Theorem ldualvaddcom 39123

Description: Commutative law for vector (functional) addition. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvaddcom.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvaddcom.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvaddcom.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
ldualvaddcom.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvaddcom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐹)
ldualvaddcom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvaddcom	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem ldualvaddcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
3		ldualvaddcom.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4		ldualvaddcom.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		ldualvaddcom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐹)
6		ldualvaddcom.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lfladdcom 39055	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊))𝑌) = (𝑌 ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊))𝑋))
8		ldualvaddcom.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
9		ldualvaddcom.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐷)
10	3, 1, 2, 8, 9, 4, 5, 6	ldualvadd 39112	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊))𝑌))
11	3, 1, 2, 8, 9, 4, 6, 5	ldualvadd 39112	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) = (𝑌 ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊))𝑋))
12	7, 10, 11	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_f cof 7611  +_gcplusg 17161  Scalarcsca 17164  LModclmod 20763  LFnlclfn 39040  LDualcld 39106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-lmod 20765  df-lfl 39041  df-ldual 39107

This theorem is referenced by:  lclkrlem2k  41500  lclkrlem2u  41510