Theorem ioorcl 25546

Description: The function 𝐹 does not always return real numbers, but it does on intervals of finite volume. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ioorf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))

Assertion

Ref	Expression
ioorcl	⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ioorcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorf.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
2	1	ioorf 25542	. . . . 5 ⊢ 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
3	2	ffvelcdmi 7037	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → (𝐹‘𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
5	4	elin1d 4158	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ≤ )
6	1	ioorval 25543	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → (𝐹‘𝐴) = if(𝐴 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) = if(𝐴 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩))
8		iftrue 4487	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩)
9	7, 8	sylan9eq 2792	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐹‘𝐴) = ⟨0, 0⟩)
10		0re 11146	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		opelxpi 5669	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
12	10, 10, 11	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ × ℝ)
13	9, 12	eqeltrdi 2845	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))
14		ioof 13375	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15		ffn 6670	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
16		ovelrn 7544	. . . . . 6 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏)))
17	14, 15, 16	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
18	1	ioorinv2 25544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
20		ioorcl2 25541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
21	20	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
22		opelxpi 5669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
24	19, 23	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ (ℝ × ℝ))
25		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (vol*‘𝐴) = (vol*‘(𝑎(,)𝑏)))
26	25	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ))
27		neeq1 2995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
28	26, 27	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅)))
29		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)))
30	29	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ) ↔ (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ (ℝ × ℝ)))
31	28, 30	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)) ↔ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ (ℝ × ℝ))))
32	24, 31	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)))
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))))
34	33	rexlimivv 3180	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)))
35	17, 34	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran (,) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)))
36	35	impl 455	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))
37	13, 36	pm2.61dane 3020	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))
38	5, 37	elind 4154	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∩ cin 3902  ∅c0 4287  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556  ⟨cop 4588   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ran crn 5633   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  supcsup 9355  infcinf 9356  ℝcr 11037  0cc0 11038  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  (,)cioo 13273  vol*covol 25431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-rest 17354  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-cmp 23343  df-ovol 25433  df-vol 25434

This theorem is referenced by:  uniioombllem2  25552