Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssinc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssinc 41218
 Description: Inclusion relation for a monotonic sequence of sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ssinc.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
ssinc.2 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
Assertion
Ref Expression
ssinc (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁   𝜑,𝑚

Proof of Theorem ssinc
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssinc.1 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 12237 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 eluzelz 12242 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
63, 5jca 512 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7 eluzle 12245 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀𝑁)
95zred 12076 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
109leidd 11195 . . . 4 (𝜑𝑁𝑁)
115, 8, 103jca 1122 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁𝑁𝑁))
126, 11jca 512 . 2 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁𝑁𝑁)))
13 id 22 . 2 (𝜑𝜑)
14 fveq2 6667 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑀))
1514sseq2d 4003 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → ((𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑛) ↔ (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀)))
1615imbi2d 342 . . 3 (𝑛 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀))))
17 fveq2 6667 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
1817sseq2d 4003 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑛) ↔ (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)))
1918imbi2d 342 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚))))
20 fveq2 6667 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
2120sseq2d 4003 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑛) ↔ (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1))))
2221imbi2d 342 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
23 fveq2 6667 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑁))
2423sseq2d 4003 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑛) ↔ (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑁)))
2524imbi2d 342 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑁))))
26 ssidd 3994 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀))
2726a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀)))
28 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
29 simpl 483 . . . . . . 7 (((𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)))
30 pm3.35 799 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚))) → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚))
3128, 29, 30syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚))
32313adant1 1124 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚))
33 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
34 simplll 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ ℤ)
35 simplr1 1209 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℤ)
36 simplr2 1210 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀𝑚)
3734, 35, 363jca 1122 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚))
38 eluz2 12238 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚))
3937, 38sylibr 235 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
40 simpllr 772 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ ℤ)
41 simplr3 1211 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 < 𝑁)
4239, 40, 413jca 1122 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
43 elfzo2 13031 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
4442, 43sylibr 235 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
45 ssinc.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
4633, 44, 45syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
47463adant2 1125 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
4832, 47sstrd 3981 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
49483exp 1113 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) → ((𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑚)) → (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
5016, 19, 22, 25, 27, 49fzind 12069 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁𝑁𝑁)) → (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑁)))
5112, 13, 50sylc 65 1 (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5063  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℤcz 11970  ℤ≥cuz 12232  ..^cfzo 13023 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024 This theorem is referenced by:  iunincfi  41225  meaiuninc3v  42632
 Copyright terms: Public domain W3C validator