Theorem imasrhm 33503

Description: Given a function 𝐹 with homomorphic properties, build the image of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
imasmhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
imasmhm.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
imasmhm.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imasrhm.3	⊢ · = (.r‘𝑊)
imasrhm.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
imasrhm.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
imasrhm	⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom (𝐹 “s 𝑊))))

Distinct variable groups:   + ,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   𝐵,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑊,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   + (𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasrhm

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) = (𝐹 “s 𝑊))
2		imasmhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
4		imasmhm.1	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
5		imasrhm.3	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑊)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
7		imasmhm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
8		fimadmfo 6783	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐵⟶𝐶 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵))
10		imasmhm.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
11		imasrhm.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
12		imasrhm.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
13	1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12	imasring 20358	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ Ring ∧ (𝐹‘(1r‘𝑊)) = (1r‘(𝐹 “s 𝑊))))
14	13	simpld 498	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) ∈ Ring)
15		eqid 2761	. . 3 ⊢ (1r‘(𝐹 “s 𝑊)) = (1r‘(𝐹 “s 𝑊))
16		eqid 2761	. . 3 ⊢ (.r‘(𝐹 “s 𝑊)) = (.r‘(𝐹 “s 𝑊))
17	13	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑊)) = (1r‘(𝐹 “s 𝑊)))
18	9, 11, 1, 3, 12, 5, 16	imasmulval 17548	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)))
19	18	3expb 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)))
20	19	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)))
21		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐹 “s 𝑊)) = (Base‘(𝐹 “s 𝑊))
22		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐹 “s 𝑊)) = (+g‘(𝐹 “s 𝑊))
23		fof 6774	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵) → 𝐹:𝐵⟶(𝐹 “ 𝐵))
24	9, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(𝐹 “ 𝐵))
25	1, 3, 9, 12	imasbas 17525	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐵) = (Base‘(𝐹 “s 𝑊)))
26	25	feq3d 6672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶(𝐹 “ 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶(Base‘(𝐹 “s 𝑊))))
27	24, 26	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘(𝐹 “s 𝑊)))
28	9, 10, 1, 3, 12, 4, 22	imasaddval 17545	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)))
29	28	3expb 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)))
30	29	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)))
31	2, 6, 15, 5, 16, 12, 14, 17, 20, 21, 4, 22, 27, 30	isrhmd 20516	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom (𝐹 “s 𝑊)))
32	14, 31	jca 519	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom (𝐹 “s 𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   “ cima 5648  ⟶wf 6513  –onto→wfo 6515  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  ._rcmulr 17270   “_s cimas 17517  1_rcur 20210  Ringcrg 20262   RingHom crh 20497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-0g 17453  df-imas 17521  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-ghm 19237  df-mgp 20170  df-ur 20211  df-ring 20264  df-rhm 20500

This theorem is referenced by: (None)