Theorem uz2m1nn 12931

Description: One less than an integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
uz2m1nn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem uz2m1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b1 12927	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
2		1z 12614	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		znnsub 12630	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
4	2, 3	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
5	4	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
6	1, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5116  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  1c1 11122   < clt 11261   − cmin 11458  ℕcn 12232  2c2 12287  ℤcz 12580  ℤ_≥cuz 12844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nnALT  12950  bernneq3  14237  pfxtrcfv0  14699  climcndslem1  15852  exprmfct  16708  oddprm  16815  pockthg  16911  vdwlem5  16990  vdwlem8  16993  efgs1b  19702  efgredlema  19706  wilthlem3  27016  ppiprm  27097  ppinprm  27098  chtprm  27099  chtnprm  27100  lgsval2lem  27254  lgsqrlem2  27294  lgseisenlem1  27322  lgseisenlem3  27324  lgsquadlem3  27329  rplogsumlem1  27431  rplogsumlem2  27432  rpvmasumlem  27434  clwwisshclwwslemlem  29926  umgr2cwwk2dif  29977  psgnfzto1stlem  33029  ballotlemic  34447  ballotlem1c  34448  signstfveq0  34530  expeqidd  42298  fltnltalem  42610  fltnlta  42611  jm3.1lem1  42966  jm3.1lem2  42967  trclfvdecomr  43677  itgsinexp  45914  stirlinglem12  46044  fourierdlem54  46119  fourierdlem102  46167  fourierdlem114  46179  blennngt2o2  48458