Theorem fourierdlem8 45426

Description: A partition interval is a subset of the partitioned interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem8.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
fourierdlem8.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
fourierdlem8.q	⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem8.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem8	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem fourierdlem8

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem8.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		fourierdlem8.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		fourierdlem8.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
7		fourierdlem8.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
10	2, 4, 6, 8, 9	fourierdlem1 45419	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
11	10	ralrimiva 3141	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12		dfss3 3966	. 2 ⊢ (((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
13	11, 12	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056   ⊆ wss 3944  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133  ℝ^*cxr 11269  [,]cicc 13351  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652

This theorem is referenced by:  fourierdlem38  45456  fourierdlem63  45480  fourierdlem69  45486  fourierdlem70  45487  fourierdlem73  45490  fourierdlem74  45491  fourierdlem75  45492  fourierdlem81  45498  fourierdlem84  45501  fourierdlem85  45502  fourierdlem88  45505  fourierdlem100  45517  fourierdlem101  45518  fourierdlem103  45520  fourierdlem104  45521  fourierdlem107  45524  fourierdlem111  45528  fourierdlem112  45529