Theorem peano2nnd 12142

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 12137	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  1c1 11007   + caddc 11009  ℕcn 12125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-nn 12126

This theorem is referenced by:  bcpasc  14228  relexpsucnnr  14932  o1fsum  15720  bpolydiflem  15961  eftlub  16018  eirrlem  16113  infpnlem1  16822  infpnlem2  16823  prmreclem4  16831  prmreclem5  16832  prmreclem6  16833  vdwlem6  16898  ofldchr  21513  cayhamlem1  22781  ovolunlem1a  25424  ovolicc2lem3  25447  uniioombllem3  25513  uniioombllem4  25514  vieta1lem1  26245  vieta1lem2  26246  aaliou3lem2  26278  lgamgulmlem3  26968  lgamgulmlem4  26969  lgamgulmlem5  26970  lgamgulmlem6  26971  lgamgulm2  26973  lgamcvg2  26992  gamcvg  26993  gamcvg2lem  26996  regamcl  26998  relgamcl  26999  basellem1  27018  basellem2  27019  basellem3  27020  basellem4  27021  basellem5  27022  basellem6  27023  basellem7  27024  basellem8  27025  basellem9  27026  perfectlem1  27167  perfectlem2  27168  bclbnd  27218  lgsdilem2  27271  rplogsumlem2  27423  dchrisumlem2  27428  pntrsumbnd2  27505  pntrlog2bndlem2  27516  pntpbnd1a  27523  pntpbnd1  27524  pntpbnd2  27525  axlowdimlem16  28935  fzto1st  33072  psgnfzto1st  33074  isarchi3  33156  smatrcl  33809  esumfzf  34082  esumpcvgval  34091  esumcvg  34099  dstfrvunirn  34488  dstfrvclim1  34491  subfacp1lem1  35223  subfacp1lem5  35228  subfaclim  35232  poimirlem7  37666  poimirlem15  37674  poimirlem17  37676  poimirlem19  37678  poimirlem28  37687  lcmineqlem11  42131  lcmineqlem18  42138  lcmineqlem19  42139  lcmineqlem20  42140  fimgmcyc  42626  4rexfrabdioph  42890  6rexfrabdioph  42891  pellfundge  42974  pellfundgt1  42975  limsup10exlem  45869  wallispilem5  46166  wallispi2lem1  46168  wallispi2  46170  fourierdlem47  46250  nnfoctbdjlem  46552  hoidmvlelem2  46693  vonioolem2  46778  vonicclem2  46781  fmtnof1  47634  lighneallem4b  47708  proththdlem  47712  perfectALTVlem1  47820  perfectALTVlem2  47821  blennngt2o2  48692