Theorem ioorinv 25700

Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ioorf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))

Assertion

Ref	Expression
ioorinv	⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ioorinv

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 13470	. . . 4 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2		ffn 6703	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3		ovelrn 7584	. . . 4 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏)))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
5		ioorf.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
6	5	ioorinv2 25699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
7	6	fveq2d 6883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = ((,)‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
8		df-ov 7411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎(,)𝑏) = ((,)‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
9	7, 8	eqtr4di 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏))
10		df-ne 2965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
11		neeq1 3026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
12	10, 11	bitr3id 288	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
13		2fveq3 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))))
14		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
15	13, 14	eqeq12d 2785	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴 ↔ ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏)))
16	12, 15	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏))))
17	9, 16	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴))
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)))
19	18	rexlimivv 3213	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴))
20	4, 19	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴))
21		ioorebas 13474	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)0) ∈ ran (,)
22	5	ioorval 25698	. . . . . . 7 ⊢ ((0(,)0) ∈ ran (,) → (𝐹‘(0(,)0)) = if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(0(,)0)) = if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩)
24		iooid 13396	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)0) = ∅
25	24	iftruei 4496	. . . . . 6 ⊢ if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩
26	23, 25	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘(0(,)0)) = ⟨0, 0⟩
27	26	fveq2i 6882	. . . 4 ⊢ ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))) = ((,)‘⟨0, 0⟩)
28		df-ov 7411	. . . 4 ⊢ (0(,)0) = ((,)‘⟨0, 0⟩)
29	27, 28	eqtr4i 2795	. . 3 ⊢ ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))) = (0(,)0)
30	24	eqeq2i 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (0(,)0) ↔ 𝐴 = ∅)
31	30	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = (0(,)0))
32	31	fveq2d 6883	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘(0(,)0)))
33	32	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))))
34	29, 33, 31	3eqtr4a 2830	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)
35	20, 34	pm2.61d2 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  ∅c0 4294  ifcif 4489  𝒫 cpw 4564  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5193   × cxp 5657  ran crn 5660   Fn wfn 6529  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  supcsup 9396  infcinf 9397  ℝcr 11095  0cc0 11096  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239  (,)cioo 13368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-q 12969  df-ioo 13372

This theorem is referenced by:  uniioombllem2  25707