MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorcl 24964
Description: The function 𝐹 does not always return real numbers, but it does on intervals of finite volume. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorcl ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem ioorcl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorf.1 . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
21ioorf 24960 . . . . 5 𝐹:ran (,)⟢( ≀ ∩ (ℝ* Γ— ℝ*))
32ffvelcdmi 7038 . . . 4 (𝐴 ∈ ran (,) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ* Γ— ℝ*)))
43adantr 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ* Γ— ℝ*)))
54elin1d 4162 . 2 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ≀ )
61ioorval 24961 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ran (,) β†’ (πΉβ€˜π΄) = if(𝐴 = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩))
76adantr 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) = if(𝐴 = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩))
8 iftrue 4496 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ if(𝐴 = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩)
97, 8sylan9eq 2793 . . . 4 (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) = ⟨0, 0⟩)
10 0re 11165 . . . . 5 0 ∈ ℝ
11 opelxpi 5674 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ Γ— ℝ))
1210, 10, 11mp2an 691 . . . 4 ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ Γ— ℝ)
139, 12eqeltrdi 2842 . . 3 (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
14 ioof 13373 . . . . . 6 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
15 ffn 6672 . . . . . 6 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
16 ovelrn 7534 . . . . . 6 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏)))
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . 5 (𝐴 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏))
181ioorinv2 24962 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
1918adantl 483 . . . . . . . . 9 (((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
20 ioorcl2 24959 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… ∧ (vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
2120ancoms 460 . . . . . . . . . 10 (((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
22 opelxpi 5674 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (ℝ Γ— ℝ))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (ℝ Γ— ℝ))
2419, 23eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
25 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (vol*β€˜π΄) = (vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)))
2625eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ↔ (vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ))
27 neeq1 3003 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝐴 β‰  βˆ… ↔ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…))
2826, 27anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ↔ ((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…)))
29 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)))
3029eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ) ↔ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ (ℝ Γ— ℝ)))
3128, 30imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ)) ↔ (((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ (ℝ Γ— ℝ))))
3224, 31mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ)))
3332a1i 11 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ))))
3433rexlimivv 3193 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ)))
3517, 34sylbi 216 . . . 4 (𝐴 ∈ ran (,) β†’ (((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ)))
3635impl 457 . . 3 (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
3713, 36pm2.61dane 3029 . 2 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
385, 37elind 4158 1 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3913  βˆ…c0 4286  ifcif 4490  π’« cpw 4564  βŸ¨cop 4596   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  ran crn 5638   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  supcsup 9384  infcinf 9385  β„cr 11058  0cc0 11059  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  (,)cioo 13273  vol*covol 24849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761  df-ovol 24851  df-vol 24852
This theorem is referenced by:  uniioombllem2  24970
  Copyright terms: Public domain W3C validator