Theorem ipotset 18565

Description: Topology of the inclusion poset. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipoval.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipole.l	⊢ ≤ = (le‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
ipotset	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐼))

Proof of Theorem ipotset

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6880	. . 3 ⊢ (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}) ∈ V
2		ipostr 18561	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩}) Struct ⟨1, ;11⟩
3		tsetid 17382	. . . 4 ⊢ TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
4		snsspr2 4773	. . . . 5 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩}
5		ssun1 4130	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩})
6	4, 5	sstri 3945	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩})
7	2, 3, 6	strfv 17239	. . 3 ⊢ ((ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}) ∈ V → (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}) = (TopSet‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩})))
8	1, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}) = (TopSet‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩}))
9		ipole.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐼)
10		ipoval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
11	10	ipolerval 18564	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼))
12	9, 11	eqtr4id 2816	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ≤ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})
13	12	fveq2d 6871	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}))
14		eqid 2762	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}
15	10, 14	ipoval 18562	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐼 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩}))
16	15	fveq2d 6871	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝐼) = (TopSet‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩})))
17	8, 13, 16	3eqtr4a 2823	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {crab 3414  Vcvv 3454   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4582  {cpr 4584  ⟨cop 4588  ∪ cuni 4865  {copab 5162   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6521  1c1 11074  ;cdc 12688  ndxcnx 17229  Basecbs 17245  TopSetcts 17292  lecple 17293  occoc 17294  ordTopcordt 17529  toInccipo 18559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ocomp 17307  df-ipo 18560

This theorem is referenced by: (None)