Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ipolublem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipolublem 46906
Description: Lemma for ipolubdm 46907 and ipolub 46908. (Contributed by Zhi Wang, 28-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ipolub.i 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f (𝜑𝐹𝑉)
ipolub.s (𝜑𝑆𝐹)
ipolublem.l = (le‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
ipolublem ((𝜑𝑋𝐹) → (( 𝑆𝑋 ∧ ∀𝑧𝐹 ( 𝑆𝑧𝑋𝑧)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑋 ∧ ∀𝑧𝐹 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑋 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐼(𝑦,𝑧)   (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ipolublem
StepHypRef Expression
1 unissb 4899 . . 3 ( 𝑆𝑋 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑋)
2 ipolub.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝑉)
32ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐹𝑉)
4 ipolub.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝐹)
54ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑆𝐹)
6 simpr 486 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
75, 6sseldd 3944 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐹)
8 simplr 768 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑋𝐹)
9 ipolub.i . . . . . 6 𝐼 = (toInc‘𝐹)
10 ipolublem.l . . . . . 6 = (le‘𝐼)
119, 10ipole 18383 . . . . 5 ((𝐹𝑉𝑦𝐹𝑋𝐹) → (𝑦 𝑋𝑦𝑋))
123, 7, 8, 11syl3anc 1372 . . . 4 (((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑦 𝑋𝑦𝑋))
1312ralbidva 3171 . . 3 ((𝜑𝑋𝐹) → (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑋 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑋))
141, 13bitr4id 290 . 2 ((𝜑𝑋𝐹) → ( 𝑆𝑋 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 𝑋))
15 unissb 4899 . . . . 5 ( 𝑆𝑧 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑧)
163adantlr 714 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑧𝐹) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐹𝑉)
177adantlr 714 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑧𝐹) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐹)
18 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑧𝐹) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑧𝐹)
199, 10ipole 18383 . . . . . . 7 ((𝐹𝑉𝑦𝐹𝑧𝐹) → (𝑦 𝑧𝑦𝑧))
2016, 17, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑧𝐹) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑦 𝑧𝑦𝑧))
2120ralbidva 3171 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑧𝐹) → (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑧))
2215, 21bitr4id 290 . . . 4 (((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑧𝐹) → ( 𝑆𝑧 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧))
232ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑧𝐹) → 𝐹𝑉)
24 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑧𝐹) → 𝑋𝐹)
25 simpr 486 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑧𝐹) → 𝑧𝐹)
269, 10ipole 18383 . . . . . 6 ((𝐹𝑉𝑋𝐹𝑧𝐹) → (𝑋 𝑧𝑋𝑧))
2723, 24, 25, 26syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑧𝐹) → (𝑋 𝑧𝑋𝑧))
2827bicomd 222 . . . 4 (((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑧𝐹) → (𝑋𝑧𝑋 𝑧))
2922, 28imbi12d 345 . . 3 (((𝜑𝑋𝐹) ∧ 𝑧𝐹) → (( 𝑆𝑧𝑋𝑧) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑋 𝑧)))
3029ralbidva 3171 . 2 ((𝜑𝑋𝐹) → (∀𝑧𝐹 ( 𝑆𝑧𝑋𝑧) ↔ ∀𝑧𝐹 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑋 𝑧)))
3114, 30anbi12d 632 1 ((𝜑𝑋𝐹) → (( 𝑆𝑋 ∧ ∀𝑧𝐹 ( 𝑆𝑧𝑋𝑧)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑋 ∧ ∀𝑧𝐹 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑋 𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3063  wss 3909   cuni 4864   class class class wbr 5104  cfv 6494  lecple 17100  toInccipo 18376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-7 12180  df-8 12181  df-9 12182  df-n0 12373  df-z 12459  df-dec 12578  df-uz 12723  df-fz 13380  df-struct 16979  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ocomp 17114  df-ipo 18377
This theorem is referenced by:  ipolubdm  46907  ipolub  46908
  Copyright terms: Public domain W3C validator