Theorem peano2nnd 12262

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 12257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  1c1 11135   + caddc 11137  ℕcn 12245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-nn 12246

This theorem is referenced by:  bcpasc  14344  relexpsucnnr  15049  o1fsum  15834  bpolydiflem  16075  eftlub  16132  eirrlem  16227  infpnlem1  16935  infpnlem2  16936  prmreclem4  16944  prmreclem5  16945  prmreclem6  16946  vdwlem6  17011  cayhamlem1  22809  ovolunlem1a  25454  ovolicc2lem3  25477  uniioombllem3  25543  uniioombllem4  25544  vieta1lem1  26275  vieta1lem2  26276  aaliou3lem2  26308  lgamgulmlem3  26998  lgamgulmlem4  26999  lgamgulmlem5  27000  lgamgulmlem6  27001  lgamgulm2  27003  lgamcvg2  27022  gamcvg  27023  gamcvg2lem  27026  regamcl  27028  relgamcl  27029  basellem1  27048  basellem2  27049  basellem3  27050  basellem4  27051  basellem5  27052  basellem6  27053  basellem7  27054  basellem8  27055  basellem9  27056  perfectlem1  27197  perfectlem2  27198  bclbnd  27248  lgsdilem2  27301  rplogsumlem2  27453  dchrisumlem2  27458  pntrsumbnd2  27535  pntrlog2bndlem2  27546  pntpbnd1a  27553  pntpbnd1  27554  pntpbnd2  27555  axlowdimlem16  28941  fzto1st  33119  psgnfzto1st  33121  isarchi3  33190  ofldchr  33341  smatrcl  33832  esumfzf  34105  esumpcvgval  34114  esumcvg  34122  dstfrvunirn  34512  dstfrvclim1  34515  subfacp1lem1  35206  subfacp1lem5  35211  subfaclim  35215  poimirlem7  37656  poimirlem15  37664  poimirlem17  37666  poimirlem19  37668  poimirlem28  37677  lcmineqlem11  42057  lcmineqlem18  42064  lcmineqlem19  42065  lcmineqlem20  42066  fimgmcyc  42524  4rexfrabdioph  42788  6rexfrabdioph  42789  pellfundge  42872  pellfundgt1  42873  limsup10exlem  45768  wallispilem5  46065  wallispi2lem1  46067  wallispi2  46069  fourierdlem47  46149  nnfoctbdjlem  46451  hoidmvlelem2  46592  vonioolem2  46677  vonicclem2  46680  fmtnof1  47516  lighneallem4b  47590  proththdlem  47594  perfectALTVlem1  47702  perfectALTVlem2  47703  blennngt2o2  48539