Theorem ssinc 45059

Description: Inclusion relation for a monotonic sequence of sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssinc.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
ssinc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
ssinc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁   𝜑,𝑚

Proof of Theorem ssinc

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssinc.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 12855	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eluzelz 12860	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		eluzle 12863	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
9	5	zred 12695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	leidd 11801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑁)
11	5, 8, 10	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁))
12	6, 11	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
13		id 22	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
14		fveq2 6875	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑀))
15	14	sseq2d 3991	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
17		fveq2 6875	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
18	17	sseq2d 3991	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)))
19	18	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))))
20		fveq2 6875	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
21	20	sseq2d 3991	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1))))
22	21	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
23		fveq2 6875	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))
24	23	sseq2d 3991	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁)))
25	24	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁))))
26		ssidd 3982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀))
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
28		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
29		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)))
30		pm3.35 802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))
31	28, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))
32	31	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))
33		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
34		simplll 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ ℤ)
35		simplr1 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℤ)
36		simplr2 1217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ≤ 𝑚)
37	34, 35, 36	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚))
38		eluz2 12856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚))
39	37, 38	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ ℤ)
41		simplr3 1218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 < 𝑁)
42	39, 40, 41	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
43		elfzo2 13677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
44	42, 43	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
45		ssinc.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
46	33, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
47	46	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
48	32, 47	sstrd 3969	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
49	48	3exp 1119	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
50	16, 19, 22, 25, 27, 49	fzind 12689	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁)))
51	12, 13, 50	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  1c1 11128   + caddc 11130   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850  ..^cfzo 13669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-fzo 13670

This theorem is referenced by:  iunincfi  45066  meaiuninc3v  46461