Theorem latdisd 18438

Description: In a lattice, joins distribute over meets if and only if meets distribute over joins; the distributive property is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
latdisd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latdisd.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latdisd.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latdisd	⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ∨ ,𝑦,𝑧   𝑥, ∧ ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem latdisd

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latdisd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latdisd.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		latdisd.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latdisdlem 18437	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) → ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤))))
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
6	5	odulat 18376	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (ODual‘𝐾) ∈ Lat)
7	5, 1	odubas 18232	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾))
8	5, 3	odujoin 18347	. . . . 5 ⊢ ∧ = (join‘(ODual‘𝐾))
9	5, 2	odumeet 18349	. . . . 5 ⊢ ∨ = (meet‘(ODual‘𝐾))
10	7, 8, 9	latdisdlem 18437	. . . 4 ⊢ ((ODual‘𝐾) ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧))))
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧))))
12	4, 11	impbid 212	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤))))
13		oveq1 7376	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = (𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)))
14		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∧ 𝑣) = (𝑥 ∧ 𝑣))
15		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑤))
16	14, 15	oveq12d 7387	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
17	13, 16	eqeq12d 2745	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) ↔ (𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤))))
18		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 ∨ 𝑤) = (𝑦 ∨ 𝑤))
19	18	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)))
20		oveq2 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑥 ∧ 𝑣) = (𝑥 ∧ 𝑦))
21	20	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
22	19, 21	eqeq12d 2745	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) ↔ (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤))))
23		oveq2 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑦 ∨ 𝑤) = (𝑦 ∨ 𝑧))
24	23	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
25		oveq2 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑧))
26	25	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
27	24, 26	eqeq12d 2745	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) ↔ (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))
28	17, 22, 27	cbvral3vw 3219	. 2 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
29	12, 28	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  ODualcodu 18227  joincjn 18252  meetcmee 18253  Latclat 18372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-dec 12626  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ple 17216  df-odu 18228  df-proset 18235  df-poset 18254  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-lat 18373

This theorem is referenced by:  odudlatb  18466