Theorem peano2nnd 12181

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 12176	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  1c1 11047   + caddc 11049  ℕcn 12164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12165

This theorem is referenced by:  bcpasc  14264  relexpsucnnr  14968  o1fsum  15756  bpolydiflem  15997  eftlub  16054  eirrlem  16149  infpnlem1  16858  infpnlem2  16859  prmreclem4  16867  prmreclem5  16868  prmreclem6  16869  vdwlem6  16934  ofldchr  21519  cayhamlem1  22787  ovolunlem1a  25431  ovolicc2lem3  25454  uniioombllem3  25520  uniioombllem4  25521  vieta1lem1  26252  vieta1lem2  26253  aaliou3lem2  26285  lgamgulmlem3  26975  lgamgulmlem4  26976  lgamgulmlem5  26977  lgamgulmlem6  26978  lgamgulm2  26980  lgamcvg2  26999  gamcvg  27000  gamcvg2lem  27003  regamcl  27005  relgamcl  27006  basellem1  27025  basellem2  27026  basellem3  27027  basellem4  27028  basellem5  27029  basellem6  27030  basellem7  27031  basellem8  27032  basellem9  27033  perfectlem1  27174  perfectlem2  27175  bclbnd  27225  lgsdilem2  27278  rplogsumlem2  27430  dchrisumlem2  27435  pntrsumbnd2  27512  pntrlog2bndlem2  27523  pntpbnd1a  27530  pntpbnd1  27531  pntpbnd2  27532  axlowdimlem16  28938  fzto1st  33076  psgnfzto1st  33078  isarchi3  33157  smatrcl  33780  esumfzf  34053  esumpcvgval  34062  esumcvg  34070  dstfrvunirn  34460  dstfrvclim1  34463  subfacp1lem1  35160  subfacp1lem5  35165  subfaclim  35169  poimirlem7  37615  poimirlem15  37623  poimirlem17  37625  poimirlem19  37627  poimirlem28  37636  lcmineqlem11  42021  lcmineqlem18  42028  lcmineqlem19  42029  lcmineqlem20  42030  fimgmcyc  42516  4rexfrabdioph  42780  6rexfrabdioph  42781  pellfundge  42864  pellfundgt1  42865  limsup10exlem  45764  wallispilem5  46061  wallispi2lem1  46063  wallispi2  46065  fourierdlem47  46145  nnfoctbdjlem  46447  hoidmvlelem2  46588  vonioolem2  46673  vonicclem2  46676  fmtnof1  47530  lighneallem4b  47604  proththdlem  47608  perfectALTVlem1  47716  perfectALTVlem2  47717  blennngt2o2  48575