Theorem fisdomnn 42735

Description: A finite set is dominated by the set of natural numbers. (Contributed by SN, 6-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fisdomnn	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≺ ℕ)

Proof of Theorem fisdomnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		canth2g 9066	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
2		pwfi 9226	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
3		fzfi 13932	. . . . 5 ⊢ (1...(♯‘𝒫 𝐴)) ∈ Fin
4		nnex 12178	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
5		fz1ssnn 13507	. . . . 5 ⊢ (1...(♯‘𝒫 𝐴)) ⊆ ℕ
6		ssdomfi2 9128	. . . . 5 ⊢ (((1...(♯‘𝒫 𝐴)) ∈ Fin ∧ ℕ ∈ V ∧ (1...(♯‘𝒫 𝐴)) ⊆ ℕ) → (1...(♯‘𝒫 𝐴)) ≼ ℕ)
7	3, 4, 5, 6	mp3an 1469	. . . 4 ⊢ (1...(♯‘𝒫 𝐴)) ≼ ℕ
8		isfinite4 14322	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝒫 𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴)
9		domen1 9054	. . . . 5 ⊢ ((1...(♯‘𝒫 𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴 → ((1...(♯‘𝒫 𝐴)) ≼ ℕ ↔ 𝒫 𝐴 ≼ ℕ))
10	8, 9	sylbi 218	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → ((1...(♯‘𝒫 𝐴)) ≼ ℕ ↔ 𝒫 𝐴 ≼ ℕ))
11	7, 10	mpbii 234	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ≼ ℕ)
12	2, 11	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ≼ ℕ)
13		sdomdomtrfi 9132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ ℕ) → 𝐴 ≺ ℕ)
14	1, 12, 13	mpd3an23 1471	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≺ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4536   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ≈ cen 8887   ≼ cdom 8888   ≺ csdm 8889  Fincfn 8890  1c1 11037  ℕcn 12172  ...cfz 13459  ♯chash 14290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-hash 14291

This theorem is referenced by:  fimgmcyc  43027