MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorcl 25519
Description: The function 𝐹 does not always return real numbers, but it does on intervals of finite volume. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorcl ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem ioorcl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorf.1 . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
21ioorf 25515 . . . . 5 𝐹:ran (,)⟢( ≀ ∩ (ℝ* Γ— ℝ*))
32ffvelcdmi 7093 . . . 4 (𝐴 ∈ ran (,) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ* Γ— ℝ*)))
43adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ* Γ— ℝ*)))
54elin1d 4198 . 2 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ≀ )
61ioorval 25516 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ran (,) β†’ (πΉβ€˜π΄) = if(𝐴 = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩))
76adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) = if(𝐴 = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩))
8 iftrue 4535 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ if(𝐴 = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩)
97, 8sylan9eq 2788 . . . 4 (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) = ⟨0, 0⟩)
10 0re 11247 . . . . 5 0 ∈ ℝ
11 opelxpi 5715 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ Γ— ℝ))
1210, 10, 11mp2an 691 . . . 4 ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ Γ— ℝ)
139, 12eqeltrdi 2837 . . 3 (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
14 ioof 13457 . . . . . 6 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
15 ffn 6722 . . . . . 6 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
16 ovelrn 7597 . . . . . 6 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏)))
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . 5 (𝐴 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏))
181ioorinv2 25517 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
1918adantl 481 . . . . . . . . 9 (((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
20 ioorcl2 25514 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ… ∧ (vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
2120ancoms 458 . . . . . . . . . 10 (((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
22 opelxpi 5715 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (ℝ Γ— ℝ))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (ℝ Γ— ℝ))
2419, 23eqeltrd 2829 . . . . . . . 8 (((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
25 fveq2 6897 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (vol*β€˜π΄) = (vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)))
2625eleq1d 2814 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ↔ (vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ))
27 neeq1 3000 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝐴 β‰  βˆ… ↔ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…))
2826, 27anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ↔ ((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…)))
29 fveq2 6897 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)))
3029eleq1d 2814 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ) ↔ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ (ℝ Γ— ℝ)))
3128, 30imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ)) ↔ (((vol*β€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž(,)𝑏) β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(,)𝑏)) ∈ (ℝ Γ— ℝ))))
3224, 31mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ)))
3332a1i 11 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ))))
3433rexlimivv 3196 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ)))
3517, 34sylbi 216 . . . 4 (𝐴 ∈ ran (,) β†’ (((vol*β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ)))
3635impl 455 . . 3 (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
3713, 36pm2.61dane 3026 . 2 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
385, 37elind 4194 1 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   ∩ cin 3946  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603  βŸ¨cop 4635   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5676  ran crn 5679   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  supcsup 9464  infcinf 9465  β„cr 11138  0cc0 11139  β„*cxr 11278   < clt 11279   ≀ cle 11280  (,)cioo 13357  vol*covol 25404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-rest 17404  df-topgen 17425  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-cmp 23304  df-ovol 25406  df-vol 25407
This theorem is referenced by:  uniioombllem2  25525
  Copyright terms: Public domain W3C validator