Theorem ipolubdm 48313

Description: The domain of the LUB of the inclusion poset. (Contributed by Zhi Wang, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipolub.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
ipolubdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})

Assertion

Ref	Expression
ipolubdm	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipolubdm

Dummy variables 𝑡 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipolub.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
2		ipolub.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18556	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
7		ipolub.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
8		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
9	3, 2, 1, 8	ipolublem 48312	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧 → 𝑡(le‘𝐼)𝑧))))
10	3	ipopos 18561	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
12	5, 6, 7, 9, 11	lubeldm2d 48292	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐹 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)))))
13	1, 12	mpbirand 705	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))))
14		ipolubdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
15	14	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
16		intubeu 48310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐹 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ 𝑡 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}))
17	16	biimpa 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐹 ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑡 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
18	17	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑡 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
19	15, 18	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑇 = 𝑡)
20		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑡 ∈ 𝐹)
21	19, 20	eqeltrd 2826	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑇 ∈ 𝐹)
22	21	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) → 𝑇 ∈ 𝐹))
23		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → 𝑇 ∈ 𝐹)
24		intubeu 48310	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)) ↔ 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}))
25	24	biimparc 478	. . . 4 ⊢ ((𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
26	14, 25	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
27		sseq2 4006	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ↔ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑇))
28		sseq1 4005	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑧))
29	28	imbi2d 339	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧) ↔ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
30	29	ralbidv 3168	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
31	27, 30	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧))))
32	22, 23, 26, 31	rspceb2dv 3612	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))
33	13, 32	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3419   ⊆ wss 3947  ∪ cuni 4913  ∩ cint 4954  dom cdm 5682  ‘cfv 6554  Basecbs 17213  lecple 17273  Posetcpo 18332  lubclub 18334  toInccipo 18552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ocomp 17287  df-proset 18320  df-poset 18338  df-lub 18371  df-ipo 18553

This theorem is referenced by:  mreclat  48323  topclat  48324