Theorem ipolubdm 49478

Description: The domain of the LUB of the inclusion poset. (Contributed by Zhi Wang, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipolub.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
ipolubdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})

Assertion

Ref	Expression
ipolubdm	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipolubdm

Dummy variables 𝑡 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipolub.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
2		ipolub.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18492	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
7		ipolub.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
9	3, 2, 1, 8	ipolublem 49477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧 → 𝑡(le‘𝐼)𝑧))))
10	3	ipopos 18497	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
12	5, 6, 7, 9, 11	lubeldm2d 49449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐹 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)))))
13	1, 12	mpbirand 708	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))))
14		ipolubdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
15	14	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
16		intubeu 49475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐹 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ 𝑡 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}))
17	16	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐹 ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑡 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
18	17	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑡 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
19	15, 18	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑇 = 𝑡)
20		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑡 ∈ 𝐹)
21	19, 20	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) ∧ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧))) → 𝑇 ∈ 𝐹)
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) → 𝑇 ∈ 𝐹))
23		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → 𝑇 ∈ 𝐹)
24		intubeu 49475	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)) ↔ 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}))
25	24	biimparc 479	. . . 4 ⊢ ((𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
26	14, 25	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
27		sseq2 3949	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ↔ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑇))
28		sseq1 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑧))
29	28	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧) ↔ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
30	29	ralbidv 3161	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧)))
31	27, 30	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑇 ⊆ 𝑧))))
32	22, 23, 26, 31	rspceb2dv 3569	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑡 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑧 → 𝑡 ⊆ 𝑧)) ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))
33	13, 32	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851  ∩ cint 4890  dom cdm 5626  ‘cfv 6494  Basecbs 17174  lecple 17222  Posetcpo 18268  lubclub 18270  toInccipo 18488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ocomp 17236  df-proset 18255  df-poset 18274  df-lub 18305  df-ipo 18489

This theorem is referenced by:  mreclat  49488  topclat  49489