Theorem ipolubdm 48968

Description: The domain of the LUB of the inclusion poset. (Contributed by Zhi Wang, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipolub.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
ipolubdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})

Assertion

Ref	Expression
ipolubdm	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipolubdm

Dummy variables 𝑡 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipolub.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
2		ipolub.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18472	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
7		ipolub.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
8		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
9	3, 2, 1, 8	ipolublem 48967	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧 → 𝑡(le‘𝐼)𝑧))))
10	3	ipopos 18477	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
12	5, 6, 7, 9, 11	lubeldm2d 48939	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐹 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)))))
13	1, 12	mpbirand 707	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))))
14		ipolubdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
15	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
16		intubeu 48965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐹 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ 𝑡 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}))
17	16	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐹 ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑡 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
18	17	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑡 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
19	15, 18	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑇 = 𝑡)
20		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑡 ∈ 𝐹)
21	19, 20	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑇 ∈ 𝐹)
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) → 𝑇 ∈ 𝐹))
23		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → 𝑇 ∈ 𝐹)
24		intubeu 48965	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)) ↔ 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}))
25	24	biimparc 479	. . . 4 ⊢ ((𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
26	14, 25	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
27		sseq2 3970	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ↔ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑇))
28		sseq1 3969	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑧))
29	28	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧) ↔ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
30	29	ralbidv 3156	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
31	27, 30	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧))))
32	22, 23, 26, 31	rspceb2dv 3589	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))
33	13, 32	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3402   ⊆ wss 3911  ∪ cuni 4867  ∩ cint 4906  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  lecple 17203  Posetcpo 18248  lubclub 18250  toInccipo 18468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ocomp 17217  df-proset 18235  df-poset 18254  df-lub 18285  df-ipo 18469

This theorem is referenced by:  mreclat  48978  topclat  48979