Theorem ioorinv 25477

Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ioorf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))

Assertion

Ref	Expression
ioorinv	⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ioorinv

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 13408	. . . 4 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2		ffn 6688	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3		ovelrn 7565	. . . 4 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏)))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
5		ioorf.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
6	5	ioorinv2 25476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
7	6	fveq2d 6862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = ((,)‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
8		df-ov 7390	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎(,)𝑏) = ((,)‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
9	7, 8	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏))
10		df-ne 2926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
11		neeq1 2987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
12	10, 11	bitr3id 285	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
13		2fveq3 6863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))))
14		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
15	13, 14	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴 ↔ ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏)))
16	12, 15	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏))))
17	9, 16	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴))
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)))
19	18	rexlimivv 3179	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴))
20	4, 19	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴))
21		ioorebas 13412	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)0) ∈ ran (,)
22	5	ioorval 25475	. . . . . . 7 ⊢ ((0(,)0) ∈ ran (,) → (𝐹‘(0(,)0)) = if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(0(,)0)) = if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩)
24		iooid 13334	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)0) = ∅
25	24	iftruei 4495	. . . . . 6 ⊢ if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩
26	23, 25	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘(0(,)0)) = ⟨0, 0⟩
27	26	fveq2i 6861	. . . 4 ⊢ ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))) = ((,)‘⟨0, 0⟩)
28		df-ov 7390	. . . 4 ⊢ (0(,)0) = ((,)‘⟨0, 0⟩)
29	27, 28	eqtr4i 2755	. . 3 ⊢ ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))) = (0(,)0)
30	24	eqeq2i 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (0(,)0) ↔ 𝐴 = ∅)
31	30	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = (0(,)0))
32	31	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘(0(,)0)))
33	32	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))))
34	29, 33, 31	3eqtr4a 2790	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)
35	20, 34	pm2.61d2 181	1 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  ∅c0 4296  ifcif 4488  𝒫 cpw 4563  ⟨cop 4595   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  ran crn 5639   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  supcsup 9391  infcinf 9392  ℝcr 11067  0cc0 11068  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208  (,)cioo 13306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-ioo 13310

This theorem is referenced by:  uniioombllem2  25484