Theorem evl1deg2 33652

Description: Evaluation of a univariate polynomial of degree 2. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1deg1.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1deg1.2	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1deg1.3	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1deg1.4	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1deg1.5	⊢ · = (.r‘𝑅)
evl1deg1.6	⊢ + = (+g‘𝑅)
evl1deg2.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
evl1deg2.f	⊢ 𝐹 = (coe1‘𝑀)
evl1deg2.e	⊢ 𝐸 = (deg1‘𝑅)
evl1deg2.a	⊢ 𝐴 = (𝐹‘2)
evl1deg2.b	⊢ 𝐵 = (𝐹‘1)
evl1deg2.c	⊢ 𝐶 = (𝐹‘0)
evl1deg2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1deg2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
evl1deg2.1	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑀) = 2)
evl1deg2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evl1deg2	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑋) = ((𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)))

Proof of Theorem evl1deg2

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑘 ↑ 𝑥) = (𝑘 ↑ 𝑋))
2	1	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))
3	2	mpteq2dv 5180	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))
4	3	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
5		evl1deg1.2	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
6		evl1deg1.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		evl1deg1.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		evl1deg1.4	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
9		evl1deg2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		evl1deg2.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
11		evl1deg1.5	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		evl1deg2.p	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
13		evl1deg2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (coe1‘𝑀)
14	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	evl1fpws 33639	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥))))))
15		evl1deg2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
16		ovexd 7395	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ V)
17	4, 14, 15, 16	fvmptd4 6966	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
18		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19		evl1deg1.6	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20	9	crngringd 20218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	ringcmnd 20256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
22		nn0ex 12434	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
24	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
25	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22186	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐾)
26	10, 25	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐾)
27		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
28	27, 7	mgpbas 20117	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
29	27	ringmgp 20211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
30	20, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
32		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
33	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐾)
34	28, 12, 31, 32, 33	mulgnn0cld 19062	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
35	7, 11, 24, 26, 34	ringcld 20232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
36		fvexd 6849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
37		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
38		oveq1 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (𝑗 ↑ 𝑋))
39	37, 38	oveq12d 7378	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)))
40		breq1 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐸‘𝑀) → (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝐸‘𝑀) < 𝑗))
41	40	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐸‘𝑀) → ((𝑖 < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)) ↔ ((𝐸‘𝑀) < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))))
42	41	ralbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝐸‘𝑀) → (∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑖 < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐸‘𝑀) < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))))
43		evl1deg2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑀) = 2)
44		2nn0 12445	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
46	43, 45	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑀) ∈ ℕ0)
47	10	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → 𝑀 ∈ 𝑈)
48		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℕ0)
49		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (𝐸‘𝑀) < 𝑗)
50		evl1deg2.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (deg1‘𝑅)
51	50, 6, 8, 18, 13	deg1lt 26072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (𝐹‘𝑗) = (0g‘𝑅))
52	47, 48, 49, 51	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (𝐹‘𝑗) = (0g‘𝑅))
53	52	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = ((0g‘𝑅) · (𝑗 ↑ 𝑋)))
54	20	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
55	54, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
56	15	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → 𝑋 ∈ 𝐾)
57	28, 12, 55, 48, 56	mulgnn0cld 19062	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (𝑗 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
58	7, 11, 18, 54, 57	ringlzd 20267	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → ((0g‘𝑅) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))
59	53, 58	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))
60	59	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐸‘𝑀) < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
61	60	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐸‘𝑀) < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
62	42, 46, 61	rspcedvdw 3568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑖 < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
63	36, 35, 39, 62	mptnn0fsuppd 13951	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑅))
64		fzouzdisj 13641	. . . 4 ⊢ ((0..^3) ∩ (ℤ≥‘3)) = ∅
65	64	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^3) ∩ (ℤ≥‘3)) = ∅)
66		nn0uz 12817	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
67		3nn0 12446	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
68	67, 66	eleqtri 2835	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
69		fzouzsplit 13640	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^3) ∪ (ℤ≥‘3)))
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘0) = ((0..^3) ∪ (ℤ≥‘3))
71	66, 70	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ℕ0 = ((0..^3) ∪ (ℤ≥‘3))
72	71	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0..^3) ∪ (ℤ≥‘3)))
73	7, 18, 19, 21, 23, 35, 63, 65, 72	gsumsplit2 19895	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))))
74		fzo0to3tp 13698	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
75	74	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^3) = {0, 1, 2})
76	75	mpteq1d 5176	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))
77	76	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
78	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑀 ∈ 𝑈)
79		uzss 12802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘3) ⊆ (ℤ≥‘0))
80	68, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘3) ⊆ (ℤ≥‘0)
81	80, 66	sseqtrri 3972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘3) ⊆ ℕ0
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘3) ⊆ ℕ0)
83	82	sselda 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
84	43	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐸‘𝑀) = 2)
85		2p1e3 12309	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 + 1) = 3
86	85	fveq2i 6837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘(2 + 1)) = (ℤ≥‘3)
87	86	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3))
88		2z 12550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
89		eluzp1l 12806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → 2 < 𝑘)
90	88, 89	mpan 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → 2 < 𝑘)
91	87, 90	sylbir 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 < 𝑘)
92	91	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 < 𝑘)
93	84, 92	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐸‘𝑀) < 𝑘)
94	50, 6, 8, 18, 13	deg1lt 26072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑘) → (𝐹‘𝑘) = (0g‘𝑅))
95	78, 83, 93, 94	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐹‘𝑘) = (0g‘𝑅))
96	95	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((0g‘𝑅) · (𝑘 ↑ 𝑋)))
97	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑅 ∈ Ring)
98	97, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
99	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑋 ∈ 𝐾)
100	28, 12, 98, 83, 99	mulgnn0cld 19062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
101	7, 11, 18, 97, 100	ringlzd 20267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((0g‘𝑅) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))
102	96, 101	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))
103	102	mpteq2dva 5179	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ (0g‘𝑅)))
104	103	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ (0g‘𝑅))))
105	9	crnggrpd 20219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
106	105	grpmndd 18913	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
107		fvexd 6849	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘3) ∈ V)
108	18	gsumz 18795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (ℤ≥‘3) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
109	106, 107, 108	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
110	104, 109	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (0g‘𝑅))
111	77, 110	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (0g‘𝑅)))
112		tpex 7693	. . . . . 6 ⊢ {0, 1, 2} ∈ V
113	112	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0, 1, 2} ∈ V)
114	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑅 ∈ Ring)
115	13, 8, 6, 7	coe1f 22185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑈 → 𝐹:ℕ0⟶𝐾)
116	10, 115	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶𝐾)
117	116	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0, 1, 2}) → 𝐹:ℕ0⟶𝐾)
118		fzo0ssnn0 13692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^3) ⊆ ℕ0
119	75, 118	eqsstrrdi 3968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {0, 1, 2} ⊆ ℕ0)
120	119	sselda 3922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑘 ∈ ℕ0)
121	117, 120	ffvelcdmd 7031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐾)
122	120, 34	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
123	7, 11, 114, 121, 122	ringcld 20232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
124	123	fmpttd 7061	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))):{0, 1, 2}⟶𝐾)
125		fzofi 13927	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) ∈ Fin
126	75, 125	eqeltrrdi 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {0, 1, 2} ∈ Fin)
127	124, 126, 36	fidmfisupp 9278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑅))
128	7, 18, 21, 113, 124, 127	gsumcl 19881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐾)
129	7, 19, 18, 105, 128	grpridd 18937	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
130		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
131		evl1deg2.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝐹‘0)
132	130, 131	eqtr4di 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = 𝐶)
133		oveq1 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
134	132, 133	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝐶 · (0 ↑ 𝑋)))
135		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
136		evl1deg2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝐹‘1)
137	135, 136	eqtr4di 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
138		oveq1 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (1 ↑ 𝑋))
139	137, 138	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝐵 · (1 ↑ 𝑋)))
140		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘2))
141		evl1deg2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝐹‘2)
142	140, 141	eqtr4di 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
143		oveq1 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (2 ↑ 𝑋))
144	142, 143	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝐴 · (2 ↑ 𝑋)))
145		0nn0 12443	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
146	145	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
147		1nn0 12444	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
148	147	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
149		0ne1 12243	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
150	149	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
151		1ne2 12375	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
152	151	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
153		0ne2 12374	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 2
154	153	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 2)
155	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) ∈ 𝐾)
156	10, 145, 155	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝐾)
157	131, 156	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
158	28, 12, 30, 146, 15	mulgnn0cld 19062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
159	7, 11, 20, 157, 158	ringcld 20232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
160	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐹‘1) ∈ 𝐾)
161	10, 147, 160	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝐾)
162	136, 161	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
163	28, 12, 30, 148, 15	mulgnn0cld 19062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
164	7, 11, 20, 162, 163	ringcld 20232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (1 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
165	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐹‘2) ∈ 𝐾)
166	10, 44, 165	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘2) ∈ 𝐾)
167	141, 166	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
168	28, 12, 30, 45, 15	mulgnn0cld 19062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
169	7, 11, 20, 167, 168	ringcld 20232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
170	7, 19, 134, 139, 144, 21, 146, 148, 45, 150, 152, 154, 159, 164, 169	gsumtp 33140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋))) + (𝐴 · (2 ↑ 𝑋))))
171	7, 19, 105, 159, 164	grpcld 18914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋))) ∈ 𝐾)
172	7, 19	cmncom 19764	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ ((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋))) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾) → (((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋))) + (𝐴 · (2 ↑ 𝑋))) = ((𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) + ((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋)))))
173	21, 171, 169, 172	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋))) + (𝐴 · (2 ↑ 𝑋))) = ((𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) + ((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋)))))
174	7, 19	cmncom 19764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 · (1 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾) → ((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 · (1 ↑ 𝑋)) + (𝐶 · (0 ↑ 𝑋))))
175	21, 159, 164, 174	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 · (1 ↑ 𝑋)) + (𝐶 · (0 ↑ 𝑋))))
176	28, 12	mulg1 19048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
177	15, 176	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
178	177	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (1 ↑ 𝑋)) = (𝐵 · 𝑋))
179		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
180	27, 179	ringidval 20155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
181	28, 180, 12	mulg0 19041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
182	15, 181	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
183	182	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) = (𝐶 · (1r‘𝑅)))
184	7, 11, 179, 20, 157	ringridmd 20245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (1r‘𝑅)) = 𝐶)
185	183, 184	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) = 𝐶)
186	178, 185	oveq12d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (1 ↑ 𝑋)) + (𝐶 · (0 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))
187	175, 186	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))
188	187	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) + ((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋)))) = ((𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)))
189	170, 173, 188	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)))
190	111, 129, 189	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) = ((𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)))
191	17, 73, 190	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑋) = ((𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {ctp 4572   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170  2c2 12227  3c3 12228  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ..^cfzo 13599  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693  ._gcmg 19034  CMndccmn 19746  mulGrpcmgp 20112  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206  Poly₁cpl1 22150  coe₁cco1 22151  eval₁ce1 22289  deg₁cdg1 26029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-srg 20159  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-cnfld 21345  df-assa 21843  df-asp 21844  df-ascl 21845  df-psr 21899  df-mvr 21900  df-mpl 21901  df-opsr 21903  df-evls 22062  df-evl 22063  df-psr1 22153  df-vr1 22154  df-ply1 22155  df-coe1 22156  df-evls1 22290  df-evl1 22291  df-mdeg 26030  df-deg1 26031

This theorem is referenced by:  rtelextdg2lem  33886