Theorem ssinc 43761

Description: Inclusion relation for a monotonic sequence of sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssinc.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
ssinc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
ssinc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁   𝜑,𝑚

Proof of Theorem ssinc

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssinc.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 12823	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eluzelz 12828	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 512	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		eluzle 12831	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
9	5	zred 12662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	leidd 11776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑁)
11	5, 8, 10	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁))
12	6, 11	jca 512	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
13		id 22	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
14		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑀))
15	14	sseq2d 4013	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
17		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
18	17	sseq2d 4013	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)))
19	18	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))))
20		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
21	20	sseq2d 4013	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1))))
22	21	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
23		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))
24	23	sseq2d 4013	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁)))
25	24	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁))))
26		ssidd 4004	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀))
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
28		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
29		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)))
30		pm3.35 801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))
31	28, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))
32	31	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))
33		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
34		simplll 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ ℤ)
35		simplr1 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℤ)
36		simplr2 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ≤ 𝑚)
37	34, 35, 36	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚))
38		eluz2 12824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚))
39	37, 38	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40		simpllr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ ℤ)
41		simplr3 1217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 < 𝑁)
42	39, 40, 41	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
43		elfzo2 13631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
44	42, 43	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
45		ssinc.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
46	33, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
47	46	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
48	32, 47	sstrd 3991	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
49	48	3exp 1119	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
50	16, 19, 22, 25, 27, 49	fzind 12656	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁)))
51	12, 13, 50	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  ..^cfzo 13623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624

This theorem is referenced by:  iunincfi  43768  meaiuninc3v  45186