Theorem ssinc 45535

Description: Inclusion relation for a monotonic sequence of sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssinc.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
ssinc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
ssinc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁   𝜑,𝑚

Proof of Theorem ssinc

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssinc.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 12784	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eluzelz 12789	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		eluzle 12792	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
9	5	zred 12624	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	leidd 11707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑁)
11	5, 8, 10	3jca 1129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁))
12	6, 11	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
13		id 22	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
14		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑀))
15	14	sseq2d 3955	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
17		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
18	17	sseq2d 3955	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)))
19	18	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))))
20		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
21	20	sseq2d 3955	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1))))
22	21	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
23		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))
24	23	sseq2d 3955	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁)))
25	24	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁))))
26		ssidd 3946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀))
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
28		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
29		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)))
30		pm3.35 803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))
31	28, 29, 30	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))
32	31	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))
33		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
34		simplll 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ ℤ)
35		simplr1 1217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℤ)
36		simplr2 1218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ≤ 𝑚)
37	34, 35, 36	3jca 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚))
38		eluz2 12785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚))
39	37, 38	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ ℤ)
41		simplr3 1219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 < 𝑁)
42	39, 40, 41	3jca 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
43		elfzo2 13607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
44	42, 43	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
45		ssinc.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
46	33, 44, 45	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
47	46	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
48	32, 47	sstrd 3933	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
49	48	3exp 1120	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
50	16, 19, 22, 25, 27, 49	fzind 12618	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁)))
51	12, 13, 50	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ..^cfzo 13599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600

This theorem is referenced by:  iunincfi  45542  meaiuninc3v  46930