Theorem ablsimpgcygd 19719

Description: An abelian simple group is cyclic. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof shortened by Rohan Ridenour, 31-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgcygd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgcygd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgcygd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem ablsimpgcygd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		ablsimpgcygd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
4	1, 2, 3	simpgnideld 19712	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6	3	simpggrpd 19708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Grp)
8		simprl 768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
9		ablsimpgcygd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
10	9	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Abel)
11	3	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
12		simplrl 774	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
13		simplrr 775	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
14		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
15	1, 2, 5, 10, 11, 12, 13, 14	ablsimpg1gend 19718	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑧(.g‘𝐺)𝑥))
16	1, 5, 7, 8, 15	iscygd 19497	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) → 𝐺 ∈ CycGrp)
17	4, 16	rexlimddv 3218	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6426  Basecbs 16922  0_gc0g 17160  Grpcgrp 18587  ._gcmg 18710  Abelcabl 19397  CycGrpccyg 19487  SimpGrpcsimpg 19703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-fz 13250  df-seq 13732  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-0g 17162  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-sbg 18592  df-mulg 18711  df-subg 18762  df-nsg 18763  df-cmn 19398  df-abl 19399  df-cyg 19488  df-simpg 19704

This theorem is referenced by:  ablsimpgprmd  19728