MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorinv 24740
Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorinv (𝐴 ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ioorinv
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13179 . . . 4 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2 ffn 6600 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3 ovelrn 7448 . . . 4 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏)))
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
5 ioorf.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
65ioorinv2 24739 . . . . . . . 8 ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
76fveq2d 6778 . . . . . . 7 ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = ((,)‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
8 df-ov 7278 . . . . . . 7 (𝑎(,)𝑏) = ((,)‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
97, 8eqtr4di 2796 . . . . . 6 ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏))
10 df-ne 2944 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
11 neeq1 3006 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
1210, 11bitr3id 285 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
13 2fveq3 6779 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((,)‘(𝐹𝐴)) = ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))))
14 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
1513, 14eqeq12d 2754 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴 ↔ ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏)))
1612, 15imbi12d 345 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏))))
179, 16mpbiri 257 . . . . 5 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴))
1817a1i 11 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴)))
1918rexlimivv 3221 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴))
204, 19sylbi 216 . 2 (𝐴 ∈ ran (,) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴))
21 ioorebas 13183 . . . . . . 7 (0(,)0) ∈ ran (,)
225ioorval 24738 . . . . . . 7 ((0(,)0) ∈ ran (,) → (𝐹‘(0(,)0)) = if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐹‘(0(,)0)) = if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩)
24 iooid 13107 . . . . . . 7 (0(,)0) = ∅
2524iftruei 4466 . . . . . 6 if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩
2623, 25eqtri 2766 . . . . 5 (𝐹‘(0(,)0)) = ⟨0, 0⟩
2726fveq2i 6777 . . . 4 ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))) = ((,)‘⟨0, 0⟩)
28 df-ov 7278 . . . 4 (0(,)0) = ((,)‘⟨0, 0⟩)
2927, 28eqtr4i 2769 . . 3 ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))) = (0(,)0)
3024eqeq2i 2751 . . . . . 6 (𝐴 = (0(,)0) ↔ 𝐴 = ∅)
3130biimpri 227 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = (0(,)0))
3231fveq2d 6778 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐹𝐴) = (𝐹‘(0(,)0)))
3332fveq2d 6778 . . 3 (𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))))
3429, 33, 313eqtr4a 2804 . 2 (𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴)
3520, 34pm2.61d2 181 1 (𝐴 ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  c0 4256  ifcif 4459  𝒫 cpw 4533  cop 4567  cmpt 5157   × cxp 5587  ran crn 5590   Fn wfn 6428  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  supcsup 9199  infcinf 9200  cr 10870  0cc0 10871  *cxr 11008   < clt 11009  (,)cioo 13079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-ioo 13083
This theorem is referenced by:  uniioombllem2  24747
  Copyright terms: Public domain W3C validator