MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimcrng 20652
Description: The algebra of matrices with dimension 1 over a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimcrng ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)

Proof of Theorem mat1dimcrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 8308 . . 3 {𝐸} ∈ Fin
2 crngring 18913 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 474 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
4 mat1dim.a . . . 4 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
54matring 20617 . . 3 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
61, 3, 5sylancr 583 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
7 mat1dim.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
8 mat1dim.o . . . . . . 7 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
94, 7, 8mat1dimelbas 20646 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}))
104, 7, 8mat1dimelbas 20646 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}))
119, 10anbi12d 626 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
122, 11sylan 577 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
13 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
14 simprl 789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
15 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
16 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑅) = (.r𝑅)
177, 16crngcom 18917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) = (𝑏(.r𝑅)𝑎))
1813, 14, 15, 17syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) = (𝑏(.r𝑅)𝑎))
1918opeq2d 4631 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩ = ⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩)
2019sneqd 4410 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩} = {⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩})
212anim1i 610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉))
224, 7, 8mat1dimmul 20651 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩})
2321, 22sylan 577 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩})
24 pm3.22 453 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑏𝐵𝑎𝐵))
254, 7, 8mat1dimmul 20651 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑏𝐵𝑎𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩})
2621, 24, 25syl2an 591 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩})
2720, 23, 263eqtr4d 2872 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
2827expr 450 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) → (𝑏𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
2928adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑏𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
3029imp 397 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
3130adantr 474 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
32 oveq12 6915 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
3332ex 403 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩})))
3433ad2antlr 720 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩})))
3534imp 397 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
36 oveq12 6915 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
3736expcom 404 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
3837ad2antlr 720 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
3938imp 397 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
4031, 35, 393eqtr4d 2872 . . . . . . 7 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
4140rexlimdva2 3244 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4241rexlimdva2 3244 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → (∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))))
4342impd 400 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ((∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4412, 43sylbid 232 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4544ralrimivv 3180 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
46 eqid 2826 . . 3 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
47 eqid 2826 . . 3 (.r𝐴) = (.r𝐴)
4846, 47iscrng2 18918 . 2 (𝐴 ∈ CRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
496, 45, 48sylanbrc 580 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3118  wrex 3119  {csn 4398  cop 4404  cfv 6124  (class class class)co 6906  Fincfn 8223  Basecbs 16223  .rcmulr 16307  Ringcrg 18902  CRingccrg 18903   Mat cmat 20581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-sup 8618  df-oi 8685  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-hash 13412  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-hom 16330  df-cco 16331  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-prds 16462  df-pws 16464  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-mhm 17689  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-mulg 17896  df-subg 17943  df-ghm 18010  df-cntz 18101  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-cring 18905  df-subrg 19135  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-sra 19534  df-rgmod 19535  df-dsmm 20440  df-frlm 20455  df-mamu 20558  df-mat 20582
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator