Theorem ablsimpgcygd 20074

Description: An abelian simple group is cyclic. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof shortened by Rohan Ridenour, 31-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgcygd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgcygd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgcygd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem ablsimpgcygd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		ablsimpgcygd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
4	1, 2, 3	simpgnideld 20067	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6	3	simpggrpd 20063	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Grp)
8		simprl 771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
9		ablsimpgcygd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
10	9	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Abel)
11	3	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
12		simplrl 777	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
13		simplrr 778	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
14		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
15	1, 2, 5, 10, 11, 12, 13, 14	ablsimpg1gend 20073	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑧(.g‘𝐺)𝑥))
16	1, 5, 7, 8, 15	iscygd 19853	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))) → 𝐺 ∈ CycGrp)
17	4, 16	rexlimddv 3145	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900  ._gcmg 19034  Abelcabl 19747  CycGrpccyg 19843  SimpGrpcsimpg 20058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-nsg 19091  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-cyg 19844  df-simpg 20059

This theorem is referenced by:  ablsimpgprmd  20083