Theorem latdisd 18463

Description: In a lattice, joins distribute over meets if and only if meets distribute over joins; the distributive property is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
latdisd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latdisd.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latdisd.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latdisd	⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ∨ ,𝑦,𝑧   𝑥, ∧ ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem latdisd

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latdisd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latdisd.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		latdisd.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latdisdlem 18462	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) → ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤))))
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
6	5	odulat 18401	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (ODual‘𝐾) ∈ Lat)
7	5, 1	odubas 18257	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾))
8	5, 3	odujoin 18372	. . . . 5 ⊢ ∧ = (join‘(ODual‘𝐾))
9	5, 2	odumeet 18374	. . . . 5 ⊢ ∨ = (meet‘(ODual‘𝐾))
10	7, 8, 9	latdisdlem 18462	. . . 4 ⊢ ((ODual‘𝐾) ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧))))
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧))))
12	4, 11	impbid 212	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤))))
13		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = (𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)))
14		oveq1 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∧ 𝑣) = (𝑥 ∧ 𝑣))
15		oveq1 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑤))
16	14, 15	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
17	13, 16	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) ↔ (𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤))))
18		oveq1 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 ∨ 𝑤) = (𝑦 ∨ 𝑤))
19	18	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)))
20		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑥 ∧ 𝑣) = (𝑥 ∧ 𝑦))
21	20	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
22	19, 21	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) ↔ (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤))))
23		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑦 ∨ 𝑤) = (𝑦 ∨ 𝑧))
24	23	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
25		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑧))
26	25	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
27	24, 26	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) ↔ (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))
28	17, 22, 27	cbvral3vw 3221	. 2 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
29	12, 28	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  ODualcodu 18252  joincjn 18277  meetcmee 18278  Latclat 18397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-dec 12645  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ple 17240  df-odu 18253  df-proset 18260  df-poset 18279  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-lat 18398

This theorem is referenced by:  odudlatb  18491