Theorem ablsimpgcygd 20147

Description: An abelian simple group is cyclic. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof shortened by Rohan Ridenour, 31-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgcygd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgcygd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgcygd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem ablsimpgcygd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		ablsimpgcygd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
4	1, 2, 3	simpgnideld 20140	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6	3	simpggrpd 20136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Grp)
8		simprl 771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
9		ablsimpgcygd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
10	9	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Abel)
11	3	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
12		simplrl 777	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
13		simplrr 778	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
14		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
15	1, 2, 5, 10, 11, 12, 13, 14	ablsimpg1gend 20146	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑧(.g‘𝐺)𝑥))
16	1, 5, 7, 8, 15	iscygd 19926	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) → 𝐺 ∈ CycGrp)
17	4, 16	rexlimddv 3160	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1538   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6566  Basecbs 17251  0_gc0g 17492  Grpcgrp 18970  ._gcmg 19104  Abelcabl 19820  CycGrpccyg 19916  SimpGrpcsimpg 20131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-1o 8511  df-2o 8512  df-er 8750  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-fin 8994  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12271  df-2 12333  df-n0 12531  df-z 12618  df-uz 12883  df-fz 13551  df-seq 14046  df-sets 17204  df-slot 17222  df-ndx 17234  df-base 17252  df-ress 17281  df-plusg 17317  df-0g 17494  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-submnd 18816  df-grp 18973  df-minusg 18974  df-sbg 18975  df-mulg 19105  df-subg 19160  df-nsg 19161  df-cmn 19821  df-abl 19822  df-cyg 19917  df-simpg 20132

This theorem is referenced by:  ablsimpgprmd  20156