Theorem rlocinvunit 33879

Description: In the localization of a ring 𝑅 at 𝑆, inverses of elements of 𝑆 are units. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlocinvunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rlocinvunit.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rlocinvunit.e	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
rlocinvunit.l	⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
rlocinvunit.w	⊢ 𝑊 = (Unit‘𝐿)
rlocinvunit.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rlocinvunit.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
rlocinvunit.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rlocinvunit	⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)

Proof of Theorem rlocinvunit

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7428	. . . 4 ⊢ (𝑎 = [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ))
2	1	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝑎 = [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ → (([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = (1r‘𝐿) ↔ ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿)))
3		rlocinvunit.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
4		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		rlocinvunit.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	mgpbas 20366	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
7	6	submss 19005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8	3, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9		rlocinvunit.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3909	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
11		rlocinvunit.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
12	4, 11	ringidval 20410	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13	12	subm0cl 19007	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 1 ∈ 𝑆)
14	3, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
15	10, 14	opelxpd 5689	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑄, 1 ⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
16		rlocinvunit.e	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
17	16	ovexi 7454	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
18	17	ecelqsi 8791	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑄, 1 ⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
19	15, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
20		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
21		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
22		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
23		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝑆) = (𝐵 × 𝑆)
24		rlocinvunit.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
25		rlocinvunit.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
26	5, 20, 21, 22, 23, 24, 16, 25, 8	rlocbas 33872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) = (Base‘𝐿))
27	19, 26	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
28		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
29	25	crngringd 20474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30	5, 11, 29	ringidcld 20496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
31		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
32	5, 21, 28, 24, 16, 25, 3, 30, 10, 9, 14, 31	rlocmulval 33874	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ) = [⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ )
33	5, 20, 11, 21, 22, 23, 16, 25, 3	erler 33869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∼ Er (𝐵 × 𝑆))
34		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨ 1 , 1 ⟩ = ⟨ 1 , 1 ⟩)
35	5, 21, 11, 29, 10	ringlidmd 20502	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅)𝑄) = 𝑄)
36	5, 21, 11, 29, 10	ringridmd 20503	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑄)
37	35, 36	opeq12d 4840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩ = ⟨𝑄, 𝑄⟩)
38	36	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑄(.r‘𝑅) 1 ))
39	5, 16, 25, 3, 21, 34, 37, 30, 10, 14, 9, 9, 38, 38	erlbr2d 33868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨ 1 , 1 ⟩ ∼ ⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩)
40	33, 39	erthi 8775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼ = [⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ )
41		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼ = [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼
42	20, 11, 24, 16, 25, 3, 41	rloc1r 33877	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼ = (1r‘𝐿))
43	32, 40, 42	3eqtr2d 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿))
44	2, 27, 43	rspcedvdw 3579	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (Base‘𝐿)([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = (1r‘𝐿))
45		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
46		rlocinvunit.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Unit‘𝐿)
47		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
48	30, 9	opelxpd 5689	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨ 1 , 𝑄⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
49	17	ecelqsi 8791	. . . . 5 ⊢ (⟨ 1 , 𝑄⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
50	48, 49	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
51	50, 26	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
52	5, 21, 28, 24, 16, 25, 3	rloccring 33875	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ CRing)
53	45, 46, 31, 47, 51, 52	isunitc 33845	. 2 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘𝐿)([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = (1r‘𝐿)))
54	44, 53	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  ⟨cop 4589   × cxp 5648  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  [cec 8716   / cqs 8717  Basecbs 17388  +_gcplusg 17429  ._rcmulr 17430  0_gc0g 17611  SubMndcsubmnd 18978  -_gcsg 19147  mulGrpcmgp 20361  1_rcur 20408  CRingccrg 20461  Unitcui 20586   ~_RL cerl 33857   RLocal crloc 33858

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-0g 17613  df-imas 17681  df-qus 17682  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-cring 20463  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-erl 33859  df-rloc 33860

This theorem is used by:  rlocisunit  33880