Theorem peano2nnd 12376

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 12371	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440  1c1 11225   + caddc 11227  ℕcn 12359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-nn 12360

This theorem is used by:  bcpasc  14489  relexpsucnnr  15204  o1fsum  16006  bpolydiflem  16246  eftlub  16303  eirrlem  16398  infpnlem1  17114  infpnlem2  17115  prmreclem4  17123  prmreclem5  17124  prmreclem6  17125  vdwlem6  17190  ofldchr  21909  cayhamlem1  23211  ovolunlem1a  25844  ovolicc2lem3  25867  uniioombllem3  25933  uniioombllem4  25934  vieta1lem1  26660  vieta1lem2  26661  aaliou3lem2  26697  lgamgulmlem3  27385  lgamgulmlem4  27386  lgamgulmlem5  27387  lgamgulmlem6  27388  lgamgulm2  27390  lgamcvg2  27409  gamcvg  27410  gamcvg2lem  27413  regamcl  27415  relgamcl  27416  basellem1  27435  basellem2  27436  basellem3  27437  basellem4  27438  basellem5  27439  basellem6  27440  basellem7  27441  basellem8  27442  basellem9  27443  perfectlem1  27583  perfectlem2  27584  bclbnd  27634  lgsdilem2  27687  rplogsumlem2  27839  dchrisumlem2  27844  pntrsumbnd2  27921  pntrlog2bndlem2  27932  pntpbnd1a  27939  pntpbnd1  27940  pntpbnd2  27941  axlowdimlem16  29562  fzto1st  33731  psgnfzto1st  33733  isarchi3  33815  smatrcl  34495  esumfzf  34768  esumpcvgval  34777  esumcvg  34785  dstfrvunirn  35174  dstfrvclim1  35177  subfacp1lem1  36110  subfacp1lem5  36115  subfaclim  36119  poimirlem7  38736  poimirlem15  38744  poimirlem17  38746  poimirlem19  38748  poimirlem28  38757  lcmineqlem11  43280  lcmineqlem18  43287  lcmineqlem19  43288  lcmineqlem20  43289  fimgmcyc  43789  4rexfrabdioph  43996  6rexfrabdioph  43997  pellfundge  44080  pellfundgt1  44081  limsup10exlem  46985  wallispilem5  47282  wallispi2lem1  47284  wallispi2  47286  fourierdlem47  47366  nnfoctbdjlem  47668  hoidmvlelem2  47809  vonioolem2  47894  vonicclem2  47897  fmtnof1  48823  lighneallem4b  48897  proththdlem  48901  perfectALTVlem1  49022  perfectALTVlem2  49023  blennngt2o2  49907