Theorem ioorcl 25626

Description: The function 𝐹 does not always return real numbers, but it does on intervals of finite volume. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ioorf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))

Assertion

Ref	Expression
ioorcl	⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ioorcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorf.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
2	1	ioorf 25622	. . . . 5 ⊢ 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
3	2	ffvelcdmi 7103	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → (𝐹‘𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
5	4	elin1d 4214	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ≤ )
6	1	ioorval 25623	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → (𝐹‘𝐴) = if(𝐴 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) = if(𝐴 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩))
8		iftrue 4537	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩)
9	7, 8	sylan9eq 2795	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐹‘𝐴) = ⟨0, 0⟩)
10		0re 11261	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		opelxpi 5726	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
12	10, 10, 11	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ × ℝ)
13	9, 12	eqeltrdi 2847	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))
14		ioof 13484	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15		ffn 6737	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
16		ovelrn 7609	. . . . . 6 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏)))
17	14, 15, 16	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
18	1	ioorinv2 25624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
20		ioorcl2 25621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
21	20	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
22		opelxpi 5726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
24	19, 23	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ (ℝ × ℝ))
25		fveq2 6907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (vol*‘𝐴) = (vol*‘(𝑎(,)𝑏)))
26	25	eleq1d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ))
27		neeq1 3001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
28	26, 27	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅)))
29		fveq2 6907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)))
30	29	eleq1d 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ) ↔ (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ (ℝ × ℝ)))
31	28, 30	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)) ↔ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ (ℝ × ℝ))))
32	24, 31	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)))
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))))
34	33	rexlimivv 3199	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)))
35	17, 34	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)))
36	35	impl 455	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))
37	13, 36	pm2.61dane 3027	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))
38	5, 37	elind 4210	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605  ⟨cop 4637   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  ran crn 5690   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  infcinf 9479  ℝcr 11152  0cc0 11153  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  (,)cioo 13384  vol*covol 25511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cmp 23411  df-ovol 25513  df-vol 25514

This theorem is referenced by:  uniioombllem2  25632