MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crngcom 19232
Description: A commutative ring's multiplication operation is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
crngcom ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))

Proof of Theorem crngcom
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21crngmgp 19225 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3 ringcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
41, 3mgpbas 19165 . . 3 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5 ringcl.t . . . 4 · = (.r𝑅)
61, 5mgpplusg 19163 . . 3 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
74, 6cmncom 18843 . 2 (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
82, 7syl3an1 1157 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6352  (class class class)co 7148  Basecbs 16473  .rcmulr 16556  CMndccmn 18826  mulGrpcmgp 19159  CRingccrg 19218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-plusg 16568  df-cmn 18828  df-mgp 19160  df-cring 19220
This theorem is referenced by:  crngoppr  19297  unitmulclb  19335  idsrngd  19553  rmodislmodlem  19621  lmhmvsca  19737  quscrng  19932  psrcom  20108  psrass23  20109  mplcoe2  20168  frlmphl  20841  mamutpos  20983  mat1dimcrng  21002  dmatcrng  21027  scmatcrng  21046  mdetrsca  21128  mdetmul  21148  cramerimp  21211  fta1glem1  24674  rdivmuldivd  30776  extdg1id  30939  mdetlap  30983
  Copyright terms: Public domain W3C validator