Theorem mat1dimcrng 21626

Description: The algebra of matrices with dimension 1 over a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimcrng	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)

Proof of Theorem mat1dimcrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8834	. . 3 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2		crngring 19795	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
4		mat1dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
5	4	matring 21592	. . 3 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6	1, 3, 5	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
7		mat1dim.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		mat1dim.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
9	4, 7, 8	mat1dimelbas 21620	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}))
10	4, 7, 8	mat1dimelbas 21620	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}))
11	9, 10	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
12	2, 11	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
13		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
14		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
15		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
16		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	7, 16	crngcom 19801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
18	13, 14, 15, 17	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
19	18	opeq2d 4811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩ = ⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩)
20	19	sneqd 4573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩} = {⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩})
21	2	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉))
22	4, 7, 8	mat1dimmul 21625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩})
23	21, 22	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)⟩})
24		pm3.22 460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
25	4, 7, 8	mat1dimmul 21625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩})
26	21, 24, 25	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r‘𝑅)𝑎)⟩})
27	20, 23, 26	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
28	27	expr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
30	29	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
32		oveq12 7284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
33	32	ad4ant24 751	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
34		oveq12 7284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
35	34	expcom 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
36	35	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
37	36	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
38	31, 33, 37	3eqtr4d 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
39	38	rexlimdva2 3216	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
40	39	rexlimdva2 3216	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))))
41	40	impd 411	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
42	12, 41	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
43	42	ralrimivv 3122	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
44		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
45		eqid 2738	. . 3 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
46	44, 45	iscrng2 19802	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ CRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
47	6, 43, 46	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {csn 4561  ⟨cop 4567  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784   Mat cmat 21554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-mamu 21533  df-mat 21555

This theorem is referenced by: (None)