MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorinv 24963
Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorinv (𝐴 ∈ ran (,) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem ioorinv
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13373 . . . 4 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
2 ffn 6672 . . . 4 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
3 ovelrn 7534 . . . 4 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏)))
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (𝐴 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏))
5 ioorf.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
65ioorinv2 24962 . . . . . . . 8 ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
76fveq2d 6850 . . . . . . 7 ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))) = ((,)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©))
8 df-ov 7364 . . . . . . 7 (π‘Ž(,)𝑏) = ((,)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
97, 8eqtr4di 2791 . . . . . 6 ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))) = (π‘Ž(,)𝑏))
10 df-ne 2941 . . . . . . . 8 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ Β¬ 𝐴 = βˆ…)
11 neeq1 3003 . . . . . . . 8 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝐴 β‰  βˆ… ↔ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…))
1210, 11bitr3id 285 . . . . . . 7 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… ↔ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…))
13 2fveq3 6851 . . . . . . . 8 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))))
14 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏))
1513, 14eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴 ↔ ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))) = (π‘Ž(,)𝑏)))
1612, 15imbi12d 345 . . . . . 6 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴) ↔ ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏))) = (π‘Ž(,)𝑏))))
179, 16mpbiri 258 . . . . 5 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴))
1817a1i 11 . . . 4 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴)))
1918rexlimivv 3193 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴))
204, 19sylbi 216 . 2 (𝐴 ∈ ran (,) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴))
21 ioorebas 13377 . . . . . . 7 (0(,)0) ∈ ran (,)
225ioorval 24961 . . . . . . 7 ((0(,)0) ∈ ran (,) β†’ (πΉβ€˜(0(,)0)) = if((0(,)0) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (πΉβ€˜(0(,)0)) = if((0(,)0) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩)
24 iooid 13301 . . . . . . 7 (0(,)0) = βˆ…
2524iftruei 4497 . . . . . 6 if((0(,)0) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩
2623, 25eqtri 2761 . . . . 5 (πΉβ€˜(0(,)0)) = ⟨0, 0⟩
2726fveq2i 6849 . . . 4 ((,)β€˜(πΉβ€˜(0(,)0))) = ((,)β€˜βŸ¨0, 0⟩)
28 df-ov 7364 . . . 4 (0(,)0) = ((,)β€˜βŸ¨0, 0⟩)
2927, 28eqtr4i 2764 . . 3 ((,)β€˜(πΉβ€˜(0(,)0))) = (0(,)0)
3024eqeq2i 2746 . . . . . 6 (𝐴 = (0(,)0) ↔ 𝐴 = βˆ…)
3130biimpri 227 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ 𝐴 = (0(,)0))
3231fveq2d 6850 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜(0(,)0)))
3332fveq2d 6850 . . 3 (𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = ((,)β€˜(πΉβ€˜(0(,)0))))
3429, 33, 313eqtr4a 2799 . 2 (𝐴 = βˆ… β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴)
3520, 34pm2.61d2 181 1 (𝐴 ∈ ran (,) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π΄)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  βˆ…c0 4286  ifcif 4490  π’« cpw 4564  βŸ¨cop 4596   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  ran crn 5638   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  supcsup 9384  infcinf 9385  β„cr 11058  0cc0 11059  β„*cxr 11196   < clt 11197  (,)cioo 13273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-ioo 13277
This theorem is referenced by:  uniioombllem2  24970
  Copyright terms: Public domain W3C validator