MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorinv 25092
Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorinv (𝐴 ∈ ran (,) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem ioorinv
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13423 . . . 4 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
2 ffn 6717 . . . 4 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
3 ovelrn 7582 . . . 4 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏)))
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (𝐴 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏))
5 ioorf.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
65ioorinv2 25091 . . . . . . . 8 ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
76fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))) = ((,)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©))
8 df-ov 7411 . . . . . . 7 (π‘Ž(,)𝑏) = ((,)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
97, 8eqtr4di 2790 . . . . . 6 ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))) = (π‘Ž(,)𝑏))
10 df-ne 2941 . . . . . . . 8 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ Β¬ 𝐴 = βˆ…)
11 neeq1 3003 . . . . . . . 8 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝐴 β‰  βˆ… ↔ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…))
1210, 11bitr3id 284 . . . . . . 7 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… ↔ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…))
13 2fveq3 6896 . . . . . . . 8 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))))
14 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏))
1513, 14eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴 ↔ ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))) = (π‘Ž(,)𝑏)))
1612, 15imbi12d 344 . . . . . 6 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴) ↔ ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))) = (π‘Ž(,)𝑏))))
179, 16mpbiri 257 . . . . 5 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴))
1817a1i 11 . . . 4 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴)))
1918rexlimivv 3199 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴))
204, 19sylbi 216 . 2 (𝐴 ∈ ran (,) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴))
21 ioorebas 13427 . . . . . . 7 (0(,)0) ∈ ran (,)
225ioorval 25090 . . . . . . 7 ((0(,)0) ∈ ran (,) β†’ (πΉβ€˜(0(,)0)) = if((0(,)0) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (πΉβ€˜(0(,)0)) = if((0(,)0) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩)
24 iooid 13351 . . . . . . 7 (0(,)0) = βˆ…
2524iftruei 4535 . . . . . 6 if((0(,)0) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩
2623, 25eqtri 2760 . . . . 5 (πΉβ€˜(0(,)0)) = ⟨0, 0⟩
2726fveq2i 6894 . . . 4 ((,)β€˜(πΉβ€˜(0(,)0))) = ((,)β€˜βŸ¨0, 0⟩)
28 df-ov 7411 . . . 4 (0(,)0) = ((,)β€˜βŸ¨0, 0⟩)
2927, 28eqtr4i 2763 . . 3 ((,)β€˜(πΉβ€˜(0(,)0))) = (0(,)0)
3024eqeq2i 2745 . . . . . 6 (𝐴 = (0(,)0) ↔ 𝐴 = βˆ…)
3130biimpri 227 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ 𝐴 = (0(,)0))
3231fveq2d 6895 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜(0(,)0)))
3332fveq2d 6895 . . 3 (𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = ((,)β€˜(πΉβ€˜(0(,)0))))
3429, 33, 313eqtr4a 2798 . 2 (𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴)
3520, 34pm2.61d2 181 1 (𝐴 ∈ ran (,) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  supcsup 9434  infcinf 9435  β„cr 11108  0cc0 11109  β„*cxr 11246   < clt 11247  (,)cioo 13323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-ioo 13327
This theorem is referenced by:  uniioombllem2  25099
  Copyright terms: Public domain W3C validator