Theorem mat1dimcrng 22371

Description: The algebra of matrices with dimension 1 over a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimcrng	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)

Proof of Theorem mat1dimcrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 9017	. . 3 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2		crngring 20161	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
4		mat1dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
5	4	matring 22337	. . 3 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6	1, 3, 5	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
7		mat1dim.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		mat1dim.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
9	4, 7, 8	mat1dimelbas 22365	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}))
10	4, 7, 8	mat1dimelbas 22365	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}))
11	9, 10	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
12	2, 11	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
13		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
14		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
15		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
16		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	7, 16	crngcom 20167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
18	13, 14, 15, 17	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
19	18	opeq2d 4847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩ = ⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩)
20	19	sneqd 4604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩} = {⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩})
21	2	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉))
22	4, 7, 8	mat1dimmul 22370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩})
23	21, 22	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩})
24		pm3.22 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
25	4, 7, 8	mat1dimmul 22370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩})
26	21, 24, 25	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩})
27	20, 23, 26	3eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
28	27	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
30	29	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
32		oveq12 7399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
33	32	ad4ant24 754	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
34		oveq12 7399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
35	34	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
36	35	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
37	36	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
38	31, 33, 37	3eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
39	38	rexlimdva2 3137	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
40	39	rexlimdva2 3137	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))))
41	40	impd 410	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
42	12, 41	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
43	42	ralrimivv 3179	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
44		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
45		eqid 2730	. . 3 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
46	44, 45	iscrng2 20168	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ CRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
47	6, 43, 46	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {csn 4592  ⟨cop 4598  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150   Mat cmat 22301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-dsmm 21648  df-frlm 21663  df-mamu 22285  df-mat 22302

This theorem is referenced by: (None)