Theorem peano2nnd 12191

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 12186	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175

This theorem is referenced by:  bcpasc  14283  relexpsucnnr  14987  o1fsum  15776  bpolydiflem  16019  eftlub  16076  eirrlem  16171  infpnlem1  16881  infpnlem2  16882  prmreclem4  16890  prmreclem5  16891  prmreclem6  16892  vdwlem6  16957  ofldchr  21556  cayhamlem1  22831  ovolunlem1a  25463  ovolicc2lem3  25486  uniioombllem3  25552  uniioombllem4  25553  vieta1lem1  26276  vieta1lem2  26277  aaliou3lem2  26309  lgamgulmlem3  26994  lgamgulmlem4  26995  lgamgulmlem5  26996  lgamgulmlem6  26997  lgamgulm2  26999  lgamcvg2  27018  gamcvg  27019  gamcvg2lem  27022  regamcl  27024  relgamcl  27025  basellem1  27044  basellem2  27045  basellem3  27046  basellem4  27047  basellem5  27048  basellem6  27049  basellem7  27050  basellem8  27051  basellem9  27052  perfectlem1  27192  perfectlem2  27193  bclbnd  27243  lgsdilem2  27296  rplogsumlem2  27448  dchrisumlem2  27453  pntrsumbnd2  27530  pntrlog2bndlem2  27541  pntpbnd1a  27548  pntpbnd1  27549  pntpbnd2  27550  axlowdimlem16  29026  fzto1st  33164  psgnfzto1st  33166  isarchi3  33248  smatrcl  33940  esumfzf  34213  esumpcvgval  34222  esumcvg  34230  dstfrvunirn  34619  dstfrvclim1  34622  subfacp1lem1  35361  subfacp1lem5  35366  subfaclim  35370  poimirlem7  37948  poimirlem15  37956  poimirlem17  37958  poimirlem19  37960  poimirlem28  37969  lcmineqlem11  42478  lcmineqlem18  42485  lcmineqlem19  42486  lcmineqlem20  42487  fimgmcyc  42979  4rexfrabdioph  43226  6rexfrabdioph  43227  pellfundge  43310  pellfundgt1  43311  limsup10exlem  46200  wallispilem5  46497  wallispi2lem1  46499  wallispi2  46501  fourierdlem47  46581  nnfoctbdjlem  46883  hoidmvlelem2  47024  vonioolem2  47109  vonicclem2  47112  fmtnof1  47998  lighneallem4b  48072  proththdlem  48076  perfectALTVlem1  48197  perfectALTVlem2  48198  blennngt2o2  49068