Theorem peano2nnd 12186

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 12181	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7360  1c1 11034   + caddc 11036  ℕcn 12169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-nn 12170

This theorem is referenced by:  bcpasc  14278  relexpsucnnr  14982  o1fsum  15771  bpolydiflem  16014  eftlub  16071  eirrlem  16166  infpnlem1  16876  infpnlem2  16877  prmreclem4  16885  prmreclem5  16886  prmreclem6  16887  vdwlem6  16952  ofldchr  21555  cayhamlem1  22853  ovolunlem1a  25485  ovolicc2lem3  25508  uniioombllem3  25574  uniioombllem4  25575  vieta1lem1  26298  vieta1lem2  26299  aaliou3lem2  26331  lgamgulmlem3  27016  lgamgulmlem4  27017  lgamgulmlem5  27018  lgamgulmlem6  27019  lgamgulm2  27021  lgamcvg2  27040  gamcvg  27041  gamcvg2lem  27044  regamcl  27046  relgamcl  27047  basellem1  27066  basellem2  27067  basellem3  27068  basellem4  27069  basellem5  27070  basellem6  27071  basellem7  27072  basellem8  27073  basellem9  27074  perfectlem1  27214  perfectlem2  27215  bclbnd  27265  lgsdilem2  27318  rplogsumlem2  27470  dchrisumlem2  27475  pntrsumbnd2  27552  pntrlog2bndlem2  27563  pntpbnd1a  27570  pntpbnd1  27571  pntpbnd2  27572  axlowdimlem16  29048  fzto1st  33188  psgnfzto1st  33190  isarchi3  33272  smatrcl  33992  esumfzf  34265  esumpcvgval  34274  esumcvg  34282  dstfrvunirn  34671  dstfrvclim1  34674  subfacp1lem1  35422  subfacp1lem5  35427  subfaclim  35431  poimirlem7  38009  poimirlem15  38017  poimirlem17  38019  poimirlem19  38021  poimirlem28  38030  lcmineqlem11  42539  lcmineqlem18  42546  lcmineqlem19  42547  lcmineqlem20  42548  fimgmcyc  43035  4rexfrabdioph  43258  6rexfrabdioph  43259  pellfundge  43342  pellfundgt1  43343  limsup10exlem  46229  wallispilem5  46526  wallispi2lem1  46528  wallispi2  46530  fourierdlem47  46610  nnfoctbdjlem  46912  hoidmvlelem2  47053  vonioolem2  47138  vonicclem2  47141  fmtnof1  48027  lighneallem4b  48101  proththdlem  48105  perfectALTVlem1  48226  perfectALTVlem2  48227  blennngt2o2  49097