Theorem imasrhm 33446

Description: Given a function 𝐹 with homomorphic properties, build the image of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
imasmhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
imasmhm.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
imasmhm.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imasrhm.3	⊢ · = (.r‘𝑊)
imasrhm.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
imasrhm.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
imasrhm	⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom (𝐹 “s 𝑊))))

Distinct variable groups:   + ,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   𝐵,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑊,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   + (𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasrhm

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) = (𝐹 “s 𝑊))
2		imasmhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
4		imasmhm.1	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
5		imasrhm.3	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑊)
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
7		imasmhm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
8		fimadmfo 6755	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐵⟶𝐶 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵))
10		imasmhm.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
11		imasrhm.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
12		imasrhm.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
13	1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12	imasring 20308	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ Ring ∧ (𝐹‘(1r‘𝑊)) = (1r‘(𝐹 “s 𝑊))))
14	13	simpld 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) ∈ Ring)
15		eqid 2740	. . 3 ⊢ (1r‘(𝐹 “s 𝑊)) = (1r‘(𝐹 “s 𝑊))
16		eqid 2740	. . 3 ⊢ (.r‘(𝐹 “s 𝑊)) = (.r‘(𝐹 “s 𝑊))
17	13	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑊)) = (1r‘(𝐹 “s 𝑊)))
18	9, 11, 1, 3, 12, 5, 16	imasmulval 17497	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)))
19	18	3expb 1126	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)))
20	19	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)))
21		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐹 “s 𝑊)) = (Base‘(𝐹 “s 𝑊))
22		eqid 2740	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐹 “s 𝑊)) = (+g‘(𝐹 “s 𝑊))
23		fof 6746	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵) → 𝐹:𝐵⟶(𝐹 “ 𝐵))
24	9, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(𝐹 “ 𝐵))
25	1, 3, 9, 12	imasbas 17474	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐵) = (Base‘(𝐹 “s 𝑊)))
26	25	feq3d 6647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶(𝐹 “ 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶(Base‘(𝐹 “s 𝑊))))
27	24, 26	mpbid 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘(𝐹 “s 𝑊)))
28	9, 10, 1, 3, 12, 4, 22	imasaddval 17494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)))
29	28	3expb 1126	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)))
30	29	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)))
31	2, 6, 15, 5, 16, 12, 14, 17, 20, 21, 4, 22, 27, 30	isrhmd 20466	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom (𝐹 “s 𝑊)))
32	14, 31	jca 516	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom (𝐹 “s 𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   “ cima 5628  ⟶wf 6488  –onto→wfo 6490  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  ._rcmulr 17219   “_s cimas 17466  1_rcur 20160  Ringcrg 20212   RingHom crh 20447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-0g 17402  df-imas 17470  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-ghm 19186  df-mgp 20120  df-ur 20161  df-ring 20214  df-rhm 20450

This theorem is referenced by: (None)