MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorinv 25456
Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorinv (𝐴 ∈ ran (,) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem ioorinv
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13427 . . . 4 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
2 ffn 6710 . . . 4 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
3 ovelrn 7579 . . . 4 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏)))
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (𝐴 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏))
5 ioorf.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
65ioorinv2 25455 . . . . . . . 8 ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
76fveq2d 6888 . . . . . . 7 ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))) = ((,)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©))
8 df-ov 7407 . . . . . . 7 (π‘Ž(,)𝑏) = ((,)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
97, 8eqtr4di 2784 . . . . . 6 ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))) = (π‘Ž(,)𝑏))
10 df-ne 2935 . . . . . . . 8 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ Β¬ 𝐴 = βˆ…)
11 neeq1 2997 . . . . . . . 8 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝐴 β‰  βˆ… ↔ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…))
1210, 11bitr3id 285 . . . . . . 7 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… ↔ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…))
13 2fveq3 6889 . . . . . . . 8 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))))
14 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏))
1513, 14eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴 ↔ ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))) = (π‘Ž(,)𝑏)))
1612, 15imbi12d 344 . . . . . 6 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴) ↔ ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))) = (π‘Ž(,)𝑏))))
179, 16mpbiri 258 . . . . 5 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴))
1817a1i 11 . . . 4 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴)))
1918rexlimivv 3193 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴))
204, 19sylbi 216 . 2 (𝐴 ∈ ran (,) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴))
21 ioorebas 13431 . . . . . . 7 (0(,)0) ∈ ran (,)
225ioorval 25454 . . . . . . 7 ((0(,)0) ∈ ran (,) β†’ (πΉβ€˜(0(,)0)) = if((0(,)0) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (πΉβ€˜(0(,)0)) = if((0(,)0) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩)
24 iooid 13355 . . . . . . 7 (0(,)0) = βˆ…
2524iftruei 4530 . . . . . 6 if((0(,)0) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩
2623, 25eqtri 2754 . . . . 5 (πΉβ€˜(0(,)0)) = ⟨0, 0⟩
2726fveq2i 6887 . . . 4 ((,)β€˜(πΉβ€˜(0(,)0))) = ((,)β€˜βŸ¨0, 0⟩)
28 df-ov 7407 . . . 4 (0(,)0) = ((,)β€˜βŸ¨0, 0⟩)
2927, 28eqtr4i 2757 . . 3 ((,)β€˜(πΉβ€˜(0(,)0))) = (0(,)0)
3024eqeq2i 2739 . . . . . 6 (𝐴 = (0(,)0) ↔ 𝐴 = βˆ…)
3130biimpri 227 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ 𝐴 = (0(,)0))
3231fveq2d 6888 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜(0(,)0)))
3332fveq2d 6888 . . 3 (𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = ((,)β€˜(πΉβ€˜(0(,)0))))
3429, 33, 313eqtr4a 2792 . 2 (𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴)
3520, 34pm2.61d2 181 1 (𝐴 ∈ ran (,) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  π’« cpw 4597  βŸ¨cop 4629   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  ran crn 5670   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  supcsup 9434  infcinf 9435  β„cr 11108  0cc0 11109  β„*cxr 11248   < clt 11249  (,)cioo 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-ioo 13331
This theorem is referenced by:  uniioombllem2  25463
  Copyright terms: Public domain W3C validator