Theorem peano2nnd 12210

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 12205	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  1c1 11076   + caddc 11078  ℕcn 12193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194

This theorem is referenced by:  bcpasc  14293  relexpsucnnr  14998  o1fsum  15786  bpolydiflem  16027  eftlub  16084  eirrlem  16179  infpnlem1  16888  infpnlem2  16889  prmreclem4  16897  prmreclem5  16898  prmreclem6  16899  vdwlem6  16964  cayhamlem1  22760  ovolunlem1a  25404  ovolicc2lem3  25427  uniioombllem3  25493  uniioombllem4  25494  vieta1lem1  26225  vieta1lem2  26226  aaliou3lem2  26258  lgamgulmlem3  26948  lgamgulmlem4  26949  lgamgulmlem5  26950  lgamgulmlem6  26951  lgamgulm2  26953  lgamcvg2  26972  gamcvg  26973  gamcvg2lem  26976  regamcl  26978  relgamcl  26979  basellem1  26998  basellem2  26999  basellem3  27000  basellem4  27001  basellem5  27002  basellem6  27003  basellem7  27004  basellem8  27005  basellem9  27006  perfectlem1  27147  perfectlem2  27148  bclbnd  27198  lgsdilem2  27251  rplogsumlem2  27403  dchrisumlem2  27408  pntrsumbnd2  27485  pntrlog2bndlem2  27496  pntpbnd1a  27503  pntpbnd1  27504  pntpbnd2  27505  axlowdimlem16  28891  fzto1st  33067  psgnfzto1st  33069  isarchi3  33148  ofldchr  33299  smatrcl  33793  esumfzf  34066  esumpcvgval  34075  esumcvg  34083  dstfrvunirn  34473  dstfrvclim1  34476  subfacp1lem1  35173  subfacp1lem5  35178  subfaclim  35182  poimirlem7  37628  poimirlem15  37636  poimirlem17  37638  poimirlem19  37640  poimirlem28  37649  lcmineqlem11  42034  lcmineqlem18  42041  lcmineqlem19  42042  lcmineqlem20  42043  fimgmcyc  42529  4rexfrabdioph  42793  6rexfrabdioph  42794  pellfundge  42877  pellfundgt1  42878  limsup10exlem  45777  wallispilem5  46074  wallispi2lem1  46076  wallispi2  46078  fourierdlem47  46158  nnfoctbdjlem  46460  hoidmvlelem2  46601  vonioolem2  46686  vonicclem2  46689  fmtnof1  47540  lighneallem4b  47614  proththdlem  47618  perfectALTVlem1  47726  perfectALTVlem2  47727  blennngt2o2  48585