MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimcrng 21626
Description: The algebra of matrices with dimension 1 over a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimcrng ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)

Proof of Theorem mat1dimcrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 8834 . . 3 {𝐸} ∈ Fin
2 crngring 19795 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
4 mat1dim.a . . . 4 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
54matring 21592 . . 3 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
61, 3, 5sylancr 587 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
7 mat1dim.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
8 mat1dim.o . . . . . . 7 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
94, 7, 8mat1dimelbas 21620 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}))
104, 7, 8mat1dimelbas 21620 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}))
119, 10anbi12d 631 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
122, 11sylan 580 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
13 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
14 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
15 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
16 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑅) = (.r𝑅)
177, 16crngcom 19801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) = (𝑏(.r𝑅)𝑎))
1813, 14, 15, 17syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) = (𝑏(.r𝑅)𝑎))
1918opeq2d 4811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩ = ⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩)
2019sneqd 4573 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩} = {⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩})
212anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉))
224, 7, 8mat1dimmul 21625 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩})
2321, 22sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩})
24 pm3.22 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑏𝐵𝑎𝐵))
254, 7, 8mat1dimmul 21625 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑏𝐵𝑎𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩})
2621, 24, 25syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩})
2720, 23, 263eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
2827expr 457 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) → (𝑏𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑏𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
3029imp 407 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
3130adantr 481 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
32 oveq12 7284 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
3332ad4ant24 751 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
34 oveq12 7284 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
3534expcom 414 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
3635ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
3736imp 407 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
3831, 33, 373eqtr4d 2788 . . . . . . 7 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
3938rexlimdva2 3216 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4039rexlimdva2 3216 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → (∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))))
4140impd 411 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ((∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4212, 41sylbid 239 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4342ralrimivv 3122 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
44 eqid 2738 . . 3 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
45 eqid 2738 . . 3 (.r𝐴) = (.r𝐴)
4644, 45iscrng2 19802 . 2 (𝐴 ∈ CRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
476, 43, 46sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wrex 3065  {csn 4561  cop 4567  cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  Basecbs 16912  .rcmulr 16963  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784   Mat cmat 21554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-mamu 21533  df-mat 21555
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator