Theorem sseqfv1 33917

Description: Value of the strong sequence builder function at one of its initial values. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqval.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
sseqval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3	⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
sseqfv1.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
sseqfv1	⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = (𝑀‘𝑁))

Proof of Theorem sseqfv1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
2		sseqval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
3		sseqval.3	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
4		sseqval.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
5	1, 2, 3, 4	sseqval 33916	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))))
6	5	fveq1d 6886	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = ((𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))))‘𝑁))
7		wrdfn 14481	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
9		fvex 6897	. . . . . 6 ⊢ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ V
10		df-lsw 14516	. . . . . 6 ⊢ lastS = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)))
11	9, 10	fnmpti 6686	. . . . 5 ⊢ lastS Fn V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → lastS Fn V)
13		lencl 14486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
14	2, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
16		seqfn 13981	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℤ → seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
18		ssv 4001	. . . . 5 ⊢ ran seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) ⊆ V
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) ⊆ V)
20		fnco 6660	. . . 4 ⊢ ((lastS Fn V ∧ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) ∧ ran seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) ⊆ V) → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
21	12, 17, 19, 20	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
22		fzouzdisj 13671	. . . 4 ⊢ ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) = ∅
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) = ∅)
24		sseqfv1.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑀)))
25		fvun1 6975	. . 3 ⊢ ((𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)) ∧ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) ∧ (((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑀)))) → ((𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))))‘𝑁) = (𝑀‘𝑁))
26	8, 21, 23, 24, 25	syl112anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))))‘𝑁) = (𝑀‘𝑁))
27	6, 26	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = (𝑀‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∪ cun 3941   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  {csn 4623   × cxp 5667  ^◡ccnv 5668  ran crn 5670   “ cima 5672   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  0cc0 11109  1c1 11110   − cmin 11445  ℕ₀cn0 12473  ℤcz 12559  ℤ_≥cuz 12823  ..^cfzo 13630  seqcseq 13969  ♯chash 14292  Word cword 14467  lastSclsw 14515   ++ cconcat 14523  ⟨“cs1 14548  seq_strcsseq 33911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-word 14468  df-lsw 14516  df-s1 14549  df-sseq 33912

This theorem is referenced by:  sseqfres  33921  fib0  33927  fib1  33928