Theorem ipolublem 49784

Description: Lemma for ipolubdm 49785 and ipolub 49786. (Contributed by Zhi Wang, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipolublem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
ipolublem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑋 ⊆ 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑋 ≤ 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐼(𝑦,𝑧)   ≤ (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ipolublem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unissb 4906	. . 3 ⊢ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ⊆ 𝑋)
2		ipolub.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3	2	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝑉)
4		ipolub.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
5	4	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐹)
6		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
7	5, 6	sseldd 3938	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐹)
8		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐹)
9		ipolub.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
10		ipolublem.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐼)
11	9, 10	ipole 18585	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (𝑦 ≤ 𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋))
12	3, 7, 8, 11	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ≤ 𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋))
13	12	ralbidva 3186	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ⊆ 𝑋))
14	1, 13	bitr4id 293	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋))
15		unissb 4906	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ⊆ 𝑧)
16	3	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝑉)
17	7	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐹)
18		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐹)
19	9, 10	ipole 18585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑧))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑧))
21	20	ralbidva 3186	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ⊆ 𝑧))
22	15, 21	bitr4id 293	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧))
23	2	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ 𝑉)
24		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑋 ∈ 𝐹)
25		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑧 ∈ 𝐹)
26	9, 10	ipole 18585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑋 ≤ 𝑧 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑧))
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑋 ≤ 𝑧 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑧))
28	27	bicomd 226	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑋 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑋 ≤ 𝑧))
29	22, 28	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑋 ⊆ 𝑧) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑋 ≤ 𝑧)))
30	29	ralbidva 3186	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑋 ⊆ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑋 ≤ 𝑧)))
31	14, 30	anbi12d 643	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑋 ⊆ 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑋 ≤ 𝑧))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  lecple 17312  toInccipo 18578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ocomp 17326  df-ipo 18579

This theorem is referenced by:  ipolubdm  49785  ipolub  49786