Theorem peano2nnd 12283

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 12278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158  ℕcn 12266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267

This theorem is referenced by:  bcpasc  14360  relexpsucnnr  15064  o1fsum  15849  bpolydiflem  16090  eftlub  16145  eirrlem  16240  infpnlem1  16948  infpnlem2  16949  prmreclem4  16957  prmreclem5  16958  prmreclem6  16959  vdwlem6  17024  cayhamlem1  22872  ovolunlem1a  25531  ovolicc2lem3  25554  uniioombllem3  25620  uniioombllem4  25621  vieta1lem1  26352  vieta1lem2  26353  aaliou3lem2  26385  lgamgulmlem3  27074  lgamgulmlem4  27075  lgamgulmlem5  27076  lgamgulmlem6  27077  lgamgulm2  27079  lgamcvg2  27098  gamcvg  27099  gamcvg2lem  27102  regamcl  27104  relgamcl  27105  basellem1  27124  basellem2  27125  basellem3  27126  basellem4  27127  basellem5  27128  basellem6  27129  basellem7  27130  basellem8  27131  basellem9  27132  perfectlem1  27273  perfectlem2  27274  bclbnd  27324  lgsdilem2  27377  rplogsumlem2  27529  dchrisumlem2  27534  pntrsumbnd2  27611  pntrlog2bndlem2  27622  pntpbnd1a  27629  pntpbnd1  27630  pntpbnd2  27631  axlowdimlem16  28972  fzto1st  33123  psgnfzto1st  33125  isarchi3  33194  ofldchr  33344  smatrcl  33795  esumfzf  34070  esumpcvgval  34079  esumcvg  34087  dstfrvunirn  34477  dstfrvclim1  34480  subfacp1lem1  35184  subfacp1lem5  35189  subfaclim  35193  poimirlem7  37634  poimirlem15  37642  poimirlem17  37644  poimirlem19  37646  poimirlem28  37655  lcmineqlem11  42040  lcmineqlem18  42047  lcmineqlem19  42048  lcmineqlem20  42049  fimgmcyc  42544  4rexfrabdioph  42809  6rexfrabdioph  42810  pellfundge  42893  pellfundgt1  42894  limsup10exlem  45787  wallispilem5  46084  wallispi2lem1  46086  wallispi2  46088  fourierdlem47  46168  nnfoctbdjlem  46470  hoidmvlelem2  46611  vonioolem2  46696  vonicclem2  46699  fmtnof1  47522  lighneallem4b  47596  proththdlem  47600  perfectALTVlem1  47708  perfectALTVlem2  47709  blennngt2o2  48513