Theorem latdisd 17792

Description: In a lattice, joins distribute over meets if and only if meets distribute over joins; the distributive property is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
latdisd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latdisd.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latdisd.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latdisd	⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ∨ ,𝑦,𝑧   𝑥, ∧ ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem latdisd

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latdisd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latdisd.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		latdisd.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latdisdlem 17791	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) → ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤))))
5		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
6	5	odulat 17747	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (ODual‘𝐾) ∈ Lat)
7	5, 1	odubas 17735	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾))
8	5, 3	odujoin 17744	. . . . 5 ⊢ ∧ = (join‘(ODual‘𝐾))
9	5, 2	odumeet 17742	. . . . 5 ⊢ ∨ = (meet‘(ODual‘𝐾))
10	7, 8, 9	latdisdlem 17791	. . . 4 ⊢ ((ODual‘𝐾) ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧))))
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧))))
12	4, 11	impbid 215	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤))))
13		oveq1 7142	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = (𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)))
14		oveq1 7142	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∧ 𝑣) = (𝑥 ∧ 𝑣))
15		oveq1 7142	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑤))
16	14, 15	oveq12d 7153	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
17	13, 16	eqeq12d 2814	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) ↔ (𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤))))
18		oveq1 7142	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 ∨ 𝑤) = (𝑦 ∨ 𝑤))
19	18	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)))
20		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑥 ∧ 𝑣) = (𝑥 ∧ 𝑦))
21	20	oveq1d 7150	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
22	19, 21	eqeq12d 2814	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) ↔ (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤))))
23		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑦 ∨ 𝑤) = (𝑦 ∨ 𝑧))
24	23	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
25		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑧))
26	25	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
27	24, 26	eqeq12d 2814	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) ↔ (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))
28	17, 22, 27	cbvral3vw 3410	. 2 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
29	12, 28	syl6bb 290	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  joincjn 17546  meetcmee 17547  Latclat 17647  ODualcodu 17730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-dec 12087  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ple 16577  df-proset 17530  df-poset 17548  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-lat 17648  df-odu 17731

This theorem is referenced by:  odudlatb  17798