MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorinv 25523
Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorinv (𝐴 ∈ ran (,) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem ioorinv
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13462 . . . 4 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
2 ffn 6725 . . . 4 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
3 ovelrn 7601 . . . 4 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏)))
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (𝐴 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏))
5 ioorf.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
65ioorinv2 25522 . . . . . . . 8 ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
76fveq2d 6904 . . . . . . 7 ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))) = ((,)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©))
8 df-ov 7427 . . . . . . 7 (π‘Ž(,)𝑏) = ((,)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
97, 8eqtr4di 2785 . . . . . 6 ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))) = (π‘Ž(,)𝑏))
10 df-ne 2937 . . . . . . . 8 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ Β¬ 𝐴 = βˆ…)
11 neeq1 2999 . . . . . . . 8 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝐴 β‰  βˆ… ↔ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…))
1210, 11bitr3id 284 . . . . . . 7 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… ↔ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…))
13 2fveq3 6905 . . . . . . . 8 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))))
14 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏))
1513, 14eqeq12d 2743 . . . . . . 7 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴 ↔ ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))) = (π‘Ž(,)𝑏)))
1612, 15imbi12d 343 . . . . . 6 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴) ↔ ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))) = (π‘Ž(,)𝑏))))
179, 16mpbiri 257 . . . . 5 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴))
1817a1i 11 . . . 4 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴)))
1918rexlimivv 3195 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴))
204, 19sylbi 216 . 2 (𝐴 ∈ ran (,) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴))
21 ioorebas 13466 . . . . . . 7 (0(,)0) ∈ ran (,)
225ioorval 25521 . . . . . . 7 ((0(,)0) ∈ ran (,) β†’ (πΉβ€˜(0(,)0)) = if((0(,)0) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (πΉβ€˜(0(,)0)) = if((0(,)0) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩)
24 iooid 13390 . . . . . . 7 (0(,)0) = βˆ…
2524iftruei 4537 . . . . . 6 if((0(,)0) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩
2623, 25eqtri 2755 . . . . 5 (πΉβ€˜(0(,)0)) = ⟨0, 0⟩
2726fveq2i 6903 . . . 4 ((,)β€˜(πΉβ€˜(0(,)0))) = ((,)β€˜βŸ¨0, 0⟩)
28 df-ov 7427 . . . 4 (0(,)0) = ((,)β€˜βŸ¨0, 0⟩)
2927, 28eqtr4i 2758 . . 3 ((,)β€˜(πΉβ€˜(0(,)0))) = (0(,)0)
3024eqeq2i 2740 . . . . . 6 (𝐴 = (0(,)0) ↔ 𝐴 = βˆ…)
3130biimpri 227 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ 𝐴 = (0(,)0))
3231fveq2d 6904 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜(0(,)0)))
3332fveq2d 6904 . . 3 (𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = ((,)β€˜(πΉβ€˜(0(,)0))))
3429, 33, 313eqtr4a 2793 . 2 (𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴)
3520, 34pm2.61d2 181 1 (𝐴 ∈ ran (,) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  βˆƒwrex 3066  βˆ…c0 4324  ifcif 4530  π’« cpw 4604  βŸ¨cop 4636   ↦ cmpt 5233   Γ— cxp 5678  ran crn 5681   Fn wfn 6546  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  supcsup 9469  infcinf 9470  β„cr 11143  0cc0 11144  β„*cxr 11283   < clt 11284  (,)cioo 13362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-q 12969  df-ioo 13366
This theorem is referenced by:  uniioombllem2  25530
  Copyright terms: Public domain W3C validator