Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ipolublem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipolublem 47699
Description: Lemma for ipolubdm 47700 and ipolub 47701. (Contributed by Zhi Wang, 28-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ipolub.i 𝐼 = (toIncβ€˜πΉ)
ipolub.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐹)
ipolublem.l ≀ = (leβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
ipolublem ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ ((βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑧 β†’ 𝑋 βŠ† 𝑧)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑋 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑋 ≀ 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋,𝑧   πœ‘,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐼(𝑦,𝑧)   ≀ (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑦,𝑧)
Proof of Theorem ipolublem
StepHypRef Expression
1 unissb 4943 . . 3 (βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑋 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 βŠ† 𝑋)
2 ipolub.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
32ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
4 ipolub.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐹)
54ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐹)
6 simpr 485 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
75, 6sseldd 3983 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐹)
8 simplr 767 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝐹)
9 ipolub.i . . . . . 6 𝐼 = (toIncβ€˜πΉ)
10 ipolublem.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΌ)
119, 10ipole 18491 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ (𝑦 ≀ 𝑋 ↔ 𝑦 βŠ† 𝑋))
123, 7, 8, 11syl3anc 1371 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 ≀ 𝑋 ↔ 𝑦 βŠ† 𝑋))
1312ralbidva 3175 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑋 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 βŠ† 𝑋))
141, 13bitr4id 289 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ (βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑋 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑋))
15 unissb 4943 . . . . 5 (βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 βŠ† 𝑧)
163adantlr 713 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
177adantlr 713 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐹)
18 simplr 767 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝐹)
199, 10ipole 18491 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ 𝑦 βŠ† 𝑧))
2016, 17, 18, 19syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ 𝑦 βŠ† 𝑧))
2120ralbidva 3175 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 βŠ† 𝑧))
2215, 21bitr4id 289 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ (βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧))
232ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
24 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐹)
25 simpr 485 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ 𝑧 ∈ 𝐹)
269, 10ipole 18491 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ (𝑋 ≀ 𝑧 ↔ 𝑋 βŠ† 𝑧))
2723, 24, 25, 26syl3anc 1371 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ (𝑋 ≀ 𝑧 ↔ 𝑋 βŠ† 𝑧))
2827bicomd 222 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ (𝑋 βŠ† 𝑧 ↔ 𝑋 ≀ 𝑧))
2922, 28imbi12d 344 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ ((βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑧 β†’ 𝑋 βŠ† 𝑧) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑋 ≀ 𝑧)))
3029ralbidva 3175 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑧 β†’ 𝑋 βŠ† 𝑧) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑋 ≀ 𝑧)))
3114, 30anbi12d 631 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ ((βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑧 β†’ 𝑋 βŠ† 𝑧)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑋 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑋 ≀ 𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  lecple 17208  toInccipo 18484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ocomp 17222  df-ipo 18485
This theorem is referenced by:  ipolubdm  47700  ipolub  47701
  Copyright terms: Public domain W3C validator