MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimcrng 21221
Description: The algebra of matrices with dimension 1 over a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimcrng ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)

Proof of Theorem mat1dimcrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 8635 . . 3 {𝐸} ∈ Fin
2 crngring 19421 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
4 mat1dim.a . . . 4 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
54matring 21187 . . 3 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
61, 3, 5sylancr 590 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
7 mat1dim.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
8 mat1dim.o . . . . . . 7 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
94, 7, 8mat1dimelbas 21215 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}))
104, 7, 8mat1dimelbas 21215 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}))
119, 10anbi12d 634 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
122, 11sylan 583 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
13 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
14 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
15 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
16 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑅) = (.r𝑅)
177, 16crngcom 19427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) = (𝑏(.r𝑅)𝑎))
1813, 14, 15, 17syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) = (𝑏(.r𝑅)𝑎))
1918opeq2d 4765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩ = ⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩)
2019sneqd 4525 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩} = {⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩})
212anim1i 618 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉))
224, 7, 8mat1dimmul 21220 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩})
2321, 22sylan 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩})
24 pm3.22 463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑏𝐵𝑎𝐵))
254, 7, 8mat1dimmul 21220 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑏𝐵𝑎𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩})
2621, 24, 25syl2an 599 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩})
2720, 23, 263eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
2827expr 460 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) → (𝑏𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
2928adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑏𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
3029imp 410 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
3130adantr 484 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
32 oveq12 7173 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
3332ad4ant24 754 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
34 oveq12 7173 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
3534expcom 417 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
3635ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
3736imp 410 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
3831, 33, 373eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
3938rexlimdva2 3196 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4039rexlimdva2 3196 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → (∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))))
4140impd 414 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ((∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4212, 41sylbid 243 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4342ralrimivv 3102 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
44 eqid 2738 . . 3 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
45 eqid 2738 . . 3 (.r𝐴) = (.r𝐴)
4644, 45iscrng2 19428 . 2 (𝐴 ∈ CRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
476, 43, 46sylanbrc 586 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  wrex 3054  {csn 4513  cop 4519  cfv 6333  (class class class)co 7164  Fincfn 8548  Basecbs 16579  .rcmulr 16662  Ringcrg 19409  CRingccrg 19410   Mat cmat 21151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-ot 4522  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-sup 8972  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-hash 13776  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-hom 16685  df-cco 16686  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-prds 16817  df-pws 16819  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mhm 18065  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-subg 18387  df-ghm 18467  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-cring 19412  df-subrg 19645  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-sra 20056  df-rgmod 20057  df-dsmm 20541  df-frlm 20556  df-mamu 21130  df-mat 21152
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator