Theorem peano2nnd 12166

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 12161	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  1c1 11031   + caddc 11033  ℕcn 12149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-nn 12150

This theorem is referenced by:  bcpasc  14248  relexpsucnnr  14952  o1fsum  15740  bpolydiflem  15981  eftlub  16038  eirrlem  16133  infpnlem1  16842  infpnlem2  16843  prmreclem4  16851  prmreclem5  16852  prmreclem6  16853  vdwlem6  16918  ofldchr  21535  cayhamlem1  22814  ovolunlem1a  25457  ovolicc2lem3  25480  uniioombllem3  25546  uniioombllem4  25547  vieta1lem1  26278  vieta1lem2  26279  aaliou3lem2  26311  lgamgulmlem3  27001  lgamgulmlem4  27002  lgamgulmlem5  27003  lgamgulmlem6  27004  lgamgulm2  27006  lgamcvg2  27025  gamcvg  27026  gamcvg2lem  27029  regamcl  27031  relgamcl  27032  basellem1  27051  basellem2  27052  basellem3  27053  basellem4  27054  basellem5  27055  basellem6  27056  basellem7  27057  basellem8  27058  basellem9  27059  perfectlem1  27200  perfectlem2  27201  bclbnd  27251  lgsdilem2  27304  rplogsumlem2  27456  dchrisumlem2  27461  pntrsumbnd2  27538  pntrlog2bndlem2  27549  pntpbnd1a  27556  pntpbnd1  27557  pntpbnd2  27558  axlowdimlem16  29034  fzto1st  33187  psgnfzto1st  33189  isarchi3  33271  smatrcl  33955  esumfzf  34228  esumpcvgval  34237  esumcvg  34245  dstfrvunirn  34634  dstfrvclim1  34637  subfacp1lem1  35375  subfacp1lem5  35380  subfaclim  35384  poimirlem7  37830  poimirlem15  37838  poimirlem17  37840  poimirlem19  37842  poimirlem28  37851  lcmineqlem11  42361  lcmineqlem18  42368  lcmineqlem19  42369  lcmineqlem20  42370  fimgmcyc  42856  4rexfrabdioph  43107  6rexfrabdioph  43108  pellfundge  43191  pellfundgt1  43192  limsup10exlem  46083  wallispilem5  46380  wallispi2lem1  46382  wallispi2  46384  fourierdlem47  46464  nnfoctbdjlem  46766  hoidmvlelem2  46907  vonioolem2  46992  vonicclem2  46995  fmtnof1  47848  lighneallem4b  47922  proththdlem  47926  perfectALTVlem1  48034  perfectALTVlem2  48035  blennngt2o2  48905