MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorinv 24169
Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorinv (𝐴 ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ioorinv
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 12827 . . . 4 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2 ffn 6507 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3 ovelrn 7316 . . . 4 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏)))
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
5 ioorf.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
65ioorinv2 24168 . . . . . . . 8 ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
76fveq2d 6667 . . . . . . 7 ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = ((,)‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
8 df-ov 7151 . . . . . . 7 (𝑎(,)𝑏) = ((,)‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
97, 8syl6eqr 2872 . . . . . 6 ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏))
10 df-ne 3015 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
11 neeq1 3076 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
1210, 11syl5bbr 287 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
13 2fveq3 6668 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((,)‘(𝐹𝐴)) = ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))))
14 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
1513, 14eqeq12d 2835 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴 ↔ ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏)))
1612, 15imbi12d 347 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏))))
179, 16mpbiri 260 . . . . 5 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴))
1817a1i 11 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴)))
1918rexlimivv 3290 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴))
204, 19sylbi 219 . 2 (𝐴 ∈ ran (,) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴))
21 ioorebas 12831 . . . . . . 7 (0(,)0) ∈ ran (,)
225ioorval 24167 . . . . . . 7 ((0(,)0) ∈ ran (,) → (𝐹‘(0(,)0)) = if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐹‘(0(,)0)) = if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩)
24 iooid 12758 . . . . . . 7 (0(,)0) = ∅
2524iftruei 4472 . . . . . 6 if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩
2623, 25eqtri 2842 . . . . 5 (𝐹‘(0(,)0)) = ⟨0, 0⟩
2726fveq2i 6666 . . . 4 ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))) = ((,)‘⟨0, 0⟩)
28 df-ov 7151 . . . 4 (0(,)0) = ((,)‘⟨0, 0⟩)
2927, 28eqtr4i 2845 . . 3 ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))) = (0(,)0)
3024eqeq2i 2832 . . . . . 6 (𝐴 = (0(,)0) ↔ 𝐴 = ∅)
3130biimpri 230 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = (0(,)0))
3231fveq2d 6667 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐹𝐴) = (𝐹‘(0(,)0)))
3332fveq2d 6667 . . 3 (𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))))
3429, 33, 313eqtr4a 2880 . 2 (𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴)
3520, 34pm2.61d2 182 1 (𝐴 ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  wrex 3137  c0 4289  ifcif 4465  𝒫 cpw 4537  cop 4565  cmpt 5137   × cxp 5546  ran crn 5549   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  supcsup 8896  infcinf 8897  cr 10528  0cc0 10529  *cxr 10666   < clt 10667  (,)cioo 12730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-ioo 12734
This theorem is referenced by:  uniioombllem2  24176
  Copyright terms: Public domain W3C validator