Theorem rlocinvunit 33410

Description: In the localization of a ring 𝑅 at 𝑆, inverses of elements of 𝑆 are units. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlocinvunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rlocinvunit.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rlocinvunit.e	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
rlocinvunit.l	⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
rlocinvunit.w	⊢ 𝑊 = (Unit‘𝐿)
rlocinvunit.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rlocinvunit.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
rlocinvunit.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rlocinvunit	⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)

Proof of Theorem rlocinvunit

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7393	. . . 4 ⊢ (𝑎 = [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ))
2	1	eqeq1d 2758	. . 3 ⊢ (𝑎 = [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ → (([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = (1r‘𝐿) ↔ ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿)))
3		rlocinvunit.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
4		eqid 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		rlocinvunit.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	mgpbas 20167	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
7	6	submss 18819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8	3, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9		rlocinvunit.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
11		rlocinvunit.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
12	4, 11	ringidval 20205	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13	12	subm0cl 18821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 1 ∈ 𝑆)
14	3, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
15	10, 14	opelxpd 5679	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑄, 1 ⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
16		rlocinvunit.e	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
17	16	ovexi 7419	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
18	17	ecelqsi 8739	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑄, 1 ⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
19	15, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
20		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
21		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
22		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
23		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝑆) = (𝐵 × 𝑆)
24		rlocinvunit.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
25		rlocinvunit.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
26	5, 20, 21, 22, 23, 24, 16, 25, 8	rlocbas 33403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) = (Base‘𝐿))
27	19, 26	eleqtrd 2858	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
28		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
29	25	crngringd 20268	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30	5, 11, 29	ringidcld 20288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
31		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
32	5, 21, 28, 24, 16, 25, 3, 30, 10, 9, 14, 31	rlocmulval 33405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ) = [⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ )
33	5, 20, 11, 21, 22, 23, 16, 25, 3	erler 33400	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∼ Er (𝐵 × 𝑆))
34		eqidd 2757	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨ 1 , 1 ⟩ = ⟨ 1 , 1 ⟩)
35	5, 21, 11, 29, 10	ringlidmd 20294	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅)𝑄) = 𝑄)
36	5, 21, 11, 29, 10	ringridmd 20295	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑄)
37	35, 36	opeq12d 4833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩ = ⟨𝑄, 𝑄⟩)
38	36	eqcomd 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑄(.r‘𝑅) 1 ))
39	5, 16, 25, 3, 21, 34, 37, 30, 10, 14, 9, 9, 38, 38	erlbr2d 33399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨ 1 , 1 ⟩ ∼ ⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩)
40	33, 39	erthi 8723	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼ = [⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ )
41		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼ = [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼
42	20, 11, 24, 16, 25, 3, 41	rloc1r 33408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼ = (1r‘𝐿))
43	32, 40, 42	3eqtr2d 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿))
44	2, 27, 43	rspcedvdw 3579	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (Base‘𝐿)([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = (1r‘𝐿))
45		eqid 2756	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
46		rlocinvunit.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Unit‘𝐿)
47		eqid 2756	. . 3 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
48	30, 9	opelxpd 5679	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨ 1 , 𝑄⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
49	17	ecelqsi 8739	. . . . 5 ⊢ (⟨ 1 , 𝑄⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
50	48, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
51	50, 26	eleqtrd 2858	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
52	5, 21, 28, 24, 16, 25, 3	rloccring 33406	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ CRing)
53	45, 46, 31, 47, 51, 52	isunitc 33376	. 2 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘𝐿)([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = (1r‘𝐿)))
54	44, 53	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∃wrex 3080   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4582   × cxp 5638  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  [cec 8664   / cqs 8665  Basecbs 17221  +_gcplusg 17262  ._rcmulr 17263  0_gc0g 17444  SubMndcsubmnd 18792  -_gcsg 18953  mulGrpcmgp 20162  1_rcur 20203  CRingccrg 20256  Unitcui 20376   ~_RL cerl 33388   RLocal crloc 33389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8194  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-ec 8668  df-qs 8672  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-fz 13503  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-0g 17446  df-imas 17514  df-qus 17515  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-submnd 18794  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-oppr 20358  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-erl 33390  df-rloc 33391

This theorem is referenced by:  rlocisunit  33411