Theorem ssinc 42215

Description: Inclusion relation for a monotonic sequence of sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssinc.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
ssinc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
ssinc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁   𝜑,𝑚

Proof of Theorem ssinc

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssinc.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 12341	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eluzelz 12346	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 515	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		eluzle 12349	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
9	5	zred 12180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	leidd 11296	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑁)
11	5, 8, 10	3jca 1129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁))
12	6, 11	jca 515	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
13		id 22	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
14		fveq2 6686	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑀))
15	14	sseq2d 3919	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
16	15	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
17		fveq2 6686	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
18	17	sseq2d 3919	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)))
19	18	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))))
20		fveq2 6686	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
21	20	sseq2d 3919	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1))))
22	21	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
23		fveq2 6686	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))
24	23	sseq2d 3919	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁)))
25	24	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁))))
26		ssidd 3910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀))
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
28		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
29		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)))
30		pm3.35 803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))
31	28, 29, 30	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))
32	31	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))
33		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
34		simplll 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ ℤ)
35		simplr1 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℤ)
36		simplr2 1217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ≤ 𝑚)
37	34, 35, 36	3jca 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚))
38		eluz2 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚))
39	37, 38	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ ℤ)
41		simplr3 1218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 < 𝑁)
42	39, 40, 41	3jca 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
43		elfzo2 13144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
44	42, 43	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
45		ssinc.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
46	33, 44, 45	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
47	46	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
48	32, 47	sstrd 3897	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
49	48	3exp 1120	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
50	16, 19, 22, 25, 27, 49	fzind 12173	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁)))
51	12, 13, 50	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3853   class class class wbr 5040  ‘cfv 6349  (class class class)co 7182  1c1 10628   + caddc 10630   < clt 10765   ≤ cle 10766  ℤcz 12074  ℤ_≥cuz 12336  ..^cfzo 13136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-fz 12994  df-fzo 13137

This theorem is referenced by:  iunincfi  42222  meaiuninc3v  43604