Theorem peano2nnd 12164

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 12159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  1c1 11029   + caddc 11031  ℕcn 12147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12148

This theorem is referenced by:  bcpasc  14246  relexpsucnnr  14950  o1fsum  15738  bpolydiflem  15979  eftlub  16036  eirrlem  16131  infpnlem1  16840  infpnlem2  16841  prmreclem4  16849  prmreclem5  16850  prmreclem6  16851  vdwlem6  16916  ofldchr  21533  cayhamlem1  22812  ovolunlem1a  25455  ovolicc2lem3  25478  uniioombllem3  25544  uniioombllem4  25545  vieta1lem1  26276  vieta1lem2  26277  aaliou3lem2  26309  lgamgulmlem3  26999  lgamgulmlem4  27000  lgamgulmlem5  27001  lgamgulmlem6  27002  lgamgulm2  27004  lgamcvg2  27023  gamcvg  27024  gamcvg2lem  27027  regamcl  27029  relgamcl  27030  basellem1  27049  basellem2  27050  basellem3  27051  basellem4  27052  basellem5  27053  basellem6  27054  basellem7  27055  basellem8  27056  basellem9  27057  perfectlem1  27198  perfectlem2  27199  bclbnd  27249  lgsdilem2  27302  rplogsumlem2  27454  dchrisumlem2  27459  pntrsumbnd2  27536  pntrlog2bndlem2  27547  pntpbnd1a  27554  pntpbnd1  27555  pntpbnd2  27556  axlowdimlem16  29011  fzto1st  33164  psgnfzto1st  33166  isarchi3  33248  smatrcl  33932  esumfzf  34205  esumpcvgval  34214  esumcvg  34222  dstfrvunirn  34611  dstfrvclim1  34614  subfacp1lem1  35352  subfacp1lem5  35357  subfaclim  35361  poimirlem7  37797  poimirlem15  37805  poimirlem17  37807  poimirlem19  37809  poimirlem28  37818  lcmineqlem11  42328  lcmineqlem18  42335  lcmineqlem19  42336  lcmineqlem20  42337  fimgmcyc  42826  4rexfrabdioph  43077  6rexfrabdioph  43078  pellfundge  43161  pellfundgt1  43162  limsup10exlem  46053  wallispilem5  46350  wallispi2lem1  46352  wallispi2  46354  fourierdlem47  46434  nnfoctbdjlem  46736  hoidmvlelem2  46877  vonioolem2  46962  vonicclem2  46965  fmtnof1  47818  lighneallem4b  47892  proththdlem  47896  perfectALTVlem1  48004  perfectALTVlem2  48005  blennngt2o2  48875