Theorem latdisd 18418

Description: In a lattice, joins distribute over meets if and only if meets distribute over joins; the distributive property is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
latdisd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latdisd.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latdisd.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latdisd	⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ∨ ,𝑦,𝑧   𝑥, ∧ ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem latdisd

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latdisd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latdisd.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		latdisd.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latdisdlem 18417	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) → ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤))))
5		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
6	5	odulat 18356	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (ODual‘𝐾) ∈ Lat)
7	5, 1	odubas 18212	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾))
8	5, 3	odujoin 18327	. . . . 5 ⊢ ∧ = (join‘(ODual‘𝐾))
9	5, 2	odumeet 18329	. . . . 5 ⊢ ∨ = (meet‘(ODual‘𝐾))
10	7, 8, 9	latdisdlem 18417	. . . 4 ⊢ ((ODual‘𝐾) ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧))))
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧))))
12	4, 11	impbid 212	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤))))
13		oveq1 7363	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = (𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)))
14		oveq1 7363	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∧ 𝑣) = (𝑥 ∧ 𝑣))
15		oveq1 7363	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑤))
16	14, 15	oveq12d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
17	13, 16	eqeq12d 2750	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) ↔ (𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤))))
18		oveq1 7363	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 ∨ 𝑤) = (𝑦 ∨ 𝑤))
19	18	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)))
20		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑥 ∧ 𝑣) = (𝑥 ∧ 𝑦))
21	20	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
22	19, 21	eqeq12d 2750	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) ↔ (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤))))
23		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑦 ∨ 𝑤) = (𝑦 ∨ 𝑧))
24	23	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
25		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑧))
26	25	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
27	24, 26	eqeq12d 2750	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) ↔ (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))
28	17, 22, 27	cbvral3vw 3218	. 2 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
29	12, 28	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  ODualcodu 18207  joincjn 18232  meetcmee 18233  Latclat 18352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-dec 12606  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ple 17195  df-odu 18208  df-proset 18215  df-poset 18234  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-lat 18353

This theorem is referenced by:  odudlatb  18446