Theorem mat1dimcrng 22464

Description: The algebra of matrices with dimension 1 over a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimcrng	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)

Proof of Theorem mat1dimcrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8984	. . 3 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2		crngring 20221	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
4		mat1dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
5	4	matring 22430	. . 3 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6	1, 3, 5	sylancr 594	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
7		mat1dim.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		mat1dim.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
9	4, 7, 8	mat1dimelbas 22458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}))
10	4, 7, 8	mat1dimelbas 22458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}))
11	9, 10	anbi12d 639	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
12	2, 11	sylan 587	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
13		simpll 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
14		simprl 777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
15		simprr 779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
16		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	7, 16	crngcom 20227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
18	13, 14, 15, 17	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
19	18	opeq2d 4814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩ = ⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩)
20	19	sneqd 4570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩} = {⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩})
21	2	anim1i 622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉))
22	4, 7, 8	mat1dimmul 22463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩})
23	21, 22	sylan 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩})
24		pm3.22 461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
25	4, 7, 8	mat1dimmul 22463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩})
26	21, 24, 25	syl2an 603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩})
27	20, 23, 26	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
28	27	expr 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
29	28	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
30	29	imp 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
31	30	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
32		oveq12 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
33	32	ad4ant24 761	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
34		oveq12 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
35	34	expcom 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
36	35	ad2antlr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
37	36	imp 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
38	31, 33, 37	3eqtr4d 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
39	38	rexlimdva2 3144	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
40	39	rexlimdva2 3144	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))))
41	40	impd 412	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
42	12, 41	sylbid 242	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
43	42	ralrimivv 3182	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
44		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
45		eqid 2741	. . 3 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
46	44, 45	iscrng2 20228	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ CRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
47	6, 43, 46	sylanbrc 590	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  {csn 4558  ⟨cop 4564  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216  Ringcrg 20209  CRingccrg 20210   Mat cmat 22394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-subrg 20546  df-lmod 20856  df-lss 20926  df-sra 21167  df-rgmod 21168  df-dsmm 21711  df-frlm 21726  df-mamu 22378  df-mat 22395

This theorem is referenced by: (None)