Theorem evl1deg2 33602

Description: Evaluation of a univariate polynomial of degree 2. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1deg1.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1deg1.2	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1deg1.3	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1deg1.4	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1deg1.5	⊢ · = (.r‘𝑅)
evl1deg1.6	⊢ + = (+g‘𝑅)
evl1deg2.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
evl1deg2.f	⊢ 𝐹 = (coe1‘𝑀)
evl1deg2.e	⊢ 𝐸 = (deg1‘𝑅)
evl1deg2.a	⊢ 𝐴 = (𝐹‘2)
evl1deg2.b	⊢ 𝐵 = (𝐹‘1)
evl1deg2.c	⊢ 𝐶 = (𝐹‘0)
evl1deg2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1deg2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
evl1deg2.1	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑀) = 2)
evl1deg2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evl1deg2	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑋) = ((𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)))

Proof of Theorem evl1deg2

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑘 ↑ 𝑥) = (𝑘 ↑ 𝑋))
2	1	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))
3	2	mpteq2dv 5244	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))
4	3	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
5		evl1deg1.2	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
6		evl1deg1.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		evl1deg1.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		evl1deg1.4	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
9		evl1deg2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		evl1deg2.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
11		evl1deg1.5	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		evl1deg2.p	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
13		evl1deg2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (coe1‘𝑀)
14	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	evl1fpws 33590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥))))))
15		evl1deg2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
16		ovexd 7466	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ V)
17	4, 14, 15, 16	fvmptd4 7040	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
18		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19		evl1deg1.6	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20	9	crngringd 20243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	ringcmnd 20281	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
22		nn0ex 12532	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
24	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
25	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22214	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐾)
26	10, 25	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐾)
27		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
28	27, 7	mgpbas 20142	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
29	27	ringmgp 20236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
30	20, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
32		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
33	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐾)
34	28, 12, 31, 32, 33	mulgnn0cld 19113	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
35	7, 11, 24, 26, 34	ringcld 20257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
36		fvexd 6921	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
37		fveq2 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
38		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (𝑗 ↑ 𝑋))
39	37, 38	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)))
40		breq1 5146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐸‘𝑀) → (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝐸‘𝑀) < 𝑗))
41	40	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐸‘𝑀) → ((𝑖 < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)) ↔ ((𝐸‘𝑀) < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))))
42	41	ralbidv 3178	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝐸‘𝑀) → (∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑖 < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐸‘𝑀) < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))))
43		evl1deg2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑀) = 2)
44		2nn0 12543	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
46	43, 45	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑀) ∈ ℕ0)
47	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → 𝑀 ∈ 𝑈)
48		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℕ0)
49		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (𝐸‘𝑀) < 𝑗)
50		evl1deg2.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (deg1‘𝑅)
51	50, 6, 8, 18, 13	deg1lt 26136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (𝐹‘𝑗) = (0g‘𝑅))
52	47, 48, 49, 51	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (𝐹‘𝑗) = (0g‘𝑅))
53	52	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = ((0g‘𝑅) · (𝑗 ↑ 𝑋)))
54	20	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
55	54, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
56	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → 𝑋 ∈ 𝐾)
57	28, 12, 55, 48, 56	mulgnn0cld 19113	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (𝑗 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
58	7, 11, 18, 54, 57	ringlzd 20292	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → ((0g‘𝑅) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))
59	53, 58	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))
60	59	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐸‘𝑀) < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
61	60	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐸‘𝑀) < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
62	42, 46, 61	rspcedvdw 3625	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑖 < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
63	36, 35, 39, 62	mptnn0fsuppd 14039	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑅))
64		fzouzdisj 13735	. . . 4 ⊢ ((0..^3) ∩ (ℤ≥‘3)) = ∅
65	64	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^3) ∩ (ℤ≥‘3)) = ∅)
66		nn0uz 12920	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
67		3nn0 12544	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
68	67, 66	eleqtri 2839	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
69		fzouzsplit 13734	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^3) ∪ (ℤ≥‘3)))
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘0) = ((0..^3) ∪ (ℤ≥‘3))
71	66, 70	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ℕ0 = ((0..^3) ∪ (ℤ≥‘3))
72	71	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0..^3) ∪ (ℤ≥‘3)))
73	7, 18, 19, 21, 23, 35, 63, 65, 72	gsumsplit2 19947	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))))
74		fzo0to3tp 13791	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
75	74	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^3) = {0, 1, 2})
76	75	mpteq1d 5237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))
77	76	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
78	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑀 ∈ 𝑈)
79		uzss 12901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘3) ⊆ (ℤ≥‘0))
80	68, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘3) ⊆ (ℤ≥‘0)
81	80, 66	sseqtrri 4033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘3) ⊆ ℕ0
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘3) ⊆ ℕ0)
83	82	sselda 3983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
84	43	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐸‘𝑀) = 2)
85		2p1e3 12408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 + 1) = 3
86	85	fveq2i 6909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘(2 + 1)) = (ℤ≥‘3)
87	86	eleq2i 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3))
88		2z 12649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
89		eluzp1l 12905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → 2 < 𝑘)
90	88, 89	mpan 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → 2 < 𝑘)
91	87, 90	sylbir 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 < 𝑘)
92	91	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 < 𝑘)
93	84, 92	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐸‘𝑀) < 𝑘)
94	50, 6, 8, 18, 13	deg1lt 26136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑘) → (𝐹‘𝑘) = (0g‘𝑅))
95	78, 83, 93, 94	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐹‘𝑘) = (0g‘𝑅))
96	95	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((0g‘𝑅) · (𝑘 ↑ 𝑋)))
97	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑅 ∈ Ring)
98	97, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
99	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑋 ∈ 𝐾)
100	28, 12, 98, 83, 99	mulgnn0cld 19113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
101	7, 11, 18, 97, 100	ringlzd 20292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((0g‘𝑅) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))
102	96, 101	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))
103	102	mpteq2dva 5242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ (0g‘𝑅)))
104	103	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ (0g‘𝑅))))
105	9	crnggrpd 20244	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
106	105	grpmndd 18964	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
107		fvexd 6921	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘3) ∈ V)
108	18	gsumz 18849	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (ℤ≥‘3) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
109	106, 107, 108	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
110	104, 109	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (0g‘𝑅))
111	77, 110	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (0g‘𝑅)))
112		tpex 7766	. . . . . 6 ⊢ {0, 1, 2} ∈ V
113	112	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0, 1, 2} ∈ V)
114	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑅 ∈ Ring)
115	13, 8, 6, 7	coe1f 22213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑈 → 𝐹:ℕ0⟶𝐾)
116	10, 115	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶𝐾)
117	116	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0, 1, 2}) → 𝐹:ℕ0⟶𝐾)
118		fzo0ssnn0 13785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^3) ⊆ ℕ0
119	75, 118	eqsstrrdi 4029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {0, 1, 2} ⊆ ℕ0)
120	119	sselda 3983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑘 ∈ ℕ0)
121	117, 120	ffvelcdmd 7105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐾)
122	120, 34	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
123	7, 11, 114, 121, 122	ringcld 20257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
124	123	fmpttd 7135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))):{0, 1, 2}⟶𝐾)
125		fzofi 14015	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) ∈ Fin
126	75, 125	eqeltrrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {0, 1, 2} ∈ Fin)
127	124, 126, 36	fidmfisupp 9412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑅))
128	7, 18, 21, 113, 124, 127	gsumcl 19933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐾)
129	7, 19, 18, 105, 128	grpridd 18988	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
130		fveq2 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
131		evl1deg2.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝐹‘0)
132	130, 131	eqtr4di 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = 𝐶)
133		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
134	132, 133	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝐶 · (0 ↑ 𝑋)))
135		fveq2 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
136		evl1deg2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝐹‘1)
137	135, 136	eqtr4di 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
138		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (1 ↑ 𝑋))
139	137, 138	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝐵 · (1 ↑ 𝑋)))
140		fveq2 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘2))
141		evl1deg2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝐹‘2)
142	140, 141	eqtr4di 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
143		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (2 ↑ 𝑋))
144	142, 143	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝐴 · (2 ↑ 𝑋)))
145		0nn0 12541	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
146	145	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
147		1nn0 12542	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
148	147	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
149		0ne1 12337	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
150	149	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
151		1ne2 12474	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
152	151	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
153		0ne2 12473	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 2
154	153	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 2)
155	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) ∈ 𝐾)
156	10, 145, 155	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝐾)
157	131, 156	eqeltrid 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
158	28, 12, 30, 146, 15	mulgnn0cld 19113	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
159	7, 11, 20, 157, 158	ringcld 20257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
160	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐹‘1) ∈ 𝐾)
161	10, 147, 160	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝐾)
162	136, 161	eqeltrid 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
163	28, 12, 30, 148, 15	mulgnn0cld 19113	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
164	7, 11, 20, 162, 163	ringcld 20257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (1 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
165	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐹‘2) ∈ 𝐾)
166	10, 44, 165	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘2) ∈ 𝐾)
167	141, 166	eqeltrid 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
168	28, 12, 30, 45, 15	mulgnn0cld 19113	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
169	7, 11, 20, 167, 168	ringcld 20257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
170	7, 19, 134, 139, 144, 21, 146, 148, 45, 150, 152, 154, 159, 164, 169	gsumtp 33061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋))) + (𝐴 · (2 ↑ 𝑋))))
171	7, 19, 105, 159, 164	grpcld 18965	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋))) ∈ 𝐾)
172	7, 19	cmncom 19816	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ ((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋))) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾) → (((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋))) + (𝐴 · (2 ↑ 𝑋))) = ((𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) + ((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋)))))
173	21, 171, 169, 172	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋))) + (𝐴 · (2 ↑ 𝑋))) = ((𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) + ((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋)))))
174	7, 19	cmncom 19816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 · (1 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾) → ((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 · (1 ↑ 𝑋)) + (𝐶 · (0 ↑ 𝑋))))
175	21, 159, 164, 174	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 · (1 ↑ 𝑋)) + (𝐶 · (0 ↑ 𝑋))))
176	28, 12	mulg1 19099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
177	15, 176	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
178	177	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (1 ↑ 𝑋)) = (𝐵 · 𝑋))
179		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
180	27, 179	ringidval 20180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
181	28, 180, 12	mulg0 19092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
182	15, 181	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
183	182	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) = (𝐶 · (1r‘𝑅)))
184	7, 11, 179, 20, 157	ringridmd 20270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (1r‘𝑅)) = 𝐶)
185	183, 184	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) = 𝐶)
186	178, 185	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (1 ↑ 𝑋)) + (𝐶 · (0 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))
187	175, 186	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))
188	187	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) + ((𝐶 · (0 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (1 ↑ 𝑋)))) = ((𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)))
189	170, 173, 188	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)))
190	111, 129, 189	3eqtrd 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘3) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) = ((𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)))
191	17, 73, 190	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑋) = ((𝐴 · (2 ↑ 𝑋)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {ctp 4630   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  2c2 12321  3c3 12322  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ..^cfzo 13694  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  Mndcmnd 18747  ._gcmg 19085  CMndccmn 19798  mulGrpcmgp 20137  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  Poly₁cpl1 22178  coe₁cco1 22179  eval₁ce1 22318  deg₁cdg1 26093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-cnfld 21365  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-evl 22099  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-evls1 22319  df-evl1 22320  df-mdeg 26094  df-deg1 26095

This theorem is referenced by:  rtelextdg2lem  33767