Theorem ipostr 18544

Description: The structure of df-ipo 18543 is a structure defining indices up to 11. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ipostr	⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩}) Struct ⟨1, ;11⟩

Proof of Theorem ipostr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12256	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		basendx 17242	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
3		1lt9 12451	. . 3 ⊢ 1 < 9
4		9nn 12343	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5		tsetndx 17371	. . 3 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
6	1, 2, 3, 4, 5	strle2 17183	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨1, 9⟩
7		10nn 12729	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
8		plendx 17385	. . 3 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		1nn0 12522	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		0nn0 12521	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		0lt1 11764	. . . 4 ⊢ 0 < 1
12	9, 10, 1, 11	declt 12741	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
13	9, 1	decnncl 12733	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
14		ocndx 17400	. . 3 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
15	7, 8, 12, 13, 14	strle2 17183	. 2 ⊢ {⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩} Struct ⟨;10, ;11⟩
16		9lt10 12844	. 2 ⊢ 9 < ;10
17	6, 15, 16	strleun 17181	1 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩}) Struct ⟨1, ;11⟩

Syntax hints:   ∪ cun 3929  {cpr 4608  ⟨cop 4612   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  0cc0 11134  1c1 11135  9c9 12307  ;cdc 12713   Struct cstr 17170  ndxcnx 17217  Basecbs 17233  TopSetcts 17282  lecple 17283  occoc 17284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ocomp 17297

This theorem is referenced by:  ipobas  18546  ipolerval  18547  ipotset  18548