Theorem peano2nnd 12256

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 12251	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  1c1 11107   + caddc 11109  ℕcn 12239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-nn 12240

This theorem is used by:  bcpasc  14364  relexpsucnnr  15069  o1fsum  15872  bpolydiflem  16114  eftlub  16171  eirrlem  16266  infpnlem1  16976  infpnlem2  16977  prmreclem4  16985  prmreclem5  16986  prmreclem6  16987  vdwlem6  17052  ofldchr  21737  cayhamlem1  23034  ovolunlem1a  25666  ovolicc2lem3  25689  uniioombllem3  25755  uniioombllem4  25756  vieta1lem1  26482  vieta1lem2  26483  aaliou3lem2  26517  lgamgulmlem3  27206  lgamgulmlem4  27207  lgamgulmlem5  27208  lgamgulmlem6  27209  lgamgulm2  27211  lgamcvg2  27230  gamcvg  27231  gamcvg2lem  27234  regamcl  27236  relgamcl  27237  basellem1  27256  basellem2  27257  basellem3  27258  basellem4  27259  basellem5  27260  basellem6  27261  basellem7  27262  basellem8  27263  basellem9  27264  perfectlem1  27404  perfectlem2  27405  bclbnd  27455  lgsdilem2  27508  rplogsumlem2  27660  dchrisumlem2  27665  pntrsumbnd2  27742  pntrlog2bndlem2  27753  pntpbnd1a  27760  pntpbnd1  27761  pntpbnd2  27762  axlowdimlem16  29318  fzto1st  33432  psgnfzto1st  33434  isarchi3  33516  smatrcl  34195  esumfzf  34468  esumpcvgval  34477  esumcvg  34485  dstfrvunirn  34874  dstfrvclim1  34877  subfacp1lem1  35679  subfacp1lem5  35684  subfaclim  35688  poimirlem7  38306  poimirlem15  38314  poimirlem17  38316  poimirlem19  38318  poimirlem28  38327  lcmineqlem11  42834  lcmineqlem18  42841  lcmineqlem19  42842  lcmineqlem20  42843  fimgmcyc  43330  4rexfrabdioph  43553  6rexfrabdioph  43554  pellfundge  43637  pellfundgt1  43638  limsup10exlem  46514  wallispilem5  46811  wallispi2lem1  46813  wallispi2  46815  fourierdlem47  46895  nnfoctbdjlem  47197  hoidmvlelem2  47338  vonioolem2  47423  vonicclem2  47426  fmtnof1  48315  lighneallem4b  48389  proththdlem  48393  perfectALTVlem1  48514  perfectALTVlem2  48515  blennngt2o2  49400