  chtnprm  27124  lgsval2lem  27278  lgsqrlem2  27318  lgseisenlem1  27346  lgseisenlem3  27348  lgsquadlem3  27353  rplogsumlem1  27455  rplogsumlem2  27456  rpvmasumlem  27458  clwwisshclwwslemlem  30092  umgr2cwwk2dif  30143  psgnfzto1stlem  33184  ballotlemic  34666  ballotlem1c  34667  signstfveq0  34736  expeqidd  42647  fltnltalem  42972  fltnlta  42973  jm3.1lem1  43326  jm3.1lem2  43327  trclfvdecomr  44036  itgsinexp  46266  stirlinglem12  46396  fourierdlem54  46471  fourierdlem102  46519  fourierdlem114  46531  blennngt2o2  48905