Theorem peano2nnd 12277

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 12272	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  1c1 11128   + caddc 11130  ℕcn 12260

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-nn 12261

This theorem is used by:  bcpasc  14387  relexpsucnnr  15100  o1fsum  15902  bpolydiflem  16144  eftlub  16201  eirrlem  16296  infpnlem1  17006  infpnlem2  17007  prmreclem4  17015  prmreclem5  17016  prmreclem6  17017  vdwlem6  17082  ofldchr  21790  cayhamlem1  23092  ovolunlem1a  25725  ovolicc2lem3  25748  uniioombllem3  25814  uniioombllem4  25815  vieta1lem1  26541  vieta1lem2  26542  aaliou3lem2  26576  lgamgulmlem3  27265  lgamgulmlem4  27266  lgamgulmlem5  27267  lgamgulmlem6  27268  lgamgulm2  27270  lgamcvg2  27289  gamcvg  27290  gamcvg2lem  27293  regamcl  27295  relgamcl  27296  basellem1  27315  basellem2  27316  basellem3  27317  basellem4  27318  basellem5  27319  basellem6  27320  basellem7  27321  basellem8  27322  basellem9  27323  perfectlem1  27463  perfectlem2  27464  bclbnd  27514  lgsdilem2  27567  rplogsumlem2  27719  dchrisumlem2  27724  pntrsumbnd2  27801  pntrlog2bndlem2  27812  pntpbnd1a  27819  pntpbnd1  27820  pntpbnd2  27821  axlowdimlem16  29400  fzto1st  33530  psgnfzto1st  33532  isarchi3  33614  smatrcl  34293  esumfzf  34566  esumpcvgval  34575  esumcvg  34583  dstfrvunirn  34973  dstfrvclim1  34976  subfacp1lem1  35745  subfacp1lem5  35750  subfaclim  35754  poimirlem7  38363  poimirlem15  38371  poimirlem17  38373  poimirlem19  38375  poimirlem28  38384  lcmineqlem11  42892  lcmineqlem18  42899  lcmineqlem19  42900  lcmineqlem20  42901  fimgmcyc  43403  4rexfrabdioph  43626  6rexfrabdioph  43627  pellfundge  43710  pellfundgt1  43711  limsup10exlem  46587  wallispilem5  46884  wallispi2lem1  46886  wallispi2  46888  fourierdlem47  46968  nnfoctbdjlem  47270  hoidmvlelem2  47411  vonioolem2  47496  vonicclem2  47499  fmtnof1  48425  lighneallem4b  48499  proththdlem  48503  perfectALTVlem1  48624  perfectALTVlem2  48625  blennngt2o2  49509