Theorem isunitc 33376

Description: Characterize units in a commutative ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isunit2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isunit2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isunit2.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
isunit2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isunitc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isunitc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
isunitc	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑦) = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑦, 1   𝑦, ·   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑦)

Proof of Theorem isunitc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isunit2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isunit2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		isunit2.m	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		isunit2.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5		isunitc.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		isunitc.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7	6	crngringd 20268	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	isunit3 33375	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))
9	6	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
10	5	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
12	1, 3, 9, 10, 11	crngcomd 20277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑋))
13	12	eqeq1d 2758	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑦) = 1 ↔ (𝑦 · 𝑋) = 1 ))
14	13	biimpa 479	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 · 𝑦) = 1 ) → (𝑦 · 𝑋) = 1 )
15	14	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑦) = 1 → (𝑦 · 𝑋) = 1 ))
16	15	pm4.71d 568	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑦) = 1 ↔ ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))
17	16	rexbidva 3178	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑦) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))
18	8, 17	bitr4d 284	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑦) = 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∃wrex 3080  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Basecbs 17221  ._rcmulr 17263  1_rcur 20203  CRingccrg 20256  Unitcui 20376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-tpos 8194  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-0g 17446  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-cmn 19798  df-mgp 20163  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-oppr 20358  df-dvdsr 20378  df-unit 20379

This theorem is referenced by:  rlocinvunit  33410  rlocisunit  33411