MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2nnd 12178
Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
peano2nnd (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd
StepHypRef Expression
1 nnred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 peano2nn 12173 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  (class class class)co 7361  1c1 11060   + caddc 11062  cn 12161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-nn 12162
This theorem is referenced by:  bcpasc  14230  relexpsucnnr  14919  o1fsum  15706  bpolydiflem  15945  eftlub  15999  eirrlem  16094  infpnlem1  16790  infpnlem2  16791  prmreclem4  16799  prmreclem5  16800  prmreclem6  16801  vdwlem6  16866  cayhamlem1  22238  ovolunlem1a  24883  ovolicc2lem3  24906  uniioombllem3  24972  uniioombllem4  24973  vieta1lem1  25693  vieta1lem2  25694  aaliou3lem2  25726  lgamgulmlem3  26403  lgamgulmlem4  26404  lgamgulmlem5  26405  lgamgulmlem6  26406  lgamgulm2  26408  lgamcvg2  26427  gamcvg  26428  gamcvg2lem  26431  regamcl  26433  relgamcl  26434  basellem1  26453  basellem2  26454  basellem3  26455  basellem4  26456  basellem5  26457  basellem6  26458  basellem7  26459  basellem8  26460  basellem9  26461  perfectlem1  26600  perfectlem2  26601  bclbnd  26651  lgsdilem2  26704  rplogsumlem2  26856  dchrisumlem2  26861  pntrsumbnd2  26938  pntrlog2bndlem2  26949  pntpbnd1a  26956  pntpbnd1  26957  pntpbnd2  26958  axlowdimlem16  27955  fzto1st  32008  psgnfzto1st  32010  isarchi3  32079  ofldchr  32163  smatrcl  32441  esumfzf  32732  esumpcvgval  32741  esumcvg  32749  dstfrvunirn  33138  dstfrvclim1  33141  subfacp1lem1  33837  subfacp1lem5  33842  subfaclim  33846  poimirlem7  36135  poimirlem15  36143  poimirlem17  36145  poimirlem19  36147  poimirlem28  36156  lcmineqlem11  40546  lcmineqlem18  40553  lcmineqlem19  40554  lcmineqlem20  40555  4rexfrabdioph  41168  6rexfrabdioph  41169  pellfundge  41252  pellfundgt1  41253  limsup10exlem  44103  wallispilem5  44400  wallispi2lem1  44402  wallispi2  44404  fourierdlem47  44484  nnfoctbdjlem  44786  hoidmvlelem2  44927  vonioolem2  45012  vonicclem2  45015  fmtnof1  45817  lighneallem4b  45891  proththdlem  45895  perfectALTVlem1  46003  perfectALTVlem2  46004  blennngt2o2  46768
  Copyright terms: Public domain W3C validator