Theorem ioorcl 25450

Description: The function 𝐹 does not always return real numbers, but it does on intervals of finite volume. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ioorf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))

Assertion

Ref	Expression
ioorcl	⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ioorcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorf.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
2	1	ioorf 25446	. . . . 5 ⊢ 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
3	2	ffvelcdmi 7076	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → (𝐹‘𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
5	4	elin1d 4191	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ≤ )
6	1	ioorval 25447	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → (𝐹‘𝐴) = if(𝐴 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) = if(𝐴 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩))
8		iftrue 4527	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩)
9	7, 8	sylan9eq 2784	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐹‘𝐴) = ⟨0, 0⟩)
10		0re 11215	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		opelxpi 5704	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
12	10, 10, 11	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ × ℝ)
13	9, 12	eqeltrdi 2833	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))
14		ioof 13425	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15		ffn 6708	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
16		ovelrn 7577	. . . . . 6 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏)))
17	14, 15, 16	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
18	1	ioorinv2 25448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
20		ioorcl2 25445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
21	20	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
22		opelxpi 5704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
24	19, 23	eqeltrd 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ (ℝ × ℝ))
25		fveq2 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (vol*‘𝐴) = (vol*‘(𝑎(,)𝑏)))
26	25	eleq1d 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ))
27		neeq1 2995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
28	26, 27	anbi12d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅)))
29		fveq2 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)))
30	29	eleq1d 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ) ↔ (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ (ℝ × ℝ)))
31	28, 30	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)) ↔ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ (ℝ × ℝ))))
32	24, 31	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)))
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))))
34	33	rexlimivv 3191	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)))
35	17, 34	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)))
36	35	impl 455	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))
37	13, 36	pm2.61dane 3021	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))
38	5, 37	elind 4187	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062   ∩ cin 3940  ∅c0 4315  ifcif 4521  𝒫 cpw 4595  ⟨cop 4627   ↦ cmpt 5222   × cxp 5665  ran crn 5668   Fn wfn 6529  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  supcsup 9432  infcinf 9433  ℝcr 11106  0cc0 11107  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247   ≤ cle 11248  (,)cioo 13325  vol*covol 25335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-top 22740  df-topon 22757  df-bases 22793  df-cmp 23235  df-ovol 25337  df-vol 25338

This theorem is referenced by:  uniioombllem2  25456