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Theorem fmtnoprmfac1 46531
Description: Divisor of Fermat number (special form of Euler's result, see fmtnofac1 46536): Let Fn be a Fermat number. Let p be a prime divisor of Fn. Then p is in the form: k*2^(n+1)+1 where k is a positive integer. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁   𝑃,π‘˜

Proof of Theorem fmtnoprmfac1
StepHypRef Expression
1 breq1 5150 . . . . . . 7 (𝑃 = 2 β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
21adantr 479 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
3 nnnn0 12483 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 fmtnoodd 46499 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
65adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
76pm2.21d 121 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
82, 7sylbid 239 . . . . 5 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
98a1d 25 . . . 4 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
109ex 411 . . 3 (𝑃 = 2 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))))
11103impd 1346 . 2 (𝑃 = 2 β†’ ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
12 simpr1 1192 . . . . 5 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
13 neqne 2946 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ 𝑃 β‰  2)
1413anim2i 615 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 β‰  2))
15 eldifsn 4789 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ↔ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 β‰  2))
1614, 15sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
1716ex 411 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})))
18173ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})))
1918impcom 406 . . . . 5 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
20 simpr3 1194 . . . . 5 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
21 fmtnoprmfac1lem 46530 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))
2212, 19, 20, 21syl3anc 1369 . . . 4 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))
23 prmnn 16615 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
2423ad2antll 725 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
25 2z 12598 . . . . . . . 8 2 ∈ β„€
2625a1i 11 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ 2 ∈ β„€)
2713necomd 2994 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ 2 β‰  𝑃)
2827adantr 479 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ 2 β‰  𝑃)
29 2prm 16633 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„™
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„™)
3130anim1i 613 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ (2 ∈ β„™ ∧ 𝑃 ∈ β„™))
3231adantl 480 . . . . . . . . 9 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ (2 ∈ β„™ ∧ 𝑃 ∈ β„™))
33 prmrp 16653 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„™ ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 β‰  𝑃))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 β‰  𝑃))
3528, 34mpbird 256 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ (2 gcd 𝑃) = 1)
36 odzphi 16733 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„€ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ (Ο•β€˜π‘ƒ))
3724, 26, 35, 36syl3anc 1369 . . . . . 6 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ (Ο•β€˜π‘ƒ))
38 phiprm 16714 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (Ο•β€˜π‘ƒ) = (𝑃 βˆ’ 1))
3938ad2antll 725 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ (Ο•β€˜π‘ƒ) = (𝑃 βˆ’ 1))
4039breq2d 5159 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ (Ο•β€˜π‘ƒ) ↔ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ (𝑃 βˆ’ 1)))
41 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ (𝑃 βˆ’ 1) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ (𝑃 βˆ’ 1)))
4241adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) ∧ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1))) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ (𝑃 βˆ’ 1) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ (𝑃 βˆ’ 1)))
43 2nn 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„•
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•)
45 peano2nn 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
4645nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
4744, 46nnexpcld 14212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•)
4823nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
49 prmuz2 16637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
50 eluzle 12839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ≀ 𝑃)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 2 ≀ 𝑃)
52 nn0ge2m1nn 12545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ β„•0 ∧ 2 ≀ 𝑃) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•)
5348, 51, 52syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•)
5447, 53anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„• ∧ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•))
5554adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„• ∧ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•))
56 nndivides 16211 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„• ∧ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ (𝑃 βˆ’ 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑃 βˆ’ 1)))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ (𝑃 βˆ’ 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑃 βˆ’ 1)))
58 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑃 βˆ’ 1) ↔ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))))
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑃 βˆ’ 1) ↔ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1)))))
6023nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
6160adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
6261adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
63 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
64 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
6564adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
66 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
673, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
6844, 67nnexpcld 14212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•)
6968nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
7069adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
7170adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
7265, 71mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) ∈ β„‚)
7362, 63, 72subadd2d 11594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) ↔ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = 𝑃))
7473adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) ↔ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = 𝑃))
75 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = 𝑃 ↔ 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = 𝑃 ↔ 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
7759, 74, 763bitrd 304 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑃 βˆ’ 1) ↔ 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
7877rexbidva 3174 . . . . . . . . . . . . 13 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑃 βˆ’ 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
7978biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑃 βˆ’ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
8057, 79sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ (𝑃 βˆ’ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
8180adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) ∧ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1))) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ (𝑃 βˆ’ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
8242, 81sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) ∧ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1))) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ (𝑃 βˆ’ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
8382ex 411 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ (𝑃 βˆ’ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
8483com23 86 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ (𝑃 βˆ’ 1) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
8540, 84sylbid 239 . . . . . 6 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ (Ο•β€˜π‘ƒ) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
8637, 85mpd 15 . . . . 5 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™)) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
87863adantr3 1169 . . . 4 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
8822, 87mpd 15 . . 3 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
8988ex 411 . 2 (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
9011, 89pm2.61i 182 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068   βˆ– cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β†‘cexp 14031   βˆ₯ cdvds 16201   gcd cgcd 16439  β„™cprime 16612  odβ„€codz 16700  Ο•cphi 16701  FermatNocfmtno 46493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-odz 16702  df-phi 16703  df-pc 16774  df-fmtno 46494
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2lem1  46532
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