Theorem peano2nnd 11704

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 11699	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7156  1c1 10589   + caddc 10591  ℕcn 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pr 5302  ax-un 7465

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7159  df-om 7586  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-nn 11688

This theorem is referenced by:  bcpasc  13744  relexpsucnnr  14445  o1fsum  15229  bpolydiflem  15469  eftlub  15523  eirrlem  15618  infpnlem1  16314  infpnlem2  16315  prmreclem4  16323  prmreclem5  16324  prmreclem6  16325  vdwlem6  16390  cayhamlem1  21579  ovolunlem1a  24209  ovolicc2lem3  24232  uniioombllem3  24298  uniioombllem4  24299  vieta1lem1  25018  vieta1lem2  25019  aaliou3lem2  25051  lgamgulmlem3  25728  lgamgulmlem4  25729  lgamgulmlem5  25730  lgamgulmlem6  25731  lgamgulm2  25733  lgamcvg2  25752  gamcvg  25753  gamcvg2lem  25756  regamcl  25758  relgamcl  25759  basellem1  25778  basellem2  25779  basellem3  25780  basellem4  25781  basellem5  25782  basellem6  25783  basellem7  25784  basellem8  25785  basellem9  25786  perfectlem1  25925  perfectlem2  25926  bclbnd  25976  lgsdilem2  26029  rplogsumlem2  26181  dchrisumlem2  26186  pntrsumbnd2  26263  pntrlog2bndlem2  26274  pntpbnd1a  26281  pntpbnd1  26282  pntpbnd2  26283  axlowdimlem16  26863  fzto1st  30908  psgnfzto1st  30910  isarchi3  30979  ofldchr  31051  smatrcl  31279  esumfzf  31568  esumpcvgval  31577  esumcvg  31585  dstfrvunirn  31972  dstfrvclim1  31975  subfacp1lem1  32669  subfacp1lem5  32674  subfaclim  32678  poimirlem7  35378  poimirlem15  35386  poimirlem17  35388  poimirlem19  35390  poimirlem28  35399  lcmineqlem11  39640  lcmineqlem18  39647  lcmineqlem19  39648  lcmineqlem20  39649  4rexfrabdioph  40147  6rexfrabdioph  40148  pellfundge  40231  pellfundgt1  40232  limsup10exlem  42815  wallispilem5  43112  wallispi2lem1  43114  wallispi2  43116  fourierdlem47  43196  nnfoctbdjlem  43495  hoidmvlelem2  43636  vonioolem2  43721  vonicclem2  43724  fmtnof1  44469  lighneallem4b  44543  proththdlem  44547  perfectALTVlem1  44655  perfectALTVlem2  44656  blennngt2o2  45420