Theorem isunitc 33474

Description: Characterize units in a commutative ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isunit2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isunit2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isunit2.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
isunit2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isunitc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isunitc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
isunitc	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑦) = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑦, 1   𝑦, ·   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑦)

Proof of Theorem isunitc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isunit2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isunit2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		isunit2.m	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		isunit2.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5		isunitc.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		isunitc.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7	6	crngringd 20319	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	isunit3 33473	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))
9	6	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
10	5	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
12	1, 3, 9, 10, 11	crngcomd 20328	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑋))
13	12	eqeq1d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑦) = 1 ↔ (𝑦 · 𝑋) = 1 ))
14	13	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 · 𝑦) = 1 ) → (𝑦 · 𝑋) = 1 )
15	14	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑦) = 1 → (𝑦 · 𝑋) = 1 ))
16	15	pm4.71d 570	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑦) = 1 ↔ ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))
17	16	rexbidva 3187	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑦) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))
18	8, 17	bitr4d 285	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑦) = 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  1_rcur 20254  CRingccrg 20307  Unitcui 20428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-cmn 19843  df-mgp 20208  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431

This theorem is referenced by:  rlocinvunit  33508  rlocisunit  33509