Theorem ssinc 44989

Description: Inclusion relation for a monotonic sequence of sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssinc.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
ssinc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
ssinc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁   𝜑,𝑚

Proof of Theorem ssinc

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssinc.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 12908	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eluzelz 12913	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		eluzle 12916	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
9	5	zred 12747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	leidd 11856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑁)
11	5, 8, 10	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁))
12	6, 11	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
13		id 22	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
14		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑀))
15	14	sseq2d 4041	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
17		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
18	17	sseq2d 4041	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)))
19	18	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))))
20		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
21	20	sseq2d 4041	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1))))
22	21	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
23		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))
24	23	sseq2d 4041	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁)))
25	24	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁))))
26		ssidd 4032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀))
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
28		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
29		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)))
30		pm3.35 802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))
31	28, 29, 30	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))
32	31	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚))
33		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
34		simplll 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ ℤ)
35		simplr1 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℤ)
36		simplr2 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ≤ 𝑚)
37	34, 35, 36	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚))
38		eluz2 12909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚))
39	37, 38	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ ℤ)
41		simplr3 1217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 < 𝑁)
42	39, 40, 41	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
43		elfzo2 13719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
44	42, 43	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
45		ssinc.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
46	33, 44, 45	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
47	46	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
48	32, 47	sstrd 4019	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
49	48	3exp 1119	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑚)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
50	16, 19, 22, 25, 27, 49	fzind 12741	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁)))
51	12, 13, 50	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ..^cfzo 13711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712

This theorem is referenced by:  iunincfi  44996  meaiuninc3v  46405