Theorem ablsimpgcygd 20093

Description: An abelian simple group is cyclic. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof shortened by Rohan Ridenour, 31-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgcygd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgcygd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgcygd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem ablsimpgcygd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		ablsimpgcygd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
4	1, 2, 3	simpgnideld 20086	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
5		eqid 2734	. . 3 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6	3	simpggrpd 20082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Grp)
8		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
9		ablsimpgcygd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
10	9	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Abel)
11	3	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
12		simplrl 776	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
13		simplrr 777	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
14		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
15	1, 2, 5, 10, 11, 12, 13, 14	ablsimpg1gend 20092	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑧(.g‘𝐺)𝑥))
16	1, 5, 7, 8, 15	iscygd 19872	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) → 𝐺 ∈ CycGrp)
17	4, 16	rexlimddv 3148	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6540  Basecbs 17228  0_gc0g 17454  Grpcgrp 18919  ._gcmg 19053  Abelcabl 19766  CycGrpccyg 19862  SimpGrpcsimpg 20077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12860  df-fz 13529  df-seq 14024  df-sets 17182  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17285  df-0g 17456  df-mgm 18621  df-sgrp 18700  df-mnd 18716  df-submnd 18765  df-grp 18922  df-minusg 18923  df-sbg 18924  df-mulg 19054  df-subg 19109  df-nsg 19110  df-cmn 19767  df-abl 19768  df-cyg 19863  df-simpg 20078

This theorem is referenced by:  ablsimpgprmd  20102