Theorem ipolublem 49823

Description: Lemma for ipolubdm 49824 and ipolub 49825. (Contributed by Zhi Wang, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipolublem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
ipolublem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑋 ⊆ 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑋 ≤ 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐼(𝑦, 𝑧)   ≤ (𝑦, 𝑧)   𝑉(𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem ipolublem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unissb 4908	. . 3 ⊢ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ⊆ 𝑋)
2		ipolub.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3	2	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝑉)
4		ipolub.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
5	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐹)
6		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
7	5, 6	sseldd 3939	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐹)
8		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐹)
9		ipolub.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
10		ipolublem.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐼)
11	9, 10	ipole 18614	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (𝑦 ≤ 𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋))
12	3, 7, 8, 11	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ≤ 𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋))
13	12	ralbidva 3188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ⊆ 𝑋))
14	1, 13	bitr4id 293	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋))
15		unissb 4908	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ⊆ 𝑧)
16	3	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝑉)
17	7	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐹)
18		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐹)
19	9, 10	ipole 18614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑧))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑧))
21	20	ralbidva 3188	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ⊆ 𝑧))
22	15, 21	bitr4id 293	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧))
23	2	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ 𝑉)
24		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑋 ∈ 𝐹)
25		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑧 ∈ 𝐹)
26	9, 10	ipole 18614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑋 ≤ 𝑧 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑧))
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑋 ≤ 𝑧 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑧))
28	27	bicomd 226	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑋 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑋 ≤ 𝑧))
29	22, 28	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑋 ⊆ 𝑧) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑋 ≤ 𝑧)))
30	29	ralbidva 3188	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑋 ⊆ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑋 ≤ 𝑧)))
31	14, 30	anbi12d 644	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑋 ⊆ 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑋 ≤ 𝑧))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  lecple 17341  toInccipo 18607

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ocomp 17355  df-ipo 18608

This theorem is used by:  ipolubdm  49824  ipolub  49825