Theorem peano2nnd 12145

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 12140	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  1c1 11010   + caddc 11012  ℕcn 12128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-nn 12129

This theorem is referenced by:  bcpasc  14228  relexpsucnnr  14932  o1fsum  15720  bpolydiflem  15961  eftlub  16018  eirrlem  16113  infpnlem1  16822  infpnlem2  16823  prmreclem4  16831  prmreclem5  16832  prmreclem6  16833  vdwlem6  16898  ofldchr  21483  cayhamlem1  22751  ovolunlem1a  25395  ovolicc2lem3  25418  uniioombllem3  25484  uniioombllem4  25485  vieta1lem1  26216  vieta1lem2  26217  aaliou3lem2  26249  lgamgulmlem3  26939  lgamgulmlem4  26940  lgamgulmlem5  26941  lgamgulmlem6  26942  lgamgulm2  26944  lgamcvg2  26963  gamcvg  26964  gamcvg2lem  26967  regamcl  26969  relgamcl  26970  basellem1  26989  basellem2  26990  basellem3  26991  basellem4  26992  basellem5  26993  basellem6  26994  basellem7  26995  basellem8  26996  basellem9  26997  perfectlem1  27138  perfectlem2  27139  bclbnd  27189  lgsdilem2  27242  rplogsumlem2  27394  dchrisumlem2  27399  pntrsumbnd2  27476  pntrlog2bndlem2  27487  pntpbnd1a  27494  pntpbnd1  27495  pntpbnd2  27496  axlowdimlem16  28906  fzto1st  33054  psgnfzto1st  33056  isarchi3  33138  smatrcl  33779  esumfzf  34052  esumpcvgval  34061  esumcvg  34069  dstfrvunirn  34459  dstfrvclim1  34462  subfacp1lem1  35172  subfacp1lem5  35177  subfaclim  35181  poimirlem7  37627  poimirlem15  37635  poimirlem17  37637  poimirlem19  37639  poimirlem28  37648  lcmineqlem11  42032  lcmineqlem18  42039  lcmineqlem19  42040  lcmineqlem20  42041  fimgmcyc  42527  4rexfrabdioph  42791  6rexfrabdioph  42792  pellfundge  42875  pellfundgt1  42876  limsup10exlem  45773  wallispilem5  46070  wallispi2lem1  46072  wallispi2  46074  fourierdlem47  46154  nnfoctbdjlem  46456  hoidmvlelem2  46597  vonioolem2  46682  vonicclem2  46685  fmtnof1  47539  lighneallem4b  47613  proththdlem  47617  perfectALTVlem1  47725  perfectALTVlem2  47726  blennngt2o2  48597