Theorem frgrncvvdeqlem10 30255

Description: Lemma 10 for frgrncvvdeq 30256. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrncvvdeq.v1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrncvvdeq.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
frgrncvvdeq.nx	⊢ 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
frgrncvvdeq.ny	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
frgrncvvdeq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
frgrncvvdeq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
frgrncvvdeq.ne	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
frgrncvvdeq.xy	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∉ 𝐷)
frgrncvvdeq.f	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ FriendGraph )
frgrncvvdeq.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
frgrncvvdeqlem10	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐷–1-1-onto→𝑁)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦,𝑌   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑦,𝐷   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem frgrncvvdeqlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrncvvdeq.v1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrncvvdeq.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3		frgrncvvdeq.nx	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
4		frgrncvvdeq.ny	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
5		frgrncvvdeq.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		frgrncvvdeq.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7		frgrncvvdeq.ne	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
8		frgrncvvdeq.xy	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∉ 𝐷)
9		frgrncvvdeq.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ FriendGraph )
10		frgrncvvdeq.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	frgrncvvdeqlem8 30253	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐷–1-1→𝑁)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	frgrncvvdeqlem9 30254	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐷–onto→𝑁)
13		df-f1o 6548	. 2 ⊢ (𝐴:𝐷–1-1-onto→𝑁 ↔ (𝐴:𝐷–1-1→𝑁 ∧ 𝐴:𝐷–onto→𝑁))
14	11, 12, 13	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐷–1-1-onto→𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ∉ wnel 3035  {cpr 4608   ↦ cmpt 5205  –1-1→wf1 6538  –onto→wfo 6539  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  ℩crio 7369  (class class class)co 7413  Vtxcvtx 28941  Edgcedg 28992   NeighbVtx cnbgr 29277   FriendGraph cfrgr 30205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-dju 9923  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12510  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-hash 14352  df-edg 28993  df-upgr 29027  df-umgr 29028  df-usgr 29096  df-nbgr 29278  df-frgr 30206

This theorem is referenced by:  frgrncvvdeq  30256