Theorem rlocinvunit 33604

Description: In the localization of a ring 𝑅 at 𝑆, inverses of elements of 𝑆 are units. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlocinvunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rlocinvunit.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rlocinvunit.e	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
rlocinvunit.l	⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
rlocinvunit.w	⊢ 𝑊 = (Unit‘𝐿)
rlocinvunit.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rlocinvunit.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
rlocinvunit.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rlocinvunit	⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)

Proof of Theorem rlocinvunit

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7420	. . . 4 ⊢ (𝑎 = [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ))
2	1	eqeq1d 2764	. . 3 ⊢ (𝑎 = [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ → (([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = (1r‘𝐿) ↔ ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿)))
3		rlocinvunit.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
4		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		rlocinvunit.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	mgpbas 20227	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
7	6	submss 18873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8	3, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9		rlocinvunit.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
11		rlocinvunit.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
12	4, 11	ringidval 20271	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13	12	subm0cl 18875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 1 ∈ 𝑆)
14	3, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
15	10, 14	opelxpd 5699	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑄, 1 ⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
16		rlocinvunit.e	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
17	16	ovexi 7446	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
18	17	ecelqsi 8765	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑄, 1 ⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
19	15, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
20		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
21		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
22		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
23		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝑆) = (𝐵 × 𝑆)
24		rlocinvunit.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
25		rlocinvunit.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
26	5, 20, 21, 22, 23, 24, 16, 25, 8	rlocbas 33597	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) = (Base‘𝐿))
27	19, 26	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
28		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
29	25	crngringd 20334	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30	5, 11, 29	ringidcld 20356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
31		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
32	5, 21, 28, 24, 16, 25, 3, 30, 10, 9, 14, 31	rlocmulval 33599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ) = [⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ )
33	5, 20, 11, 21, 22, 23, 16, 25, 3	erler 33594	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∼ Er (𝐵 × 𝑆))
34		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨ 1 , 1 ⟩ = ⟨ 1 , 1 ⟩)
35	5, 21, 11, 29, 10	ringlidmd 20362	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅)𝑄) = 𝑄)
36	5, 21, 11, 29, 10	ringridmd 20363	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑄)
37	35, 36	opeq12d 4845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩ = ⟨𝑄, 𝑄⟩)
38	36	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑄(.r‘𝑅) 1 ))
39	5, 16, 25, 3, 21, 34, 37, 30, 10, 14, 9, 9, 38, 38	erlbr2d 33593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨ 1 , 1 ⟩ ∼ ⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩)
40	33, 39	erthi 8749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼ = [⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ )
41		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼ = [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼
42	20, 11, 24, 16, 25, 3, 41	rloc1r 33602	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼ = (1r‘𝐿))
43	32, 40, 42	3eqtr2d 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿))
44	2, 27, 43	rspcedvdw 3583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (Base‘𝐿)([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = (1r‘𝐿))
45		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
46		rlocinvunit.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Unit‘𝐿)
47		eqid 2762	. . 3 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
48	30, 9	opelxpd 5699	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨ 1 , 𝑄⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
49	17	ecelqsi 8765	. . . . 5 ⊢ (⟨ 1 , 𝑄⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
50	48, 49	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
51	50, 26	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
52	5, 21, 28, 24, 16, 25, 3	rloccring 33600	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ CRing)
53	45, 46, 31, 47, 51, 52	isunitc 33570	. 2 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘𝐿)([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = (1r‘𝐿)))
54	44, 53	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3904  ⟨cop 4594   × cxp 5658  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  [cec 8690   / cqs 8691  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  ._rcmulr 17317  0_gc0g 17498  SubMndcsubmnd 18846  -_gcsg 19008  mulGrpcmgp 20222  1_rcur 20269  CRingccrg 20322  Unitcui 20444   ~_RL cerl 33582   RLocal crloc 33583

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-ec 8694  df-qs 8698  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-0g 17500  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-erl 33584  df-rloc 33585

This theorem is used by:  rlocisunit  33605