Theorem expm1t 13995

Description: Exponentiation in terms of predecessor exponent. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expm1t	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴))

Proof of Theorem expm1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12160	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		ax-1cn 11108	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		npcan 11409	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5	4	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐴↑𝑁))
6	5	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐴↑𝑁))
7		nnm1nn0 12453	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
8		expp1 13973	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴))
9	7, 8	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴))
10	6, 9	eqtr3d 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7356  ℂcc 11048  1c1 11051   + caddc 11053   · cmul 11055   − cmin 11384  ℕcn 12152  ℕ₀cn0 12412  ↑cexp 13966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-seq 13906  df-exp 13967

This theorem is referenced by:  expgt1  14005  digit1  14139  faclbnd4lem1  14192  binomlem  15713  incexc  15721  iddvdsexp  16161  bitsfzolem  16313  phiprmpw  16647  fermltl  16655  prmpwdvds  16775  dvexp  25315  abelthlem6  25793  ftalem1  26420  perfect1  26574  perfect  26577  knoppndvlem2  34967  fltnltalem  40978  jm2.18  41290  jm2.22  41297  itgsinexp  44168  fmtnoodd  45697  perfectALTV  45887  fpprwppr  45903  fpprwpprb  45904