Theorem fpprel 48919

Description: A Fermat pseudoprime to the base 𝑁. (Contributed by AV, 30-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprel	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))

Proof of Theorem fpprel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpprmod 48918	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( FPPr ‘𝑁) = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)})
2	1	eleq2d 2846	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)}))
3		neleq1 3067	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∉ ℙ ↔ 𝑋 ∉ ℙ))
4		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
5	4	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑁↑(𝑥 − 1)) = (𝑁↑(𝑋 − 1)))
6		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
7	5, 6	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋))
8	7	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1 ↔ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1))
9	3, 8	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1) ↔ (𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
10	9	elrab 3644	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)} ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
11	2, 10	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1))))
12		3anass 1111	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
13	11, 12	bitr4di 292	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061  {crab 3412  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11204   − cmin 11544  ℕcn 12338  4c4 12402  ℤ_≥cuz 12968   mod cmo 14012  ↑cexp 14207  ℙcprime 16851   FPPr cfppr 48915

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-dvds 16428  df-fppr 48916

This theorem is used by:  fpprnn  48921  fppr2odd  48922  341fppr2  48925  4fppr1  48926  9fppr8  48928  fpprwppr  48930  fpprwpprb  48931  fpprel2  48932