Theorem rlocisunit 33880

Description: Characterize the units of the localization 𝐿 of a ring 𝑅 at 𝑆 as the elements with a "numerator" 𝑃 in the saturation 𝑇 of 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlocisunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rlocisunit.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
rlocisunit.l	⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
rlocisunit.w	⊢ 𝑊 = (Unit‘𝐿)
rlocisunit.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rlocisunit.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
rlocisunit.e	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
rlocisunit.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
rlocisunit.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
rlocisunit.t	⊢ 𝑇 = {𝑟 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆}

Assertion

Ref	Expression
rlocisunit	⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ 𝑃 ∈ 𝑇))

Distinct variable groups:   · ,𝑟,𝑠   ∼ ,𝑟,𝑠   𝐵,𝑟,𝑠   𝐿,𝑟,𝑠   𝜑,𝑃,𝑟,𝑠   𝑄,𝑟   𝑅,𝑟,𝑠   𝑆,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑠)   𝑇(𝑠, 𝑟)   𝑊(𝑠, 𝑟)

Proof of Theorem rlocisunit

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlocisunit.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {𝑟 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆}
2	1	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 ↔ 𝑃 ∈ {𝑟 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆})
3		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑃 → (𝑟 · 𝑠) = (𝑃 · 𝑠))
4	3	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑃 → ((𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆 ↔ (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
5	4	rexbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑃 → (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
6	5	elrab 3644	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑟 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆} ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
7	2, 6	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
8		rlocisunit.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9	8	biantrurd 542	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆)))
10	7, 9	bitr4id 293	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
11		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
12		rlocisunit.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Unit‘𝐿)
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
14		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
15		rlocisunit.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
16		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
17		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	16, 17	ringidval 20410	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
19	18	subm0cl 19007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
20	15, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
21	8, 20	opelxpd 5689	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
22		rlocisunit.e	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
23	22	ovexi 7454	. . . . . . 7 ⊢ ∼ ∈ V
24	23	ecelqsi 8791	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
25	21, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → [⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
26		rlocisunit.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
27		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
28		rlocisunit.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
30		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 × 𝑆) = (𝐵 × 𝑆)
31		rlocisunit.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
32		rlocisunit.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
33	16, 26	mgpbas 20366	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
34	33	submss 19005	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
35	15, 34	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
36	26, 27, 28, 29, 30, 31, 22, 32, 35	rlocbas 33872	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) = (Base‘𝐿))
37	25, 36	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
38		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
39	26, 28, 38, 31, 22, 32, 15	rloccring 33875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ CRing)
40	11, 12, 13, 14, 37, 39	isunitc 33845	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐿)([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)))
41	32	crngringd 20474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
42	41	ad7antr 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑅 ∈ Ring)
43	35	ad7antr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
44		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑡 ∈ 𝑆)
45	43, 44	sseldd 3909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑡 ∈ 𝐵)
46		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → 𝑟 ∈ 𝐵)
47	46	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑟 ∈ 𝐵)
48	26, 28, 42, 45, 47	ringcld 20485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑡 · 𝑟) ∈ 𝐵)
49		oveq2 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (𝑡 · 𝑟) → (𝑃 · 𝑢) = (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)))
50	49	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑡 · 𝑟) → ((𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) ∈ 𝑆))
51	50	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) ∧ 𝑢 = (𝑡 · 𝑟)) → ((𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) ∈ 𝑆))
52	32	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑅 ∈ CRing)
53	8	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑃 ∈ 𝐵)
54	26, 28, 52, 53, 45, 47	crng12d 20487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) = (𝑡 · (𝑃 · 𝑟)))
55	26, 28, 42, 53, 47	ringcld 20485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑃 · 𝑟) ∈ 𝐵)
56	26, 28, 17, 42, 55	ringridmd 20503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅)) = (𝑃 · 𝑟))
57	56	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · (𝑃 · 𝑟)))
58	54, 57	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) = (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))))
59		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠))))
60	35, 20	sseldd 3909	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
61	60	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
62		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → 𝑠 ∈ 𝑆)
63	62	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑠 ∈ 𝑆)
64	43, 63	sseldd 3909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑠 ∈ 𝐵)
65	26, 28, 42, 61, 64	ringcld 20485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ((1r‘𝑅) · 𝑠) ∈ 𝐵)
66	26, 28, 17, 42, 65	ringlidmd 20502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)) = ((1r‘𝑅) · 𝑠))
67	26, 28, 17, 42, 64	ringlidmd 20502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ((1r‘𝑅) · 𝑠) = 𝑠)
68	66, 67	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)) = 𝑠)
69	68	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠))) = (𝑡 · 𝑠))
70	58, 59, 69	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) = (𝑡 · 𝑠))
71	16, 28	mgpplusg 20365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
72	15	ad7antr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
73	71, 72, 44, 63	submcld 19009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑡 · 𝑠) ∈ 𝑆)
74	70, 73	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) ∈ 𝑆)
75	48, 51, 74	rspcedvd 3578	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
76		simp-5l 797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → 𝜑)
77		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ )
78	77	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ))
79		simp-4r 796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿))
80	32	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CRing)
81	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
82	8	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑃 ∈ 𝐵)
83		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ 𝐵)
84	81, 19	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
85		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝑆)
86	26, 28, 38, 31, 22, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 13	rlocmulval 33874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) = [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ )
87	76, 46, 62, 86	syl21anc 851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) = [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ )
88	78, 79, 87	3eqtr3rd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = (1r‘𝐿))
89		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼
90	27, 17, 31, 22, 32, 15, 89	rloc1r 33877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ = (1r‘𝐿))
91	90	ad5antr 747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ = (1r‘𝐿))
92	88, 91	eqtr4d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ )
93	80	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → 𝑅 ∈ CRing)
94	81	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
95	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
96	26, 28, 95, 82, 83	ringcld 20485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑃 · 𝑟) ∈ 𝐵)
97	96	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → (𝑃 · 𝑟) ∈ 𝐵)
98	71, 81, 84, 85	submcld 19009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅) · 𝑠) ∈ 𝑆)
99	98	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → ((1r‘𝑅) · 𝑠) ∈ 𝑆)
100	60	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
101	94, 19	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
102		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ )
103	26, 22, 28, 93, 94, 97, 99, 100, 101, 102	erld2 33870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → ∃𝑡 ∈ 𝑆 (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠))))
104	76, 46, 62, 92, 103	syl1111anc 854	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ∃𝑡 ∈ 𝑆 (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠))))
105	75, 104	r19.29a 3170	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
106	105	r19.29an 3166	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
107	36	eleq2d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)))
108	107	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) → 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
109	108	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) → 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
110	109	elrlocbasi 33871	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ )
111	106, 110	r19.29a 3170	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
112	111	r19.29an 3166	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐿)([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
113		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ 𝐵)
114		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
115	113, 114	opelxpd 5689	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
116	23	ecelqsi 8791	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
117	115, 116	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
118	36	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) = (Base‘𝐿))
119	117, 118	eleqtrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
120		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ))
121	120	eqeq1d 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ → (([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿) ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿)))
122	121	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ) → (([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿) ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿)))
123	32	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CRing)
124	15	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
125	8	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → 𝑃 ∈ 𝐵)
126	124, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
127	26, 28, 38, 31, 22, 123, 124, 125, 113, 126, 114, 13	rlocmulval 33874	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ) = [⟨(𝑃 · 𝑢), ((1r‘𝑅) · (𝑃 · 𝑢))⟩] ∼ )
128	26, 27, 17, 28, 29, 30, 22, 32, 15	erler 33869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∼ Er (𝐵 × 𝑆))
129	128	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ∼ Er (𝐵 × 𝑆))
130		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩ = ⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩)
131		eqidd 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (𝑃 · 𝑢) = (𝑃 · 𝑢))
132	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
133	26, 28, 132, 125, 113	ringcld 20485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝐵)
134	26, 28, 17, 132, 133	ringlidmd 20502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅) · (𝑃 · 𝑢)) = (𝑃 · 𝑢))
135	131, 134	opeq12d 4840	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ⟨(𝑃 · 𝑢), ((1r‘𝑅) · (𝑃 · 𝑢))⟩ = ⟨(𝑃 · 𝑢), (𝑃 · 𝑢)⟩)
136	60	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
137	26, 28, 17, 132, 133	ringridmd 20503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ((𝑃 · 𝑢) · (1r‘𝑅)) = (𝑃 · 𝑢))
138	137	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (𝑃 · 𝑢) = ((𝑃 · 𝑢) · (1r‘𝑅)))
139	26, 22, 123, 124, 28, 130, 135, 136, 133, 126, 114, 114, 138, 138	erlbr2d 33868	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩ ∼ ⟨(𝑃 · 𝑢), ((1r‘𝑅) · (𝑃 · 𝑢))⟩)
140	129, 139	erthi 8775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ = [⟨(𝑃 · 𝑢), ((1r‘𝑅) · (𝑃 · 𝑢))⟩] ∼ )
141	27, 17, 31, 22, 123, 124, 89	rloc1r 33877	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ = (1r‘𝐿))
142	127, 140, 141	3eqtr2d 2801	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿))
143	119, 122, 142	rspcedvd 3578	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐿)([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿))
144	143	r19.29an 3166	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐿)([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿))
145	112, 144	impbida 813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐿)([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆))
146		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (𝑃 · 𝑢) = (𝑃 · 𝑠))
147	146	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → ((𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
148	147	cbvrexvw 3241	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆)
149	148	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
150	40, 145, 149	3bitrd 308	. 2 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
151		rlocisunit.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
152	32	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CRing)
153	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
154		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → 𝑄 ∈ 𝑆)
155	26, 17, 22, 31, 12, 152, 153, 154	rlocinvunit 33879	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)
156	151, 155	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)
157	156	biantrud 541	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ∧ [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)))
158	26, 28, 38, 31, 22, 32, 15, 8, 60, 20, 151, 13	rlocmulval 33874	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ) = [⟨(𝑃 · (1r‘𝑅)), ((1r‘𝑅) · 𝑄)⟩] ∼ )
159	26, 28, 17, 41, 8	ringridmd 20503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (1r‘𝑅)) = 𝑃)
160	35, 151	sseldd 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
161	26, 28, 17, 41, 160	ringlidmd 20502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑄) = 𝑄)
162	159, 161	opeq12d 4840	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝑃 · (1r‘𝑅)), ((1r‘𝑅) · 𝑄)⟩ = ⟨𝑃, 𝑄⟩)
163	162	eceq1d 8759	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → [⟨(𝑃 · (1r‘𝑅)), ((1r‘𝑅) · 𝑄)⟩] ∼ = [⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ )
164	158, 163	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ) = [⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ )
165	164	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ) ∈ 𝑊 ↔ [⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊))
166	60, 151	opelxpd 5689	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
167	23	ecelqsi 8791	. . . . . . 7 ⊢ (⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
168	166, 167	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
169	168, 36	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
170	12, 13, 11	unitmulclb 20612	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ CRing ∧ [⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿) ∧ [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿)) → (([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ) ∈ 𝑊 ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ∧ [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)))
171	39, 37, 169, 170	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ) ∈ 𝑊 ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ∧ [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)))
172	165, 171	bitr3d 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ∧ [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)))
173	157, 172	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ [⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊))
174	10, 150, 173	3bitr2rd 311	1 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ 𝑃 ∈ 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895  ⟨cop 4589   × cxp 5648  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   Er wer 8715  [cec 8716   / cqs 8717  Basecbs 17388  +_gcplusg 17429  ._rcmulr 17430  0_gc0g 17611  SubMndcsubmnd 18978  -_gcsg 19147  mulGrpcmgp 20361  1_rcur 20408  Ringcrg 20460  CRingccrg 20461  Unitcui 20586   ~_RL cerl 33857   RLocal crloc 33858

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-0g 17613  df-imas 17681  df-qus 17682  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-cring 20463  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-erl 33859  df-rloc 33860

This theorem is used by: (None)