Theorem ipolubdm 49785

Description: The domain of the LUB of the inclusion poset. (Contributed by Zhi Wang, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipolub.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
ipolubdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})

Assertion

Ref	Expression
ipolubdm	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipolubdm

Dummy variables 𝑡 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipolub.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
2		ipolub.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18582	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
7		ipolub.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
9	3, 2, 1, 8	ipolublem 49784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧 → 𝑡(le‘𝐼)𝑧))))
10	3	ipopos 18587	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
12	5, 6, 7, 9, 11	lubeldm2d 49756	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐹 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)))))
13	1, 12	mpbirand 719	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))))
14		ipolubdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
15	14	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
16		intubeu 49782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐹 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ 𝑡 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}))
17	16	biimpa 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐹 ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑡 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
18	17	adantll 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑡 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
19	15, 18	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑇 = 𝑡)
20		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑡 ∈ 𝐹)
21	19, 20	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑇 ∈ 𝐹)
22	21	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) → 𝑇 ∈ 𝐹))
23		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → 𝑇 ∈ 𝐹)
24		intubeu 49782	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)) ↔ 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}))
25	24	biimparc 484	. . . 4 ⊢ ((𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
26	14, 25	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
27		sseq2 3963	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ↔ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑇))
28		sseq1 3962	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑧))
29	28	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧) ↔ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
30	29	ralbidv 3188	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
31	27, 30	anbi12d 643	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧))))
32	22, 23, 26, 31	rspceb2dv 3585	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))
33	13, 32	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4872  ∩ cint 4912  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  lecple 17312  Posetcpo 18358  lubclub 18360  toInccipo 18578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ocomp 17326  df-proset 18345  df-poset 18364  df-lub 18395  df-ipo 18579

This theorem is referenced by:  mreclat  49795  topclat  49796