Theorem rlocisunit 33411

Description: Characterize the units of the localization 𝐿 of a ring 𝑅 at 𝑆 as the elements with a "numerator" 𝑃 in the saturation 𝑇 of 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlocisunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rlocisunit.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
rlocisunit.l	⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
rlocisunit.w	⊢ 𝑊 = (Unit‘𝐿)
rlocisunit.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rlocisunit.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
rlocisunit.e	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
rlocisunit.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
rlocisunit.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
rlocisunit.t	⊢ 𝑇 = {𝑟 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆}

Assertion

Ref	Expression
rlocisunit	⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ 𝑃 ∈ 𝑇))

Distinct variable groups:   · ,𝑟,𝑠   ∼ ,𝑟,𝑠   𝐵,𝑟,𝑠   𝐿,𝑟,𝑠   𝜑,𝑃,𝑟,𝑠   𝑄,𝑟   𝑅,𝑟,𝑠   𝑆,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑠)   𝑇(𝑠,𝑟)   𝑊(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem rlocisunit

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlocisunit.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {𝑟 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆}
2	1	eleq2i 2848	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 ↔ 𝑃 ∈ {𝑟 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆})
3		oveq1 7392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑃 → (𝑟 · 𝑠) = (𝑃 · 𝑠))
4	3	eleq1d 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑃 → ((𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆 ↔ (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
5	4	rexbidv 3180	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑃 → (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
6	5	elrab 3645	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑟 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑆} ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
7	2, 6	bitri 277	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
8		rlocisunit.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9	8	biantrurd 539	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆)))
10	7, 9	bitr4id 292	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
11		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
12		rlocisunit.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Unit‘𝐿)
13		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
14		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
15		rlocisunit.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
16		eqid 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
17		eqid 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	16, 17	ringidval 20205	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
19	18	subm0cl 18821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
20	15, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
21	8, 20	opelxpd 5679	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
22		rlocisunit.e	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
23	22	ovexi 7419	. . . . . . 7 ⊢ ∼ ∈ V
24	23	ecelqsi 8739	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
25	21, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → [⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
26		rlocisunit.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
27		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
28		rlocisunit.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
30		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 × 𝑆) = (𝐵 × 𝑆)
31		rlocisunit.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
32		rlocisunit.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
33	16, 26	mgpbas 20167	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
34	33	submss 18819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
35	15, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
36	26, 27, 28, 29, 30, 31, 22, 32, 35	rlocbas 33403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) = (Base‘𝐿))
37	25, 36	eleqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
38		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
39	26, 28, 38, 31, 22, 32, 15	rloccring 33406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ CRing)
40	11, 12, 13, 14, 37, 39	isunitc 33376	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐿)([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)))
41	32	crngringd 20268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
42	41	ad7antr 746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑅 ∈ Ring)
43	35	ad7antr 746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
44		simplr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑡 ∈ 𝑆)
45	43, 44	sseldd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑡 ∈ 𝐵)
46		simpllr 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → 𝑟 ∈ 𝐵)
47	46	ad2antrr 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑟 ∈ 𝐵)
48	26, 28, 42, 45, 47	ringcld 20282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑡 · 𝑟) ∈ 𝐵)
49		oveq2 7393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (𝑡 · 𝑟) → (𝑃 · 𝑢) = (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)))
50	49	eleq1d 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑡 · 𝑟) → ((𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) ∈ 𝑆))
51	50	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) ∧ 𝑢 = (𝑡 · 𝑟)) → ((𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) ∈ 𝑆))
52	32	ad7antr 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑅 ∈ CRing)
53	8	ad7antr 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑃 ∈ 𝐵)
54	26, 28, 52, 53, 45, 47	crng12d 20280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) = (𝑡 · (𝑃 · 𝑟)))
55	26, 28, 42, 53, 47	ringcld 20282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑃 · 𝑟) ∈ 𝐵)
56	26, 28, 17, 42, 55	ringridmd 20295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅)) = (𝑃 · 𝑟))
57	56	oveq2d 7401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · (𝑃 · 𝑟)))
58	54, 57	eqtr4d 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) = (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))))
59		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠))))
60	35, 20	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
61	60	ad7antr 746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
62		simplr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → 𝑠 ∈ 𝑆)
63	62	ad2antrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑠 ∈ 𝑆)
64	43, 63	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑠 ∈ 𝐵)
65	26, 28, 42, 61, 64	ringcld 20282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ((1r‘𝑅) · 𝑠) ∈ 𝐵)
66	26, 28, 17, 42, 65	ringlidmd 20294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)) = ((1r‘𝑅) · 𝑠))
67	26, 28, 17, 42, 64	ringlidmd 20294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ((1r‘𝑅) · 𝑠) = 𝑠)
68	66, 67	eqtrd 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)) = 𝑠)
69	68	oveq2d 7401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠))) = (𝑡 · 𝑠))
70	58, 59, 69	3eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) = (𝑡 · 𝑠))
71	16, 28	mgpplusg 20166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
72	15	ad7antr 746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
73	71, 72, 44, 63	submcld 33167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑡 · 𝑠) ∈ 𝑆)
74	70, 73	eqeltrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → (𝑃 · (𝑡 · 𝑟)) ∈ 𝑆)
75	48, 51, 74	rspcedvd 3578	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠)))) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
76		simp-5l 792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → 𝜑)
77		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ )
78	77	oveq2d 7401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ))
79		simp-4r 791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿))
80	32	ad2antrr 734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CRing)
81	15	ad2antrr 734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
82	8	ad2antrr 734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑃 ∈ 𝐵)
83		simplr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ 𝐵)
84	81, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
85		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝑆)
86	26, 28, 38, 31, 22, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 13	rlocmulval 33405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) = [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ )
87	76, 46, 62, 86	syl21anc 846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) = [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ )
88	78, 79, 87	3eqtr3rd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = (1r‘𝐿))
89		eqid 2756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼
90	27, 17, 31, 22, 32, 15, 89	rloc1r 33408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ = (1r‘𝐿))
91	90	ad5antr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ = (1r‘𝐿))
92	88, 91	eqtr4d 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ )
93	80	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → 𝑅 ∈ CRing)
94	81	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
95	41	ad2antrr 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
96	26, 28, 95, 82, 83	ringcld 20282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑃 · 𝑟) ∈ 𝐵)
97	96	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → (𝑃 · 𝑟) ∈ 𝐵)
98	71, 81, 84, 85	submcld 33167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅) · 𝑠) ∈ 𝑆)
99	98	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → ((1r‘𝑅) · 𝑠) ∈ 𝑆)
100	60	ad3antrrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
101	94, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
102		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ )
103	26, 22, 28, 93, 94, 97, 99, 100, 101, 102	erld2 33401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ [⟨(𝑃 · 𝑟), ((1r‘𝑅) · 𝑠)⟩] ∼ = [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) → ∃𝑡 ∈ 𝑆 (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠))))
104	76, 46, 62, 92, 103	syl1111anc 849	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ∃𝑡 ∈ 𝑆 (𝑡 · ((𝑃 · 𝑟) · (1r‘𝑅))) = (𝑡 · ((1r‘𝑅) · ((1r‘𝑅) · 𝑠))))
105	75, 104	r19.29a 3164	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
106	105	r19.29an 3160	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ ) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
107	36	eleq2d 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)))
108	107	biimpar 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) → 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
109	108	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) → 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
110	109	elrlocbasi 33402	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = [⟨𝑟, 𝑠⟩] ∼ )
111	106, 110	r19.29a 3164	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) ∧ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
112	111	r19.29an 3160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐿)([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
113		simplr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ 𝐵)
114		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆)
115	113, 114	opelxpd 5679	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
116	23	ecelqsi 8739	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
117	115, 116	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
118	36	ad2antrr 734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) = (Base‘𝐿))
119	117, 118	eleqtrd 2858	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
120		oveq2 7393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ))
121	120	eqeq1d 2758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ → (([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿) ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿)))
122	121	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ) → (([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿) ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿)))
123	32	ad2antrr 734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CRing)
124	15	ad2antrr 734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
125	8	ad2antrr 734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → 𝑃 ∈ 𝐵)
126	124, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
127	26, 28, 38, 31, 22, 123, 124, 125, 113, 126, 114, 13	rlocmulval 33405	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ) = [⟨(𝑃 · 𝑢), ((1r‘𝑅) · (𝑃 · 𝑢))⟩] ∼ )
128	26, 27, 17, 28, 29, 30, 22, 32, 15	erler 33400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∼ Er (𝐵 × 𝑆))
129	128	ad2antrr 734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ∼ Er (𝐵 × 𝑆))
130		eqidd 2757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩ = ⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩)
131		eqidd 2757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (𝑃 · 𝑢) = (𝑃 · 𝑢))
132	41	ad2antrr 734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
133	26, 28, 132, 125, 113	ringcld 20282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝐵)
134	26, 28, 17, 132, 133	ringlidmd 20294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅) · (𝑃 · 𝑢)) = (𝑃 · 𝑢))
135	131, 134	opeq12d 4833	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ⟨(𝑃 · 𝑢), ((1r‘𝑅) · (𝑃 · 𝑢))⟩ = ⟨(𝑃 · 𝑢), (𝑃 · 𝑢)⟩)
136	60	ad2antrr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
137	26, 28, 17, 132, 133	ringridmd 20295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ((𝑃 · 𝑢) · (1r‘𝑅)) = (𝑃 · 𝑢))
138	137	eqcomd 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → (𝑃 · 𝑢) = ((𝑃 · 𝑢) · (1r‘𝑅)))
139	26, 22, 123, 124, 28, 130, 135, 136, 133, 126, 114, 114, 138, 138	erlbr2d 33399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩ ∼ ⟨(𝑃 · 𝑢), ((1r‘𝑅) · (𝑃 · 𝑢))⟩)
140	129, 139	erthi 8723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ = [⟨(𝑃 · 𝑢), ((1r‘𝑅) · (𝑃 · 𝑢))⟩] ∼ )
141	27, 17, 31, 22, 123, 124, 89	rloc1r 33408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ = (1r‘𝐿))
142	127, 140, 141	3eqtr2d 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑢, (𝑃 · 𝑢)⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿))
143	119, 122, 142	rspcedvd 3578	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐿)([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿))
144	143	r19.29an 3160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐿)([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿))
145	112, 144	impbida 808	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐿)([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = (1r‘𝐿) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆))
146		oveq2 7393	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (𝑃 · 𝑢) = (𝑃 · 𝑠))
147	146	eleq1d 2841	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → ((𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
148	147	cbvrexvw 3235	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆)
149	148	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
150	40, 145, 149	3bitrd 307	. 2 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑃 · 𝑠) ∈ 𝑆))
151		rlocisunit.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
152	32	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CRing)
153	15	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
154		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → 𝑄 ∈ 𝑆)
155	26, 17, 22, 31, 12, 152, 153, 154	rlocinvunit 33410	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)
156	151, 155	mpdan 695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)
157	156	biantrud 538	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ∧ [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)))
158	26, 28, 38, 31, 22, 32, 15, 8, 60, 20, 151, 13	rlocmulval 33405	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ) = [⟨(𝑃 · (1r‘𝑅)), ((1r‘𝑅) · 𝑄)⟩] ∼ )
159	26, 28, 17, 41, 8	ringridmd 20295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (1r‘𝑅)) = 𝑃)
160	35, 151	sseldd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
161	26, 28, 17, 41, 160	ringlidmd 20294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑄) = 𝑄)
162	159, 161	opeq12d 4833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝑃 · (1r‘𝑅)), ((1r‘𝑅) · 𝑄)⟩ = ⟨𝑃, 𝑄⟩)
163	162	eceq1d 8707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → [⟨(𝑃 · (1r‘𝑅)), ((1r‘𝑅) · 𝑄)⟩] ∼ = [⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ )
164	158, 163	eqtrd 2791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ) = [⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ )
165	164	eleq1d 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ) ∈ 𝑊 ↔ [⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊))
166	60, 151	opelxpd 5679	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
167	23	ecelqsi 8739	. . . . . . 7 ⊢ (⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
168	166, 167	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
169	168, 36	eleqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
170	12, 13, 11	unitmulclb 20402	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ CRing ∧ [⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿) ∧ [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿)) → (([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ) ∈ 𝑊 ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ∧ [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)))
171	39, 37, 169, 170	syl3anc 1386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ) ∈ 𝑊 ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ∧ [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)))
172	165, 171	bitr3d 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ∧ [⟨(1r‘𝑅), 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)))
173	157, 172	bitr4d 284	. 2 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ [⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊))
174	10, 150, 173	3bitr2rd 310	1 ⊢ (𝜑 → ([⟨𝑃, 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ 𝑃 ∈ 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∃wrex 3080  {crab 3408   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4582   × cxp 5638  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   Er wer 8663  [cec 8664   / cqs 8665  Basecbs 17221  +_gcplusg 17262  ._rcmulr 17263  0_gc0g 17444  SubMndcsubmnd 18792  -_gcsg 18953  mulGrpcmgp 20162  1_rcur 20203  Ringcrg 20255  CRingccrg 20256  Unitcui 20376   ~_RL cerl 33388   RLocal crloc 33389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8194  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-ec 8668  df-qs 8672  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-fz 13503  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-0g 17446  df-imas 17514  df-qus 17515  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-submnd 18794  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-oppr 20358  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-erl 33390  df-rloc 33391

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