Theorem rlocinvunit 33508

Description: In the localization of a ring 𝑅 at 𝑆, inverses of elements of 𝑆 are units. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlocinvunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rlocinvunit.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rlocinvunit.e	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
rlocinvunit.l	⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
rlocinvunit.w	⊢ 𝑊 = (Unit‘𝐿)
rlocinvunit.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rlocinvunit.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
rlocinvunit.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rlocinvunit	⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)

Proof of Theorem rlocinvunit

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7408	. . . 4 ⊢ (𝑎 = [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ))
2	1	eqeq1d 2767	. . 3 ⊢ (𝑎 = [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ → (([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = (1r‘𝐿) ↔ ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿)))
3		rlocinvunit.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
4		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		rlocinvunit.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	mgpbas 20212	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
7	6	submss 18857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8	3, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9		rlocinvunit.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
11		rlocinvunit.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
12	4, 11	ringidval 20256	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13	12	subm0cl 18859	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 1 ∈ 𝑆)
14	3, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
15	10, 14	opelxpd 5691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑄, 1 ⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
16		rlocinvunit.e	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
17	16	ovexi 7434	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
18	17	ecelqsi 8755	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑄, 1 ⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
19	15, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
20		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
21		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
22		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
23		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝑆) = (𝐵 × 𝑆)
24		rlocinvunit.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
25		rlocinvunit.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
26	5, 20, 21, 22, 23, 24, 16, 25, 8	rlocbas 33501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) = (Base‘𝐿))
27	19, 26	eleqtrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
28		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
29	25	crngringd 20319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30	5, 11, 29	ringidcld 20340	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
31		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
32	5, 21, 28, 24, 16, 25, 3, 30, 10, 9, 14, 31	rlocmulval 33503	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ) = [⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ )
33	5, 20, 11, 21, 22, 23, 16, 25, 3	erler 33498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∼ Er (𝐵 × 𝑆))
34		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨ 1 , 1 ⟩ = ⟨ 1 , 1 ⟩)
35	5, 21, 11, 29, 10	ringlidmd 20346	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅)𝑄) = 𝑄)
36	5, 21, 11, 29, 10	ringridmd 20347	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑄)
37	35, 36	opeq12d 4842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩ = ⟨𝑄, 𝑄⟩)
38	36	eqcomd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑄(.r‘𝑅) 1 ))
39	5, 16, 25, 3, 21, 34, 37, 30, 10, 14, 9, 9, 38, 38	erlbr2d 33497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨ 1 , 1 ⟩ ∼ ⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩)
40	33, 39	erthi 8739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼ = [⟨( 1 (.r‘𝑅)𝑄), (𝑄(.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ )
41		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼ = [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼
42	20, 11, 24, 16, 25, 3, 41	rloc1r 33506	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 1 ⟩] ∼ = (1r‘𝐿))
43	32, 40, 42	3eqtr2d 2806	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑄, 1 ⟩] ∼ ) = (1r‘𝐿))
44	2, 27, 43	rspcedvdw 3587	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (Base‘𝐿)([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = (1r‘𝐿))
45		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
46		rlocinvunit.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Unit‘𝐿)
47		eqid 2765	. . 3 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
48	30, 9	opelxpd 5691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨ 1 , 𝑄⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
49	17	ecelqsi 8755	. . . . 5 ⊢ (⟨ 1 , 𝑄⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
50	48, 49	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
51	50, 26	eleqtrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
52	5, 21, 28, 24, 16, 25, 3	rloccring 33504	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ CRing)
53	45, 46, 31, 47, 51, 52	isunitc 33474	. 2 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘𝐿)([⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑎) = (1r‘𝐿)))
54	44, 53	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → [⟨ 1 , 𝑄⟩] ∼ ∈ 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907  ⟨cop 4591   × cxp 5650  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  [cec 8680   / cqs 8681  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  ._rcmulr 17301  0_gc0g 17482  SubMndcsubmnd 18830  -_gcsg 18992  mulGrpcmgp 20207  1_rcur 20254  CRingccrg 20307  Unitcui 20428   ~_RL cerl 33486   RLocal crloc 33487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-ec 8684  df-qs 8688  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-0g 17484  df-imas 17552  df-qus 17553  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-erl 33488  df-rloc 33489

This theorem is referenced by:  rlocisunit  33509