Theorem peano2nnd 12176

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 12171	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7370  1c1 11041   + caddc 11043  ℕcn 12159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-nn 12160

This theorem is referenced by:  bcpasc  14258  relexpsucnnr  14962  o1fsum  15750  bpolydiflem  15991  eftlub  16048  eirrlem  16143  infpnlem1  16852  infpnlem2  16853  prmreclem4  16861  prmreclem5  16862  prmreclem6  16863  vdwlem6  16928  ofldchr  21548  cayhamlem1  22827  ovolunlem1a  25470  ovolicc2lem3  25493  uniioombllem3  25559  uniioombllem4  25560  vieta1lem1  26291  vieta1lem2  26292  aaliou3lem2  26324  lgamgulmlem3  27014  lgamgulmlem4  27015  lgamgulmlem5  27016  lgamgulmlem6  27017  lgamgulm2  27019  lgamcvg2  27038  gamcvg  27039  gamcvg2lem  27042  regamcl  27044  relgamcl  27045  basellem1  27064  basellem2  27065  basellem3  27066  basellem4  27067  basellem5  27068  basellem6  27069  basellem7  27070  basellem8  27071  basellem9  27072  perfectlem1  27213  perfectlem2  27214  bclbnd  27264  lgsdilem2  27317  rplogsumlem2  27469  dchrisumlem2  27474  pntrsumbnd2  27551  pntrlog2bndlem2  27562  pntpbnd1a  27569  pntpbnd1  27570  pntpbnd2  27571  axlowdimlem16  29048  fzto1st  33203  psgnfzto1st  33205  isarchi3  33287  smatrcl  33980  esumfzf  34253  esumpcvgval  34262  esumcvg  34270  dstfrvunirn  34659  dstfrvclim1  34662  subfacp1lem1  35401  subfacp1lem5  35406  subfaclim  35410  poimirlem7  37907  poimirlem15  37915  poimirlem17  37917  poimirlem19  37919  poimirlem28  37928  lcmineqlem11  42438  lcmineqlem18  42445  lcmineqlem19  42446  lcmineqlem20  42447  fimgmcyc  42933  4rexfrabdioph  43184  6rexfrabdioph  43185  pellfundge  43268  pellfundgt1  43269  limsup10exlem  46159  wallispilem5  46456  wallispi2lem1  46458  wallispi2  46460  fourierdlem47  46540  nnfoctbdjlem  46842  hoidmvlelem2  46983  vonioolem2  47068  vonicclem2  47071  fmtnof1  47924  lighneallem4b  47998  proththdlem  48002  perfectALTVlem1  48110  perfectALTVlem2  48111  blennngt2o2  48981