MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimcrng 21986
Description: The algebra of matrices with dimension 1 over a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimcrng ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)

Proof of Theorem mat1dimcrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 9046 . . 3 {𝐸} ∈ Fin
2 crngring 20070 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
4 mat1dim.a . . . 4 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
54matring 21952 . . 3 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
61, 3, 5sylancr 587 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
7 mat1dim.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
8 mat1dim.o . . . . . . 7 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
94, 7, 8mat1dimelbas 21980 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}))
104, 7, 8mat1dimelbas 21980 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}))
119, 10anbi12d 631 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
122, 11sylan 580 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ (∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩})))
13 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
14 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
15 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
16 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑅) = (.r𝑅)
177, 16crngcom 20076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) = (𝑏(.r𝑅)𝑎))
1813, 14, 15, 17syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) = (𝑏(.r𝑅)𝑎))
1918opeq2d 4880 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩ = ⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩)
2019sneqd 4640 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩} = {⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩})
212anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉))
224, 7, 8mat1dimmul 21985 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩})
2321, 22sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = {⟨𝑂, (𝑎(.r𝑅)𝑏)⟩})
24 pm3.22 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑏𝐵𝑎𝐵))
254, 7, 8mat1dimmul 21985 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑏𝐵𝑎𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩})
2621, 24, 25syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}) = {⟨𝑂, (𝑏(.r𝑅)𝑎)⟩})
2720, 23, 263eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
2827expr 457 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) → (𝑏𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑏𝐵 → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
3029imp 407 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
3130adantr 481 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
32 oveq12 7420 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
3332ad4ant24 752 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = ({⟨𝑂, 𝑎⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑏⟩}))
34 oveq12 7420 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
3534expcom 414 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
3635ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩})))
3736imp 407 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑏⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑎⟩}))
3831, 33, 373eqtr4d 2782 . . . . . . 7 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
3938rexlimdva2 3157 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩}) → (∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4039rexlimdva2 3157 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → (∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} → (∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩} → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))))
4140impd 411 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ((∃𝑎𝐵 𝑥 = {⟨𝑂, 𝑎⟩} ∧ ∃𝑏𝐵 𝑦 = {⟨𝑂, 𝑏⟩}) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4212, 41sylbid 239 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4342ralrimivv 3198 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
44 eqid 2732 . . 3 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
45 eqid 2732 . . 3 (.r𝐴) = (.r𝐴)
4644, 45iscrng2 20077 . 2 (𝐴 ∈ CRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
476, 43, 46sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  {csn 4628  cop 4634  cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  Basecbs 17146  .rcmulr 17200  Ringcrg 20058  CRingccrg 20059   Mat cmat 21914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-subrg 20321  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-dsmm 21293  df-frlm 21308  df-mamu 21893  df-mat 21915
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator