Theorem fpprel 49031

Description: A Fermat pseudoprime to the base 𝑁. (Contributed by AV, 30-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprel	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))

Proof of Theorem fpprel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpprmod 49030	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( FPPr ‘𝑁) = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)})
2	1	eleq2d 2850	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)}))
3		neleq1 3071	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∉ ℙ ↔ 𝑋 ∉ ℙ))
4		oveq1 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
5	4	oveq2d 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑁↑(𝑥 − 1)) = (𝑁↑(𝑋 − 1)))
6		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
7	5, 6	oveq12d 7461	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋))
8	7	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1 ↔ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1))
9	3, 8	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1) ↔ (𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
10	9	elrab 3648	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)} ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
11	2, 10	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1))))
12		3anass 1111	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
13	11, 12	bitr4di 292	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065  {crab 3416  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1c1 11228   − cmin 11568  ℕcn 12362  4c4 12426  ℤ_≥cuz 12992   mod cmo 14036  ↑cexp 14231  ℙcprime 16875   FPPr cfppr 49027

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-dvds 16452  df-fppr 49028

This theorem is used by:  fpprnn  49033  fppr2odd  49034  341fppr2  49037  4fppr1  49038  9fppr8  49040  fpprwppr  49042  fpprwpprb  49043  fpprel2  49044