Theorem mat1dimcrng 22340

Description: The algebra of matrices with dimension 1 over a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimcrng	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)

Proof of Theorem mat1dimcrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8991	. . 3 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2		crngring 20130	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
4		mat1dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
5	4	matring 22306	. . 3 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6	1, 3, 5	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
7		mat1dim.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		mat1dim.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
9	4, 7, 8	mat1dimelbas 22334	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}))
10	4, 7, 8	mat1dimelbas 22334	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}))
11	9, 10	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
12	2, 11	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
13		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
14		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
15		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
16		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	7, 16	crngcom 20136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
18	13, 14, 15, 17	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
19	18	opeq2d 4840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩ = ⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩)
20	19	sneqd 4597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩} = {⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩})
21	2	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉))
22	4, 7, 8	mat1dimmul 22339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩})
23	21, 22	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩})
24		pm3.22 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
25	4, 7, 8	mat1dimmul 22339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩})
26	21, 24, 25	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩})
27	20, 23, 26	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
28	27	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
30	29	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
32		oveq12 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
33	32	ad4ant24 754	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
34		oveq12 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
35	34	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
36	35	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
37	36	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
38	31, 33, 37	3eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
39	38	rexlimdva2 3136	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
40	39	rexlimdva2 3136	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))))
41	40	impd 410	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
42	12, 41	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
43	42	ralrimivv 3176	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
44		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
45		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
46	44, 45	iscrng2 20137	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ CRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
47	6, 43, 46	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {csn 4585  ⟨cop 4591  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119   Mat cmat 22270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19121  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-subrg 20455  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-dsmm 21617  df-frlm 21632  df-mamu 22254  df-mat 22271

This theorem is referenced by: (None)