Theorem ipolubdm 47700

Description: The domain of the LUB of the inclusion poset. (Contributed by Zhi Wang, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipolub.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
ipolubdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})

Assertion

Ref	Expression
ipolubdm	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipolubdm

Dummy variables 𝑡 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipolub.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
2		ipolub.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18489	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
7		ipolub.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
8		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
9	3, 2, 1, 8	ipolublem 47699	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧 → 𝑡(le‘𝐼)𝑧))))
10	3	ipopos 18494	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
12	5, 6, 7, 9, 11	lubeldm2d 47679	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐹 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)))))
13	1, 12	mpbirand 704	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))))
14		ipolubdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
15	14	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
16		intubeu 47697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐹 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ 𝑡 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}))
17	16	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐹 ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑡 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
18	17	adantll 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑡 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
19	15, 18	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑇 = 𝑡)
20		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑡 ∈ 𝐹)
21	19, 20	eqeltrd 2832	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑇 ∈ 𝐹)
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) → 𝑇 ∈ 𝐹))
23		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → 𝑇 ∈ 𝐹)
24		intubeu 47697	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)) ↔ 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}))
25	24	biimparc 479	. . . 4 ⊢ ((𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
26	14, 25	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
27		sseq2 4008	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ↔ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑇))
28		sseq1 4007	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑧))
29	28	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧) ↔ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
30	29	ralbidv 3176	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
31	27, 30	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧))))
32	22, 23, 26, 31	rspceb2dv 47576	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))
33	13, 32	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3431   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908  ∩ cint 4950  dom cdm 5676  ‘cfv 6543  Basecbs 17149  lecple 17209  Posetcpo 18265  lubclub 18267  toInccipo 18485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ocomp 17223  df-proset 18253  df-poset 18271  df-lub 18304  df-ipo 18486

This theorem is referenced by:  mreclat  47710  topclat  47711