Theorem ipostr 18732

Description: The structure of df-ipo 18731 is a structure defining indices up to 11. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ipostr	⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩}) Struct ⟨1, ;11⟩

Proof of Theorem ipostr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12373	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		basendx 17425	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
3		1lt9 12578	. . 3 ⊢ 1 < 9
4		9nn 12468	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5		tsetndx 17552	. . 3 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
6	1, 2, 3, 4, 5	strle2 17366	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨1, 9⟩
7		10nn 12861	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
8		plendx 17566	. . 3 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		1nn0 12649	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		0nn0 12648	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		0lt1 11865	. . . 4 ⊢ 0 < 1
12	9, 10, 1, 11	declt 12874	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
13	9, 1	decnncl 12865	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
14		ocndx 17581	. . 3 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
15	7, 8, 12, 13, 14	strle2 17366	. 2 ⊢ {⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩} Struct ⟨;10, ;11⟩
16		9lt10 12978	. 2 ⊢ 9 < ;10
17	6, 15, 16	strleun 17364	1 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩}) Struct ⟨1, ;11⟩

This proof depends on syntax axioms:   ∪ cun 4152  {cpr 4590  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  0cc0 11227  1c1 11228  9c9 12431  ;cdc 12841   Struct cstr 17353  ndxcnx 17400  Basecbs 17416  TopSetcts 17463  lecple 17464  occoc 17465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ocomp 17478

This theorem is used by:  ipobas  18734  ipolerval  18735  ipotset  18736