Theorem hashf1dmrn 14371

Description: The size of the domain of a one-to-one set function is equal to the size of its range. (Contributed by BTernaryTau, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
hashf1dmrn	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘ran 𝐹))

Proof of Theorem hashf1dmrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fun 6733	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → Fun 𝐹)
2		hashfundm 14370	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
3	1, 2	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
4		f1dm 6735	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → dom 𝐹 = 𝐴)
6		dmexg 7846	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → dom 𝐹 ∈ V)
8	5, 7	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9		hashf1rn 14280	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))
10	8, 9	sylancom 589	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))
11	5	fveq2d 6839	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (♯‘dom 𝐹) = (♯‘𝐴))
12	3, 10, 11	3eqtr3rd 2781	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘ran 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  dom cdm 5625  ran crn 5626  Fun wfun 6487  –1-1→wf1 6490  ‘cfv 6493  ♯chash 14258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-dju 9818  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-n0 12407  df-xnn0 12480  df-z 12494  df-uz 12757  df-fz 13429  df-hash 14259

This theorem is referenced by:  hashf1dmcdm  14372  lmimdim  33773