Theorem isunitc 33736

Description: Characterize units in a commutative ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isunit2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isunit2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isunit2.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
isunit2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isunitc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isunitc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
isunitc	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑦) = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑦, 1   𝑦, ·   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑦)

Proof of Theorem isunitc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isunit2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isunit2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		isunit2.m	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		isunit2.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5		isunitc.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		isunitc.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7	6	crngringd 20435	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	isunit3 33735	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))
9	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
10	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
12	1, 3, 9, 10, 11	crngcomd 20444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑋))
13	12	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑦) = 1 ↔ (𝑦 · 𝑋) = 1 ))
14	13	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 · 𝑦) = 1 ) → (𝑦 · 𝑋) = 1 )
15	14	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑦) = 1 → (𝑦 · 𝑋) = 1 ))
16	15	pm4.71d 571	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑦) = 1 ↔ ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))
17	16	rexbidva 3184	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑦) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))
18	8, 17	bitr4d 285	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑦) = 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17349  ._rcmulr 17391  1_rcur 20369  CRingccrg 20422  Unitcui 20547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-0g 17574  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-cmn 19958  df-mgp 20323  df-ur 20370  df-ring 20423  df-cring 20424  df-oppr 20529  df-dvdsr 20549  df-unit 20550

This theorem is used by:  rlocinvunit  33770  rlocisunit  33771