Theorem ioorinv 25524

Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ioorf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))

Assertion

Ref	Expression
ioorinv	⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ioorinv

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 13354	. . . 4 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2		ffn 6659	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3		ovelrn 7531	. . . 4 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏)))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
5		ioorf.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
6	5	ioorinv2 25523	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
7	6	fveq2d 6835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = ((,)‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
8		df-ov 7358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎(,)𝑏) = ((,)‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
9	7, 8	eqtr4di 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏))
10		df-ne 2930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
11		neeq1 2991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
12	10, 11	bitr3id 285	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
13		2fveq3 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))))
14		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
15	13, 14	eqeq12d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴 ↔ ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏)))
16	12, 15	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏))))
17	9, 16	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴))
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)))
19	18	rexlimivv 3175	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴))
20	4, 19	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴))
21		ioorebas 13358	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)0) ∈ ran (,)
22	5	ioorval 25522	. . . . . . 7 ⊢ ((0(,)0) ∈ ran (,) → (𝐹‘(0(,)0)) = if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(0(,)0)) = if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩)
24		iooid 13280	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)0) = ∅
25	24	iftruei 4483	. . . . . 6 ⊢ if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩
26	23, 25	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘(0(,)0)) = ⟨0, 0⟩
27	26	fveq2i 6834	. . . 4 ⊢ ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))) = ((,)‘⟨0, 0⟩)
28		df-ov 7358	. . . 4 ⊢ (0(,)0) = ((,)‘⟨0, 0⟩)
29	27, 28	eqtr4i 2759	. . 3 ⊢ ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))) = (0(,)0)
30	24	eqeq2i 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (0(,)0) ↔ 𝐴 = ∅)
31	30	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = (0(,)0))
32	31	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘(0(,)0)))
33	32	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))))
34	29, 33, 31	3eqtr4a 2794	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)
35	20, 34	pm2.61d2 181	1 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057  ∅c0 4282  ifcif 4476  𝒫 cpw 4551  ⟨cop 4583   ↦ cmpt 5176   × cxp 5619  ran crn 5622   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  supcsup 9335  infcinf 9336  ℝcr 11016  0cc0 11017  ℝ^*cxr 11156   < clt 11157  (,)cioo 13252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-q 12853  df-ioo 13256

This theorem is referenced by:  uniioombllem2  25531