Theorem rlocisunit 33562

Description: Characterize the units of the localization 𝐿 of a ring 𝑅 at 𝑆 as the elements with a "numerator" 𝑃 in the saturation 𝑇 of 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlocisunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rlocisunit.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
rlocisunit.l	⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
rlocisunit.w	⊢ 𝑊 = (Unit‘𝐿)
rlocisunit.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rlocisunit.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
rlocisunit.e	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
rlocisunit.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
rlocisunit.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
rlocisunit.t	⊢ 𝑇 = {𝑟 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆}

Assertion

Ref	Expression
rlocisunit	⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ 𝑃 ∈ 𝑇))

Distinct variable groups:   · ,𝑟,𝑠   ∼ ,𝑟,𝑠   𝐵,𝑟,𝑠   𝐿,𝑟,𝑠   𝜑,𝑃,𝑟,𝑠   𝑄,𝑟   𝑅,𝑟,𝑠   𝑆,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑠)   𝑇(𝑠,𝑟)   𝑊(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem rlocisunit

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlocisunit.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {𝑟 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆}
2	1	eleq2i 2853	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 ↔ 𝑃 ∈ {𝑟 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆})
3		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑃 → (𝑟 · 𝑠) = (𝑃 · 𝑠))
4	3	eleq1d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑃 → ((𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆 ↔ (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
5	4	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑃 → (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
6	5	elrab 3649	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑟 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆} ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
7	2, 6	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
8		rlocisunit.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9	8	biantrurd 541	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆)))
10	7, 9	bitr4id 293	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
12		rlocisunit.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Unit‘𝐿)
13		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
14		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
15		rlocisunit.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
16		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
17		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	16, 17	ringidval 20264	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
19	18	subm0cl 18868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
20	15, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
21	8, 20	opelxpd 5700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
22		rlocisunit.e	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
23	22	ovexi 7444	. . . . . . 7 ⊢ ∼ ∈ V
24	23	ecelqsi 8766	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
25	21, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → [⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
26		rlocisunit.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
27		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
28		rlocisunit.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
30		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 × 𝑆) = (𝐵 × 𝑆)
31		rlocisunit.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
32		rlocisunit.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
33	16, 26	mgpbas 20220	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
34	33	submss 18866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
35	15, 34	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
36	26, 27, 28, 29, 30, 31, 22, 32, 35	rlocbas 33554	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) = (Base‘𝐿))
37	25, 36	eleqtrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
38		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
39	26, 28, 38, 31, 22, 32, 15	rloccring 33557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ CRing)
40	11, 12, 13, 14, 37, 39	isunitc 33527	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐿)([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)))
41	32	crngringd 20327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
42	41	ad7antr 750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑅 ∈ Ring)
43	35	ad7antr 750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
44		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑡 ∈ 𝑆)
45	43, 44	sseldd 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑡 ∈ 𝐵)
46		simpllr 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → 𝑟 ∈ 𝐵)
47	46	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑟 ∈ 𝐵)
48	26, 28, 42, 45, 47	ringcld 20341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑡 · 𝑟) ∈ 𝐵)
49		oveq2 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (𝑡 · 𝑟) → (𝑃 · 𝑢) = (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)))
50	49	eleq1d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑡 · 𝑟) → ((𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) ∈ 𝑆))
51	50	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) ∧ 𝑢 = (𝑡 · 𝑟)) → ((𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) ∈ 𝑆))
52	32	ad7antr 750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑅 ∈ CRing)
53	8	ad7antr 750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑃 ∈ 𝐵)
54	26, 28, 52, 53, 45, 47	crng12d 20339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) = (𝑡 · (𝑃 · 𝑟)))
55	26, 28, 42, 53, 47	ringcld 20341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑃 · 𝑟) ∈ 𝐵)
56	26, 28, 17, 42, 55	ringridmd 20355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅)) = (𝑃 · 𝑟))
57	56	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · (𝑃 · 𝑟)))
58	54, 57	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) = (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))))
59		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠))))
60	35, 20	sseldd 3937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
61	60	ad7antr 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
62		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → 𝑠 ∈ 𝑆)
63	62	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑠 ∈ 𝑆)
64	43, 63	sseldd 3937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑠 ∈ 𝐵)
65	26, 28, 42, 61, 64	ringcld 20341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ((1r‘𝑅) · 𝑠) ∈ 𝐵)
66	26, 28, 17, 42, 65	ringlidmd 20354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)) = ((1r‘𝑅) · 𝑠))
67	26, 28, 17, 42, 64	ringlidmd 20354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ((1r‘𝑅) · 𝑠) = 𝑠)
68	66, 67	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)) = 𝑠)
69	68	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠))) = (𝑡 · 𝑠))
70	58, 59, 69	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) = (𝑡 · 𝑠))
71	16, 28	mgpplusg 20219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
72	15	ad7antr 750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
73	71, 72, 44, 63	submcld 18870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑡 · 𝑠) ∈ 𝑆)
74	70, 73	eqeltrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) ∈ 𝑆)
75	48, 51, 74	rspcedvd 3582	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
76		simp-5l 796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → 𝜑)
77		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ )
78	77	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ))
79		simp-4r 795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿))
80	32	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CRing)
81	15	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
82	8	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑃 ∈ 𝐵)
83		simplr 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ 𝐵)
84	81, 19	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
85		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝑆)
86	26, 28, 38, 31, 22, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 13	rlocmulval 33556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) = [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ )
87	76, 46, 62, 86	syl21anc 850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) = [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ )
88	78, 79, 87	3eqtr3rd 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = (1r‘𝐿))
89		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼
90	27, 17, 31, 22, 32, 15, 89	rloc1r 33559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ = (1r‘𝐿))
91	90	ad5antr 746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ = (1r‘𝐿))
92	88, 91	eqtr4d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ )
93	80	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → 𝑅 ∈ CRing)
94	81	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
95	41	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
96	26, 28, 95, 82, 83	ringcld 20341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑃 · 𝑟) ∈ 𝐵)
97	96	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → (𝑃 · 𝑟) ∈ 𝐵)
98	71, 81, 84, 85	submcld 18870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅) · 𝑠) ∈ 𝑆)
99	98	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → ((1r‘𝑅) · 𝑠) ∈ 𝑆)
100	60	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
101	94, 19	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
102		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ )
103	26, 22, 28, 93, 94, 97, 99, 100, 101, 102	erld2 33552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → ∃𝑡 ∈ 𝑆 (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠))))
104	76, 46, 62, 92, 103	syl1111anc 853	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ∃𝑡 ∈ 𝑆 (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠))))
105	75, 104	r19.29a 3171	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
106	105	r19.29an 3167	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
107	36	eleq2d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)))
108	107	biimpar 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) → 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
109	108	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) → 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
110	109	elrlocbasi 33553	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ )
111	106, 110	r19.29a 3171	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
112	111	r19.29an 3167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐿)([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
113		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ 𝐵)
114		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
115	113, 114	opelxpd 5700	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
116	23	ecelqsi 8766	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
117	115, 116	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
118	36	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) = (Base‘𝐿))
119	117, 118	eleqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
120		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ))
121	120	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ → (([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿) ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿)))
122	121	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ) → (([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿) ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿)))
123	32	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CRing)
124	15	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
125	8	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → 𝑃 ∈ 𝐵)
126	124, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
127	26, 28, 38, 31, 22, 123, 124, 125, 113, 126, 114, 13	rlocmulval 33556	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ) = [⟨(𝑃 · 𝑢), ((1r‘𝑅) · (𝑃 · 𝑢))⟩] ∼ )
128	26, 27, 17, 28, 29, 30, 22, 32, 15	erler 33551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∼ Er (𝐵 × 𝑆))
129	128	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ∼ Er (𝐵 × 𝑆))
130		eqidd 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩ = ⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩)
131		eqidd 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (𝑃 · 𝑢) = (𝑃 · 𝑢))
132	41	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
133	26, 28, 132, 125, 113	ringcld 20341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝐵)
134	26, 28, 17, 132, 133	ringlidmd 20354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅) · (𝑃 · 𝑢)) = (𝑃 · 𝑢))
135	131, 134	opeq12d 4845	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ⟨(𝑃 · 𝑢), ((1r‘𝑅) · (𝑃 · 𝑢))⟩ = ⟨(𝑃 · 𝑢), (𝑃 · 𝑢)⟩)
136	60	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
137	26, 28, 17, 132, 133	ringridmd 20355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ((𝑃 · 𝑢) · (1r‘𝑅)) = (𝑃 · 𝑢))
138	137	eqcomd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (𝑃 · 𝑢) = ((𝑃 · 𝑢) · (1r‘𝑅)))
139	26, 22, 123, 124, 28, 130, 135, 136, 133, 126, 114, 114, 138, 138	erlbr2d 33550	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩ ∼ ⟨(𝑃 · 𝑢), ((1r‘𝑅) · (𝑃 · 𝑢))⟩)
140	129, 139	erthi 8750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ = [⟨(𝑃 · 𝑢), ((1r‘𝑅) · (𝑃 · 𝑢))⟩] ∼ )
141	27, 17, 31, 22, 123, 124, 89	rloc1r 33559	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ = (1r‘𝐿))
142	127, 140, 141	3eqtr2d 2802	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿))
143	119, 122, 142	rspcedvd 3582	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐿)([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿))
144	143	r19.29an 3167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐿)([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿))
145	112, 144	impbida 812	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐿)([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆))
146		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (𝑃 · 𝑢) = (𝑃 · 𝑠))
147	146	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → ((𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
148	147	cbvrexvw 3242	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆)
149	148	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
150	40, 145, 149	3bitrd 308	. 2 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
151		rlocisunit.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
152	32	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CRing)
153	15	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
154		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → 𝑄 ∈ 𝑆)
155	26, 17, 22, 31, 12, 152, 153, 154	rlocinvunit 33561	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)
156	151, 155	mpdan 699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)
157	156	biantrud 540	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ∧ [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)))
158	26, 28, 38, 31, 22, 32, 15, 8, 60, 20, 151, 13	rlocmulval 33556	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ) = [⟨(𝑃 · (1r‘𝑅)), ((1r‘𝑅) · 𝑄)⟩] ∼ )
159	26, 28, 17, 41, 8	ringridmd 20355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (1r‘𝑅)) = 𝑃)
160	35, 151	sseldd 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
161	26, 28, 17, 41, 160	ringlidmd 20354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑄) = 𝑄)
162	159, 161	opeq12d 4845	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝑃 · (1r‘𝑅)), ((1r‘𝑅) · 𝑄)⟩ = ⟨𝑃, 𝑄⟩)
163	162	eceq1d 8734	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → [⟨(𝑃 · (1r‘𝑅)), ((1r‘𝑅) · 𝑄)⟩] ∼ = [⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ )
164	158, 163	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ) = [⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ )
165	164	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ) ∈ 𝑊 ↔ [⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊))
166	60, 151	opelxpd 5700	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
167	23	ecelqsi 8766	. . . . . . 7 ⊢ (⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
168	166, 167	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
169	168, 36	eleqtrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
170	12, 13, 11	unitmulclb 20462	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ CRing ∧ [⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿) ∧ [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿)) → (([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ) ∈ 𝑊 ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ∧ [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)))
171	39, 37, 169, 170	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ) ∈ 𝑊 ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ∧ [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)))
172	165, 171	bitr3d 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ∧ [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)))
173	157, 172	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ [⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊))
174	10, 150, 173	3bitr2rd 311	1 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ 𝑃 ∈ 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3087  {crab 3414   ⊆ wss 3904  ⟨cop 4594   × cxp 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   Er wer 8690  [cec 8691   / cqs 8692  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  ._rcmulr 17310  0_gc0g 17491  SubMndcsubmnd 18839  -_gcsg 19001  mulGrpcmgp 20215  1_rcur 20262  Ringcrg 20314  CRingccrg 20315  Unitcui 20436   ~_RL cerl 33539   RLocal crloc 33540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-ec 8695  df-qs 8699  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-0g 17493  df-imas 17561  df-qus 17562  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-erl 33541  df-rloc 33542

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