MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorcl 25093
Description: The function 𝐹 does not always return real numbers, but it does on intervals of finite volume. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorcl ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem ioorcl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorf.1 . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
21ioorf 25089 . . . . 5 𝐹:ran (,)⟢( ≀ ∩ (ℝ* Γ— ℝ*))
32ffvelcdmi 7085 . . . 4 (𝐴 ∈ ran (,) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ* Γ— ℝ*)))
43adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ* Γ— ℝ*)))
54elin1d 4198 . 2 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ≀ )
61ioorval 25090 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ran (,) β†’ (πΉβ€˜π΄) = if(𝐴 = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩))
76adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) = if(𝐴 = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩))
8 iftrue 4534 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ if(𝐴 = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩)
97, 8sylan9eq 2792 . . . 4 (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) = ⟨0, 0⟩)
10 0re 11215 . . . . 5 0 ∈ ℝ
11 opelxpi 5713 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ Γ— ℝ))
1210, 10, 11mp2an 690 . . . 4 ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ Γ— ℝ)
139, 12eqeltrdi 2841 . . 3 (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
14 ioof 13423 . . . . . 6 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
15 ffn 6717 . . . . . 6 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
16 ovelrn 7582 . . . . . 6 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏)))
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . 5 (𝐴 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏))
181ioorinv2 25091 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
1918adantl 482 . . . . . . . . 9 (((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
20 ioorcl2 25088 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… ∧ (vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
2120ancoms 459 . . . . . . . . . 10 (((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
22 opelxpi 5713 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (ℝ Γ— ℝ))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (ℝ Γ— ℝ))
2419, 23eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
25 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (vol*β€˜π΄) = (vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)))
2625eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ↔ (vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ))
27 neeq1 3003 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝐴 β‰  βˆ… ↔ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…))
2826, 27anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ↔ ((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…)))
29 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)))
3029eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ) ↔ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ (ℝ Γ— ℝ)))
3128, 30imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ)) ↔ (((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ (ℝ Γ— ℝ))))
3224, 31mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ)))
3332a1i 11 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ))))
3433rexlimivv 3199 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ)))
3517, 34sylbi 216 . . . 4 (𝐴 ∈ ran (,) β†’ (((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ)))
3635impl 456 . . 3 (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
3713, 36pm2.61dane 3029 . 2 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
385, 37elind 4194 1 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  supcsup 9434  infcinf 9435  β„cr 11108  0cc0 11109  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  (,)cioo 13323  vol*covol 24978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cmp 22890  df-ovol 24980  df-vol 24981
This theorem is referenced by:  uniioombllem2  25099
  Copyright terms: Public domain W3C validator