Theorem peano2nnd 12280

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 12275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  1c1 11153   + caddc 11155  ℕcn 12263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-nn 12264

This theorem is referenced by:  bcpasc  14356  relexpsucnnr  15060  o1fsum  15845  bpolydiflem  16086  eftlub  16141  eirrlem  16236  infpnlem1  16943  infpnlem2  16944  prmreclem4  16952  prmreclem5  16953  prmreclem6  16954  vdwlem6  17019  cayhamlem1  22887  ovolunlem1a  25544  ovolicc2lem3  25567  uniioombllem3  25633  uniioombllem4  25634  vieta1lem1  26366  vieta1lem2  26367  aaliou3lem2  26399  lgamgulmlem3  27088  lgamgulmlem4  27089  lgamgulmlem5  27090  lgamgulmlem6  27091  lgamgulm2  27093  lgamcvg2  27112  gamcvg  27113  gamcvg2lem  27116  regamcl  27118  relgamcl  27119  basellem1  27138  basellem2  27139  basellem3  27140  basellem4  27141  basellem5  27142  basellem6  27143  basellem7  27144  basellem8  27145  basellem9  27146  perfectlem1  27287  perfectlem2  27288  bclbnd  27338  lgsdilem2  27391  rplogsumlem2  27543  dchrisumlem2  27548  pntrsumbnd2  27625  pntrlog2bndlem2  27636  pntpbnd1a  27643  pntpbnd1  27644  pntpbnd2  27645  axlowdimlem16  28986  fzto1st  33105  psgnfzto1st  33107  isarchi3  33176  ofldchr  33323  smatrcl  33756  esumfzf  34049  esumpcvgval  34058  esumcvg  34066  dstfrvunirn  34455  dstfrvclim1  34458  subfacp1lem1  35163  subfacp1lem5  35168  subfaclim  35172  poimirlem7  37613  poimirlem15  37621  poimirlem17  37623  poimirlem19  37625  poimirlem28  37634  lcmineqlem11  42020  lcmineqlem18  42027  lcmineqlem19  42028  lcmineqlem20  42029  fimgmcyc  42520  4rexfrabdioph  42785  6rexfrabdioph  42786  pellfundge  42869  pellfundgt1  42870  limsup10exlem  45727  wallispilem5  46024  wallispi2lem1  46026  wallispi2  46028  fourierdlem47  46108  nnfoctbdjlem  46410  hoidmvlelem2  46551  vonioolem2  46636  vonicclem2  46639  fmtnof1  47459  lighneallem4b  47533  proththdlem  47537  perfectALTVlem1  47645  perfectALTVlem2  47646  blennngt2o2  48441