Theorem ioorinv 25735

Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ioorf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))

Assertion

Ref	Expression
ioorinv	⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ioorinv

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 13469	. . . 4 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2		ffn 6705	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3		ovelrn 7586	. . . 4 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏)))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
5		ioorf.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
6	5	ioorinv2 25734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
7	6	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = ((,)‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
8		df-ov 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎(,)𝑏) = ((,)‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
9	7, 8	eqtr4di 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏))
10		df-ne 2959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
11		neeq1 3020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
12	10, 11	bitr3id 288	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
13		2fveq3 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))))
14		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
15	13, 14	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴 ↔ ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏)))
16	12, 15	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏))))
17	9, 16	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴))
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)))
19	18	rexlimivv 3207	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴))
20	4, 19	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴))
21		ioorebas 13473	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)0) ∈ ran (,)
22	5	ioorval 25733	. . . . . . 7 ⊢ ((0(,)0) ∈ ran (,) → (𝐹‘(0(,)0)) = if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(0(,)0)) = if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩)
24		iooid 13395	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)0) = ∅
25	24	iftruei 4494	. . . . . 6 ⊢ if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩
26	23, 25	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘(0(,)0)) = ⟨0, 0⟩
27	26	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))) = ((,)‘⟨0, 0⟩)
28		df-ov 7413	. . . 4 ⊢ (0(,)0) = ((,)‘⟨0, 0⟩)
29	27, 28	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))) = (0(,)0)
30	24	eqeq2i 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (0(,)0) ↔ 𝐴 = ∅)
31	30	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = (0(,)0))
32	31	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘(0(,)0)))
33	32	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))))
34	29, 33, 31	3eqtr4a 2824	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)
35	20, 34	pm2.61d2 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  ∅c0 4286  ifcif 4487  𝒫 cpw 4562  ⟨cop 4595   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659  ran crn 5662   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  supcsup 9396  infcinf 9397  ℝcr 11094  0cc0 11095  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238  (,)cioo 13367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-ioo 13371

This theorem is referenced by:  uniioombllem2  25742