Theorem mat1dimcrng 22504

Description: The algebra of matrices with dimension 1 over a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimcrng	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)

Proof of Theorem mat1dimcrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 9109	. . 3 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2		crngring 20272	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
4		mat1dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
5	4	matring 22470	. . 3 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6	1, 3, 5	sylancr 586	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
7		mat1dim.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		mat1dim.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
9	4, 7, 8	mat1dimelbas 22498	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}))
10	4, 7, 8	mat1dimelbas 22498	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}))
11	9, 10	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
12	2, 11	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
13		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
14		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
15		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
16		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	7, 16	crngcom 20278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
18	13, 14, 15, 17	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
19	18	opeq2d 4904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩ = ⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩)
20	19	sneqd 4660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩} = {⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩})
21	2	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉))
22	4, 7, 8	mat1dimmul 22503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩})
23	21, 22	sylan 579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩})
24		pm3.22 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
25	4, 7, 8	mat1dimmul 22503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩})
26	21, 24, 25	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩})
27	20, 23, 26	3eqtr4d 2790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
28	27	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
30	29	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
32		oveq12 7457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
33	32	ad4ant24 753	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
34		oveq12 7457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
35	34	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
36	35	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
37	36	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
38	31, 33, 37	3eqtr4d 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
39	38	rexlimdva2 3163	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
40	39	rexlimdva2 3163	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))))
41	40	impd 410	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
42	12, 41	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
43	42	ralrimivv 3206	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
44		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
45		eqid 2740	. . 3 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
46	44, 45	iscrng2 20279	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ CRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
47	6, 43, 46	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {csn 4648  ⟨cop 4654  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261   Mat cmat 22432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-mamu 22416  df-mat 22433

This theorem is referenced by: (None)