MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscrng2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscrng2 19305
Description: A commutative ring is a ring whose multiplication is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
iscrng2 (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iscrng2
StepHypRef Expression
1 eqid 2819 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21iscrng 19296 . 2 (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
31ringmgp 19295 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4 ringcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
51, 4mgpbas 19237 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
6 ringcl.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
71, 6mgpplusg 19235 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
85, 7iscmn 18906 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
98baib 538 . . . 4 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
103, 9syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
1110pm5.32i 577 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
122, 11bitri 277 1 (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3136  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  .rcmulr 16558  Mndcmnd 17903  CMndccmn 18898  mulGrpcmgp 19231  Ringcrg 19289  CRingccrg 19290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-cmn 18900  df-mgp 19232  df-ring 19291  df-cring 19292
This theorem is referenced by:  primefld  19576  quscrng  20005  mat0dimcrng  21071  mat1dimcrng  21078  dmatcrng  21103  scmatcrng  21122
  Copyright terms: Public domain W3C validator