Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimcrng 21078
 Description: The algebra of matrices with dimension 1 over a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimcrng ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)

Proof of Theorem mat1dimcrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 8586 . . 3 {𝐸} ∈ Fin
2 crngring 19300 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 483 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
4 mat1dim.a . . . 4 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
54matring 21044 . . 3 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
61, 3, 5sylancr 589 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
7 mat1dim.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
8 mat1dim.o . . . . . . 7 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
94, 7, 8mat1dimelbas 21072 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}))
104, 7, 8mat1dimelbas 21072 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}))
119, 10anbi12d 632 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
122, 11sylan 582 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
13 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
14 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
15 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
16 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑅) = (.r𝑅)
177, 16crngcom 19304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) = (𝑏(.r𝑅)𝑎))
1813, 14, 15, 17syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) = (𝑏(.r𝑅)𝑎))
1918opeq2d 4802 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩ = ⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩)
2019sneqd 4571 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩} = {⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩})
212anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉))
224, 7, 8mat1dimmul 21077 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩})
2321, 22sylan 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩})
24 pm3.22 462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑏𝐵𝑎𝐵))
254, 7, 8mat1dimmul 21077 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑏𝐵𝑎𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩})
2621, 24, 25syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩})
2720, 23, 263eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
2827expr 459 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) → (𝑏𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
2928adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑏𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
3029imp 409 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
3130adantr 483 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
32 oveq12 7157 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
3332ad4ant24 752 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
34 oveq12 7157 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
3534expcom 416 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
3635ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
3736imp 409 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
3831, 33, 373eqtr4d 2864 . . . . . . 7 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
3938rexlimdva2 3285 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4039rexlimdva2 3285 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → (∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))))
4140impd 413 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ((∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4212, 41sylbid 242 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4342ralrimivv 3188 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
44 eqid 2819 . . 3 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
45 eqid 2819 . . 3 (.r𝐴) = (.r𝐴)
4644, 45iscrng2 19305 . 2 (𝐴 ∈ CRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
476, 43, 46sylanbrc 585 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3136  ∃wrex 3137  {csn 4559  ⟨cop 4565  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Fincfn 8501  Basecbs 16475  .rcmulr 16558  Ringcrg 19289  CRingccrg 19290   Mat cmat 21008 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-ot 4568  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-hash 13683  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-subrg 19525  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-sra 19936  df-rgmod 19937  df-dsmm 20868  df-frlm 20883  df-mamu 20987  df-mat 21009 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator