Theorem ldualvaddcom 39604

Description: Commutative law for vector (functional) addition. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvaddcom.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvaddcom.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvaddcom.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
ldualvaddcom.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvaddcom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐹)
ldualvaddcom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvaddcom	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem ldualvaddcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
3		ldualvaddcom.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4		ldualvaddcom.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		ldualvaddcom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐹)
6		ldualvaddcom.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lfladdcom 39536	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊))𝑌) = (𝑌 ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊))𝑋))
8		ldualvaddcom.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
9		ldualvaddcom.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐷)
10	3, 1, 2, 8, 9, 4, 5, 6	ldualvadd 39593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊))𝑌))
11	3, 1, 2, 8, 9, 4, 6, 5	ldualvadd 39593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) = (𝑌 ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊))𝑋))
12	7, 10, 11	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ∘_f cof 7624  +_gcplusg 17215  Scalarcsca 17218  LModclmod 20850  LFnlclfn 39521  LDualcld 39587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-ur 20158  df-ring 20211  df-lmod 20852  df-lfl 39522  df-ldual 39588

This theorem is referenced by:  lclkrlem2k  41981  lclkrlem2u  41991