Theorem peano2nnd 12310

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 12305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187  ℕcn 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294

This theorem is referenced by:  bcpasc  14370  relexpsucnnr  15074  o1fsum  15861  bpolydiflem  16102  eftlub  16157  eirrlem  16252  infpnlem1  16957  infpnlem2  16958  prmreclem4  16966  prmreclem5  16967  prmreclem6  16968  vdwlem6  17033  cayhamlem1  22893  ovolunlem1a  25550  ovolicc2lem3  25573  uniioombllem3  25639  uniioombllem4  25640  vieta1lem1  26370  vieta1lem2  26371  aaliou3lem2  26403  lgamgulmlem3  27092  lgamgulmlem4  27093  lgamgulmlem5  27094  lgamgulmlem6  27095  lgamgulm2  27097  lgamcvg2  27116  gamcvg  27117  gamcvg2lem  27120  regamcl  27122  relgamcl  27123  basellem1  27142  basellem2  27143  basellem3  27144  basellem4  27145  basellem5  27146  basellem6  27147  basellem7  27148  basellem8  27149  basellem9  27150  perfectlem1  27291  perfectlem2  27292  bclbnd  27342  lgsdilem2  27395  rplogsumlem2  27547  dchrisumlem2  27552  pntrsumbnd2  27629  pntrlog2bndlem2  27640  pntpbnd1a  27647  pntpbnd1  27648  pntpbnd2  27649  axlowdimlem16  28990  fzto1st  33096  psgnfzto1st  33098  isarchi3  33167  ofldchr  33309  smatrcl  33742  esumfzf  34033  esumpcvgval  34042  esumcvg  34050  dstfrvunirn  34439  dstfrvclim1  34442  subfacp1lem1  35147  subfacp1lem5  35152  subfaclim  35156  poimirlem7  37587  poimirlem15  37595  poimirlem17  37597  poimirlem19  37599  poimirlem28  37608  lcmineqlem11  41996  lcmineqlem18  42003  lcmineqlem19  42004  lcmineqlem20  42005  fimgmcyc  42489  4rexfrabdioph  42754  6rexfrabdioph  42755  pellfundge  42838  pellfundgt1  42839  limsup10exlem  45693  wallispilem5  45990  wallispi2lem1  45992  wallispi2  45994  fourierdlem47  46074  nnfoctbdjlem  46376  hoidmvlelem2  46517  vonioolem2  46602  vonicclem2  46605  fmtnof1  47409  lighneallem4b  47483  proththdlem  47487  perfectALTVlem1  47595  perfectALTVlem2  47596  blennngt2o2  48326