Theorem peano2nnd 11920

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 11915	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805  ℕcn 11903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904

This theorem is referenced by:  bcpasc  13963  relexpsucnnr  14664  o1fsum  15453  bpolydiflem  15692  eftlub  15746  eirrlem  15841  infpnlem1  16539  infpnlem2  16540  prmreclem4  16548  prmreclem5  16549  prmreclem6  16550  vdwlem6  16615  cayhamlem1  21923  ovolunlem1a  24565  ovolicc2lem3  24588  uniioombllem3  24654  uniioombllem4  24655  vieta1lem1  25375  vieta1lem2  25376  aaliou3lem2  25408  lgamgulmlem3  26085  lgamgulmlem4  26086  lgamgulmlem5  26087  lgamgulmlem6  26088  lgamgulm2  26090  lgamcvg2  26109  gamcvg  26110  gamcvg2lem  26113  regamcl  26115  relgamcl  26116  basellem1  26135  basellem2  26136  basellem3  26137  basellem4  26138  basellem5  26139  basellem6  26140  basellem7  26141  basellem8  26142  basellem9  26143  perfectlem1  26282  perfectlem2  26283  bclbnd  26333  lgsdilem2  26386  rplogsumlem2  26538  dchrisumlem2  26543  pntrsumbnd2  26620  pntrlog2bndlem2  26631  pntpbnd1a  26638  pntpbnd1  26639  pntpbnd2  26640  axlowdimlem16  27228  fzto1st  31272  psgnfzto1st  31274  isarchi3  31343  ofldchr  31415  smatrcl  31648  esumfzf  31937  esumpcvgval  31946  esumcvg  31954  dstfrvunirn  32341  dstfrvclim1  32344  subfacp1lem1  33041  subfacp1lem5  33046  subfaclim  33050  poimirlem7  35711  poimirlem15  35719  poimirlem17  35721  poimirlem19  35723  poimirlem28  35732  lcmineqlem11  39975  lcmineqlem18  39982  lcmineqlem19  39983  lcmineqlem20  39984  4rexfrabdioph  40536  6rexfrabdioph  40537  pellfundge  40620  pellfundgt1  40621  limsup10exlem  43203  wallispilem5  43500  wallispi2lem1  43502  wallispi2  43504  fourierdlem47  43584  nnfoctbdjlem  43883  hoidmvlelem2  44024  vonioolem2  44109  vonicclem2  44112  fmtnof1  44875  lighneallem4b  44949  proththdlem  44953  perfectALTVlem1  45061  perfectALTVlem2  45062  blennngt2o2  45826