Theorem ioorcl 25697

Description: The function 𝐹 does not always return real numbers, but it does on intervals of finite volume. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ioorf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))

Assertion

Ref	Expression
ioorcl	⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ioorcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorf.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
2	1	ioorf 25693	. . . . 5 ⊢ 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
3	2	ffvelcdmi 7068	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → (𝐹‘𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
4	3	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
5	4	elin1d 4159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ≤ )
6	1	ioorval 25694	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → (𝐹‘𝐴) = if(𝐴 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩))
7	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) = if(𝐴 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩))
8		iftrue 4489	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩)
9	7, 8	sylan9eq 2820	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐹‘𝐴) = ⟨0, 0⟩)
10		0re 11198	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		opelxpi 5689	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
12	10, 10, 11	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ × ℝ)
13	9, 12	eqeltrdi 2873	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))
14		ioof 13465	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15		ffn 6695	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
16		ovelrn 7576	. . . . . 6 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏)))
17	14, 15, 16	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
18	1	ioorinv2 25695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
19	18	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
20		ioorcl2 25692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
21	20	ancoms 463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
22		opelxpi 5689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
24	19, 23	eqeltrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ (ℝ × ℝ))
25		fveq2 6871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (vol*‘𝐴) = (vol*‘(𝑎(,)𝑏)))
26	25	eleq1d 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ))
27		neeq1 3022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
28	26, 27	anbi12d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅)))
29		fveq2 6871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)))
30	29	eleq1d 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ) ↔ (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ (ℝ × ℝ)))
31	28, 30	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)) ↔ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ (ℝ × ℝ))))
32	24, 31	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)))
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))))
34	33	rexlimivv 3207	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)))
35	17, 34	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)))
36	35	impl 460	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))
37	13, 36	pm2.61dane 3047	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))
38	5, 37	elind 4155	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089   ∩ cin 3906  ∅c0 4288  ifcif 4483  𝒫 cpw 4558  ⟨cop 4591   ↦ cmpt 5186   × cxp 5650  ran crn 5653   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  supcsup 9388  infcinf 9389  ℝcr 11087  0cc0 11088  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232  (,)cioo 13363  vol*covol 25582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-rest 17465  df-topgen 17486  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-top 23012  df-topon 23029  df-bases 23064  df-cmp 23505  df-ovol 25584  df-vol 25585

This theorem is referenced by:  uniioombllem2  25703