Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoprmfac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoprmfac1 47489
Description: Divisor of Fermat number (special form of Euler's result, see fmtnofac1 47494): Let Fn be a Fermat number. Let p be a prime divisor of Fn. Then p is in the form: k*2^(n+1)+1 where k is a positive integer. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘

Proof of Theorem fmtnoprmfac1
StepHypRef Expression
1 breq1 5150 . . . . . . 7 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
3 nnnn0 12530 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 fmtnoodd 47457 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
65adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
76pm2.21d 121 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
82, 7sylbid 240 . . . . 5 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
98a1d 25 . . . 4 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
109ex 412 . . 3 (𝑃 = 2 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))))
11103impd 1347 . 2 (𝑃 = 2 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
12 simpr1 1193 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
13 neqne 2945 . . . . . . . . . 10 𝑃 = 2 → 𝑃 ≠ 2)
1413anim2i 617 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
15 eldifsn 4790 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
1614, 15sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
1716ex 412 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})))
18173ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})))
1918impcom 407 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
20 simpr3 1195 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))
21 fmtnoprmfac1lem 47488 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
2212, 19, 20, 21syl3anc 1370 . . . 4 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
23 prmnn 16707 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2423ad2antll 729 . . . . . . 7 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → 𝑃 ∈ ℕ)
25 2z 12646 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
2625a1i 11 . . . . . . 7 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → 2 ∈ ℤ)
2713necomd 2993 . . . . . . . . 9 𝑃 = 2 → 2 ≠ 𝑃)
2827adantr 480 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → 2 ≠ 𝑃)
29 2prm 16725 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℙ
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℙ)
3130anim1i 615 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ))
3231adantl 481 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → (2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ))
33 prmrp 16745 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
3528, 34mpbird 257 . . . . . . 7 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → (2 gcd 𝑃) = 1)
36 odzphi 16829 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) → ((od𝑃)‘2) ∥ (ϕ‘𝑃))
3724, 26, 35, 36syl3anc 1370 . . . . . 6 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → ((od𝑃)‘2) ∥ (ϕ‘𝑃))
38 phiprm 16810 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
3938ad2antll 729 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
4039breq2d 5159 . . . . . . 7 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → (((od𝑃)‘2) ∥ (ϕ‘𝑃) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (𝑃 − 1)))
41 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)) → (((od𝑃)‘2) ∥ (𝑃 − 1) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ∥ (𝑃 − 1)))
4241adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → (((od𝑃)‘2) ∥ (𝑃 − 1) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ∥ (𝑃 − 1)))
43 2nn 12336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
45 peano2nn 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4645nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4744, 46nnexpcld 14280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
4823nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
49 prmuz2 16729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
50 eluzle 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑃)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑃)
52 nn0ge2m1nn 12593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑃) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
5348, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
5447, 53anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℕ))
5554adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℕ))
56 nndivides 16296 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ (𝑃 − 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑃 − 1)))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ (𝑃 − 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑃 − 1)))
58 eqcom 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑃 − 1) ↔ (𝑃 − 1) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))))
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑃 − 1) ↔ (𝑃 − 1) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1)))))
6023nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
63 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
64 nncn 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
6564adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
66 peano2nn0 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
673, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
6844, 67nnexpcld 14280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
6968nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
7265, 71mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
7362, 63, 72subadd2d 11636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ↔ ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = 𝑃))
7473adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ↔ ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = 𝑃))
75 eqcom 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = 𝑃𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = 𝑃𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
7759, 74, 763bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑃 − 1) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
7877rexbidva 3174 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑃 − 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
7978biimpd 229 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑃 − 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
8057, 79sylbid 240 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ (𝑃 − 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
8180adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ (𝑃 − 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
8242, 81sylbid 240 . . . . . . . . 9 (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → (((od𝑃)‘2) ∥ (𝑃 − 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
8382ex 412 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → (((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)) → (((od𝑃)‘2) ∥ (𝑃 − 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
8483com23 86 . . . . . . 7 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → (((od𝑃)‘2) ∥ (𝑃 − 1) → (((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
8540, 84sylbid 240 . . . . . 6 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → (((od𝑃)‘2) ∥ (ϕ‘𝑃) → (((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
8637, 85mpd 15 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ)) → (((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
87863adantr3 1170 . . . 4 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
8822, 87mpd 15 . . 3 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
8988ex 412 . 2 𝑃 = 2 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
9011, 89pm2.61i 182 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  cdif 3959  {csn 4630   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cle 11293  cmin 11489  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  cexp 14098  cdvds 16286   gcd cgcd 16527  cprime 16704  odcodz 16796  ϕcphi 16797  FermatNocfmtno 47451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-odz 16798  df-phi 16799  df-pc 16870  df-fmtno 47452
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2lem1  47490
  Copyright terms: Public domain W3C validator