Theorem rlocinvunit 33717

Description: In the localization of a ring 𝑅 at 𝑆, inverses of elements of 𝑆 are units. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlocinvunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rlocinvunit.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rlocinvunit.e	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
rlocinvunit.l	⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
rlocinvunit.w	⊢ 𝑊 = (Unit‘𝐿)
rlocinvunit.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rlocinvunit.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
rlocinvunit.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rlocinvunit	⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)

Proof of Theorem rlocinvunit

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7424	. . . 4 ⊢ (𝑎 = [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ))
2	1	eqeq1d 2764	. . 3 ⊢ (𝑎 = [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ → (([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = (1r‘𝐿) ↔ ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿)))
3		rlocinvunit.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
4		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		rlocinvunit.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	mgpbas 20282	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
7	6	submss 18921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8	3, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9		rlocinvunit.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
11		rlocinvunit.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
12	4, 11	ringidval 20326	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13	12	subm0cl 18923	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 1 ∈ 𝑆)
14	3, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
15	10, 14	opelxpd 5698	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑄, 1 ⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
16		rlocinvunit.e	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
17	16	ovexi 7450	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
18	17	ecelqsi 8772	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑄, 1 ⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
19	15, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
20		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
21		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
22		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
23		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝑆) = (𝐵 × 𝑆)
24		rlocinvunit.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
25		rlocinvunit.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
26	5, 20, 21, 22, 23, 24, 16, 25, 8	rlocbas 33710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) = (Base‘𝐿))
27	19, 26	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
28		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
29	25	crngringd 20389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30	5, 11, 29	ringidcld 20411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
31		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
32	5, 21, 28, 24, 16, 25, 3, 30, 10, 9, 14, 31	rlocmulval 33712	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ) = [⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ )
33	5, 20, 11, 21, 22, 23, 16, 25, 3	erler 33707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∼ Er (𝐵 × 𝑆))
34		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨ 1 , 1 ⟩ = ⟨ 1 , 1 ⟩)
35	5, 21, 11, 29, 10	ringlidmd 20417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅)𝑄) = 𝑄)
36	5, 21, 11, 29, 10	ringridmd 20418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑄)
37	35, 36	opeq12d 4844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩ = ⟨𝑄, 𝑄⟩)
38	36	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑄(.r‘𝑅) 1 ))
39	5, 16, 25, 3, 21, 34, 37, 30, 10, 14, 9, 9, 38, 38	erlbr2d 33706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨ 1 , 1 ⟩ ∼ ⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩)
40	33, 39	erthi 8756	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼ = [⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ )
41		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼ = [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼
42	20, 11, 24, 16, 25, 3, 41	rloc1r 33715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼ = (1r‘𝐿))
43	32, 40, 42	3eqtr2d 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿))
44	2, 27, 43	rspcedvdw 3582	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (Base‘𝐿)([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = (1r‘𝐿))
45		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
46		rlocinvunit.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Unit‘𝐿)
47		eqid 2762	. . 3 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
48	30, 9	opelxpd 5698	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨ 1 , 𝑄⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
49	17	ecelqsi 8772	. . . . 5 ⊢ (⟨ 1 , 𝑄⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
50	48, 49	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
51	50, 26	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
52	5, 21, 28, 24, 16, 25, 3	rloccring 33713	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ CRing)
53	45, 46, 31, 47, 51, 52	isunitc 33683	. 2 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘𝐿)([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = (1r‘𝐿)))
54	44, 53	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902  ⟨cop 4593   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  [cec 8697   / cqs 8698  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  ._rcmulr 17347  0_gc0g 17528  SubMndcsubmnd 18894  -_gcsg 19063  mulGrpcmgp 20277  1_rcur 20324  CRingccrg 20377  Unitcui 20500   ~_RL cerl 33695   RLocal crloc 33696

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-0g 17530  df-imas 17598  df-qus 17599  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-sbg 19066  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-cring 20379  df-oppr 20482  df-dvdsr 20502  df-unit 20503  df-erl 33697  df-rloc 33698

This theorem is used by:  rlocisunit  33718