Theorem peano2nnd 11990

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 11985	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874  ℕcn 11973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974

This theorem is referenced by:  bcpasc  14035  relexpsucnnr  14736  o1fsum  15525  bpolydiflem  15764  eftlub  15818  eirrlem  15913  infpnlem1  16611  infpnlem2  16612  prmreclem4  16620  prmreclem5  16621  prmreclem6  16622  vdwlem6  16687  cayhamlem1  22015  ovolunlem1a  24660  ovolicc2lem3  24683  uniioombllem3  24749  uniioombllem4  24750  vieta1lem1  25470  vieta1lem2  25471  aaliou3lem2  25503  lgamgulmlem3  26180  lgamgulmlem4  26181  lgamgulmlem5  26182  lgamgulmlem6  26183  lgamgulm2  26185  lgamcvg2  26204  gamcvg  26205  gamcvg2lem  26208  regamcl  26210  relgamcl  26211  basellem1  26230  basellem2  26231  basellem3  26232  basellem4  26233  basellem5  26234  basellem6  26235  basellem7  26236  basellem8  26237  basellem9  26238  perfectlem1  26377  perfectlem2  26378  bclbnd  26428  lgsdilem2  26481  rplogsumlem2  26633  dchrisumlem2  26638  pntrsumbnd2  26715  pntrlog2bndlem2  26726  pntpbnd1a  26733  pntpbnd1  26734  pntpbnd2  26735  axlowdimlem16  27325  fzto1st  31370  psgnfzto1st  31372  isarchi3  31441  ofldchr  31513  smatrcl  31746  esumfzf  32037  esumpcvgval  32046  esumcvg  32054  dstfrvunirn  32441  dstfrvclim1  32444  subfacp1lem1  33141  subfacp1lem5  33146  subfaclim  33150  poimirlem7  35784  poimirlem15  35792  poimirlem17  35794  poimirlem19  35796  poimirlem28  35805  lcmineqlem11  40047  lcmineqlem18  40054  lcmineqlem19  40055  lcmineqlem20  40056  4rexfrabdioph  40620  6rexfrabdioph  40621  pellfundge  40704  pellfundgt1  40705  limsup10exlem  43313  wallispilem5  43610  wallispi2lem1  43612  wallispi2  43614  fourierdlem47  43694  nnfoctbdjlem  43993  hoidmvlelem2  44134  vonioolem2  44219  vonicclem2  44222  fmtnof1  44987  lighneallem4b  45061  proththdlem  45065  perfectALTVlem1  45173  perfectALTVlem2  45174  blennngt2o2  45938