Theorem ioorinv 25561

Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ioorf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))

Assertion

Ref	Expression
ioorinv	⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ioorinv

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 13391	. . . 4 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2		ffn 6655	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3		ovelrn 7532	. . . 4 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏)))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
5		ioorf.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
6	5	ioorinv2 25560	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
7	6	fveq2d 6831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = ((,)‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
8		df-ov 7359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎(,)𝑏) = ((,)‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
9	7, 8	eqtr4di 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏))
10		df-ne 2935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
11		neeq1 2996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
12	10, 11	bitr3id 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
13		2fveq3 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))))
14		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
15	13, 14	eqeq12d 2755	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴 ↔ ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏)))
16	12, 15	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏))))
17	9, 16	mpbiri 259	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴))
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)))
19	18	rexlimivv 3181	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴))
20	4, 19	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴))
21		ioorebas 13395	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)0) ∈ ran (,)
22	5	ioorval 25559	. . . . . . 7 ⊢ ((0(,)0) ∈ ran (,) → (𝐹‘(0(,)0)) = if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(0(,)0)) = if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩)
24		iooid 13317	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)0) = ∅
25	24	iftruei 4461	. . . . . 6 ⊢ if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩
26	23, 25	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘(0(,)0)) = ⟨0, 0⟩
27	26	fveq2i 6830	. . . 4 ⊢ ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))) = ((,)‘⟨0, 0⟩)
28		df-ov 7359	. . . 4 ⊢ (0(,)0) = ((,)‘⟨0, 0⟩)
29	27, 28	eqtr4i 2765	. . 3 ⊢ ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))) = (0(,)0)
30	24	eqeq2i 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (0(,)0) ↔ 𝐴 = ∅)
31	30	biimpri 229	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = (0(,)0))
32	31	fveq2d 6831	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘(0(,)0)))
33	32	fveq2d 6831	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))))
34	29, 33, 31	3eqtr4a 2800	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)
35	20, 34	pm2.61d2 182	1 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐹‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  ∅c0 4261  ifcif 4454  𝒫 cpw 4529  ⟨cop 4561   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616  ran crn 5619   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  supcsup 9343  infcinf 9344  ℝcr 11028  0cc0 11029  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170  (,)cioo 13289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-ioo 13293

This theorem is referenced by:  uniioombllem2  25568