Theorem peano2nnd 12179

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 12174	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7362  1c1 11061   + caddc 11063  ℕcn 12162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-nn 12163

This theorem is referenced by:  bcpasc  14231  relexpsucnnr  14922  o1fsum  15709  bpolydiflem  15948  eftlub  16002  eirrlem  16097  infpnlem1  16793  infpnlem2  16794  prmreclem4  16802  prmreclem5  16803  prmreclem6  16804  vdwlem6  16869  cayhamlem1  22252  ovolunlem1a  24897  ovolicc2lem3  24920  uniioombllem3  24986  uniioombllem4  24987  vieta1lem1  25707  vieta1lem2  25708  aaliou3lem2  25740  lgamgulmlem3  26417  lgamgulmlem4  26418  lgamgulmlem5  26419  lgamgulmlem6  26420  lgamgulm2  26422  lgamcvg2  26441  gamcvg  26442  gamcvg2lem  26445  regamcl  26447  relgamcl  26448  basellem1  26467  basellem2  26468  basellem3  26469  basellem4  26470  basellem5  26471  basellem6  26472  basellem7  26473  basellem8  26474  basellem9  26475  perfectlem1  26614  perfectlem2  26615  bclbnd  26665  lgsdilem2  26718  rplogsumlem2  26870  dchrisumlem2  26875  pntrsumbnd2  26952  pntrlog2bndlem2  26963  pntpbnd1a  26970  pntpbnd1  26971  pntpbnd2  26972  axlowdimlem16  27969  fzto1st  32022  psgnfzto1st  32024  isarchi3  32093  ofldchr  32180  smatrcl  32466  esumfzf  32757  esumpcvgval  32766  esumcvg  32774  dstfrvunirn  33163  dstfrvclim1  33166  subfacp1lem1  33860  subfacp1lem5  33865  subfaclim  33869  poimirlem7  36158  poimirlem15  36166  poimirlem17  36168  poimirlem19  36170  poimirlem28  36179  lcmineqlem11  40569  lcmineqlem18  40576  lcmineqlem19  40577  lcmineqlem20  40578  4rexfrabdioph  41179  6rexfrabdioph  41180  pellfundge  41263  pellfundgt1  41264  limsup10exlem  44133  wallispilem5  44430  wallispi2lem1  44432  wallispi2  44434  fourierdlem47  44514  nnfoctbdjlem  44816  hoidmvlelem2  44957  vonioolem2  45042  vonicclem2  45045  fmtnof1  45847  lighneallem4b  45921  proththdlem  45925  perfectALTVlem1  46033  perfectALTVlem2  46034  blennngt2o2  46798